历年考研数学真题及解析 1999年研究生入学考试数学二

1999年全国硕士研究生入学统一考试 理工 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 二试题详解及评析 一、填空题 （1） 曲线 sin 2 cos 2 t t x e t y e t ⎧ =⎨ =⎩ 在点 ( )0,1 处的法线方程为 . 【答】 2 1 0y x+ − = 【详解】 根据参数方程的求导公式，有 cos sin , sin 2 2 cos 2 t t t t dy e t e t yx e t e t −= + 与 0, 0x y= = 对应 0t = ， 故 0 1 1 2|xy dy dx == = ，从而在点 ( )0,1 处的法线的斜率为-2，法线方程为 ( )1 2 0 ,y x− = − − 即 2 1 0y x+ − = （2）设函数 ( )y y x= 由方程 ( )2 3ln sinx y x y x+ = + 确定，则 0|x dy dx = = . 【答】 1. 【详解】 方程两边同时对 x求导，视 y为 x的函数，得 ' 2 3 ' 2 2 3 cosx y x y x y x x y + = + ++ 由原方程知， 0x = 时 1y = ，代入上式，得 ' 0 0 1.| |x x dyy dx= = = = （3） 2 5 6 13 x dx x x + =− +∫ . 【答】 ( )21 3ln 6 13 4arctan .2 2xx x C−− + + + 【详解】 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 135 1 8 6 13 2 6 13 6 13 1 3 ln 6 13 4arctan . 2 2 d x xx dx x x x x x x xx x C − ++ = +− + − + − + −= − + + + ∫ ∫ ∫ （4）函数 2 21 xy x = − 在区间 1 3, 2 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 上平均值为 . 【答】 3 1 . 12 π+ 【详解】 函数 2 21 xy x = − 在区间 1 3, 2 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 上平均值为 3 2 2 2 3 1 2 2 6 3 6 2 2 sinsin cos cos3 1 3 11 2 1 1 sin 2 2 43 1 3 1 . 12 | x tdxx t tdt tx t t π π π π π = ⋅− −− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠ += ∫ ∫ （5）微分方程 '' ' 24 xy y e− = 得通解为 . 【答】 2 21 2 1 4 x xC e C x e− ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ . 【详解】 特征方程为： 2 4 0λ − = 解得 1 22, 2λ λ= = − 故 '' '4 0y y− = 的通解为 2 21 2 x xy C e C e−= + 由于非齐次项为 ( ) 2xf x e= ， 2λ = 为特征方程的单根， 因此原方程的特解可设为 * 2xy Axe= ，代入原方程，得 1 4 A = 故所求通解为 * 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 4 1 4 x x x x x y y y C e C e xe C e C x e − − = + = + + ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 二、选择题 （1）设 ( ) ( )2 1 cos , 0 , 0 x x f x x x g x x −⎧ >⎪= ⎨⎪ ≤⎩ 其中 ( )g x 是有界函数，则 ( )f x 在 0x = 处 （A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 因为 ( ) ( ) ( )' 30 0 2 0 1 cos0 0 lim lim 0, x x f x f xf x x + −→ → − −+ = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' 0 0 0 0 0 0 lim lim lim 0, x x x f x f x g x f g x x x x− − −→ → → −− = = = 可见， ( )f x 在 0x = 处左、右导数相等，因此， ( )f x 在 0x = 处可导， 故正确选项为(D). （2）设 ( ) ( ) ( ) 1 5 sin 0 0 sin , 1 , x x ttx dt x t dt t α β= = +∫ ∫ 则当 0x→ 时， ( )xα 是 ( )xβ 的 （A）高阶无穷小； （B）低阶无穷小； （C）同阶但不等价的无穷小； （D）等价无穷小. 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0 1 10 0 0sin sin 0 sin sin 5 55lim lim 5lim 1 1 sin cos1 x x x xx t x t xdtx t x x ex xt dt α β→ → →= = = ≠+ ⋅+ ∫ ∫ 故 ( )xα 是 ( )xβ 的同阶但不等价的无穷小. 因此正确选项为（C）. （3）设 ( )f x 是连续函数， ( )F x 是其原函数，则 （A） 当 ( )f x 是奇函数时， ( )F x 必是偶函数. （B） 当 ( )f x 是偶函数时， ( )F x 必是奇函数. （C） 当 ( )f x 是周期函数时， ( )F x 必是周期函数. （D） 当 ( )f x 是单调增函数时， ( )F x 必是单调增函数. 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 ( )f x 的原函数 ( )F x 可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 ( ) ( ) 0 , x F x f t dt C= +∫ 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 . x x F x f t dt Cu t f u d u C −− = + = − − − +∫ ∫ 当 ( )f x 为奇函数时， ( ) ( )f u f u− = − ，从而有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x F x f u du C f t dt C F x − = + = + = ∫ ∫ 即 ( )F x 为偶函数. 故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下： ( ) 2f x x= 是偶函数，但其原函数 ( ) 31 1 3 F x x= + 不是奇函数，可排除（B）； ( ) 2cosf x x= 是周期函数，但其原函数 ( ) 1 1 sin 2 2 4 F x x x= + 不是周期函数，可排除（C）； ( )f x x= 在区间 ( )−∞ +∞ 内是单调增函数，但其原函数 ( ) 21 2 F x x= 在区间 ( )−∞ +∞ 内非 单调增函数，可排除（D）. （4）“对任意给定的 ( )0,1ε ∈ ，总存在正整数 ,N 当 n N≥ 时，恒有 2nx α ε− ≤ ”是数列{ }nx 收敛于α 的 （A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分条件又非必要条件； 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 由数列{ }nx 收敛于α ⇒“对任意给定的 ( )1 0,1ε ∈ ，总存在正整数 1N 当 1n N≥ 时， 恒有 1nx α ε− ≤ ”，显然可推导处：“对任意给定的 ( )0,1ε ∈ ，总存在正整数 ,N 当 n N≥ 时， 恒有 2nx α ε− ≤ ” 反过来，若有“对任意给定的 ( )0,1ε ∈ ，总存在正整数 ,N 当 n N≥ 时，恒有 2nx α ε− ≤ ” 则对任意的 1 0ε > （不访设 10 1ε< < ，当时，取一 i i1 1 1,0 1 ,ε ε ε< < < 代替即可），取 1 1 0 3 ε ε= > ，存在正整数 ,N 当 n N≥ 时，恒有，令 1 1N N= − ，则满足“对任意给定的 ( )1 0,1ε ∈ ，总存在正整数 1N 当 1n N≥ 时，恒有 1nx α ε− ≤ 可见上述两种说法是等价的，因此正确选项为（C） （5）记行列式 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 3 3 3 2 4 5 3 5 4 4 3 5 7 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − − − − − − − − − − 为 ( )f x ，则方程 ( ) 0f x = 的根的个数为 （A）1． （B）2 （C）3. （D）4 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 因为 ( ) 2 1 0 1 2 1 0 0 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 1 2 1 4 3 7 3 4 3 7 6 x x x x f x x x x x x x x x − − − − − −= =− − − − − − − − − − − − ＝ ( ) 2 1 0 2 2 1 0 4 3 7 7 x x x x x x − − − − = − − 三、求 ( ) 20 1 tan 1 sinlim . ln 1x x x x x x→ + − + + − 【详解】 原式＝ ( )0 tan sin 1lim ln 1 1 tan 1 sinx x x x x x x x→ − ⋅+ −⎡ ⎤ + + +⎣ ⎦ ( ) ( ) 0 2 0 0 1 sin 1 1 coslim 2 cos ln 1 1 1 2lim 2 ln 1 1 2 1lim 14 21 1 x x x x x x x x x x x x x x → → → −= ⋅ ⋅ + − = + − = = − −+ 四、计算 21 arctan .xdx x +∞∫ 【详解】 方法一： 原式＝ 1 1arctan xd x +∞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ( ) ( ) 21 1 2 2 1 1lim arctan lim 1 1 1lim ln ln ln 2 4 2 2 1 ln 2 lim ln 4 2 1 1 ln 2 4 2 | bb b b b b x dx x x x b b b b π π π →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎡ ⎤= + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ = + + + = + ∫ 方法二： 作变换 arctan ,x t= 则 原式＝ 22 2 4 4 csc cott tdt t d tdt π π π π= − ⋅∫ ∫ 22 4 4 2 4 cot cot 1ln sin ln 2 4 4 2 | | t t tdt t ππ π π π π π π = − ⋅ + = + = + ∫ 。 五、求初值问题 ( ) ( )2 2 1 0, 0 0|x y x y dx xdy x y = ⎧ + + − = >⎪⎨⎪ =⎩ 的解 【详解】 原方程可化为 22 2 1 y x ydy y y dx x x x + + ⎛ ⎞= = + + ⎜ ⎟⎝ ⎠ 令 ,yu x = 上述方程可化为 21 ,duu x u u dx + = + + 分离变量，得 21 du dx xu =+ 解得 ( )2ln 1 lnu u x C+ + = + 将 yu x = 代回，得 2 2ln 1 ln y y x C x x ⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 将 1 0|xy = = 代入，得 0,C = 故初值问题得解为 2 2ln 1 ln y y x x x ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 即 2 21 , y y x x x + + = 化简得 21 1 2 2 y x= − 六、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗 自重 400 ,N 缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 /N s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作 多少焦耳的功？（说明：①1 1 1 ; , , ,N m J m N s J× = 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的 高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【详解 1】 建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 1 2 3W W W W= + + 其中 1W 是克服抓斗自重所作的功； 2W 是克服缆绳重力作的功； 3W 为提出污泥所作的功.由题 意知 1 400 30 12000.W = × = 将抓斗由 x处提升到 x dx+ 处，克服缆绳重力所作的功为 ( )2 50 30 ,dW x dx= − 从而 ( )302 0 50 0 22500.W x dx= − =∫ 在时间间隔[ ],t t dt+ 内提升污泥需作功为 ( )3 3 2000 20 .dW t dt= − 将污泥从井底提升至井口共需时间 30 10 3 = ，所以 ( )103 0 3 2000 20 57000.W t dt= − =∫ 因此，共需作功 ( )12000 22500 57000 91500W J= + + = 【详解 2】 作 x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x处时，作用 力 ( )f x 包 括 抓 斗 的 自 重 400 ,N 缆 绳 的 重 力 ( )( )50 30 x N− ， 污 泥 的 重 力 ( )12000 20 3 x N− ⋅ ，即 ( ) ( ) 20 170400 50 30 2000 3900 , 3 3 f x x x x= + − + − = − 于是 ( )30 302 00 170 853900 3900 117000 24500 91500 3 3 |W x dx x x J ⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 七、已知函数 ( ) 3 2 ,1 xy x = − 求 (1) 函数的增减区间及极值； (2) 函数图形的凹凸区间及拐点； (3) 函数图形的渐进线. 【详解】所给函数的定义域为 ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ) 2 ' 3 3 , 1 x x y x −= − 令 ' 0y = ，得驻点 0x = 及 3.x = ( ) '' 4 6 , 1 xy x = − 令 ''y = 0，得 0,x = 列表讨论如下： x ( ),0−∞ 0 ( )0,1 ( )1,3 3 ( )3,+∞ 'y + 0 + - 0 + ''y - 0 + + + + y ∩/ 拐点 ∪/ ∪2 极小值 ∪/ 由此可知： （1）函数的单调增加区间为 ( ),1−∞ 和 ( )3,+∞ ；单调减少区间为 ( )1,3 ， 极小值为 3 27 4|xy = = (2)函数图形在区间 ( ),0−∞ 内是（向上）凸的， 在区间 ( )0,1 ，内是（向上）凹的，拐点为 ( )0,0 （3）由 ( ) 3 21 lim , 1x x x→ = +∞− 知 1x = 是函数图形的铅直渐进线； 由 ( ) 2 2lim lim 1,1x x y x x x→∞ →∞ = =− 又 ( ) ( ) 2 2lim lim 2,1x x xy x x x→∞ →∞ ⎡ ⎤− = − =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 故 2y x= + 是函数图形的斜渐近线. 八、设函数 ( )y x 在闭区间[ ]1,1− 上具有三阶连续导数，且 ( ) ( ) ( )'1 0, 1 1, 0 0,f f f− = = = 证 明：在开区间 ( )1,1− 内至少存在一点 ,ξ 使 ( )''' 3.f ξ = 【详解】方法一： 在 0x = 处，将 ( )f x 按泰勒公式展开，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' 2 ''' 31 10 0 , 2! 3! f x f f x f x x f xη= + + + 其中η介于0与 x之间， [ ]1,1x∈ − 分别令 1x = − 和 1x = ，并结合已知条件，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ''' 1 1 '' ''' 2 2 1 10 1 0 0 , 1 0 , 2 6 1 11 1 0 0 , 1 1 , 2 6 f f f f f f f f η η η η = − = + − − < < = = + + − < < 两式相减，得 ( ) ( )''' '''1 2 6f fη η+ = 由 ( )'''f x 的连续性，知 ( )'''f x 在闭区间[ ]1 2,η η 上有最大值和最小值，设它们分别为 ,M m， 则有 ( ) ( )''' '''1 212m f f Mη η⎡ ⎤≤ + ≤⎣ ⎦ 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 [ ] ( )1 2, 1,1ξ η η∈ ⊂ − ，使 ( ) ( ) ( )''' ''' '''1 21 32f f fξ η η⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ 方法二： 令 ( ) ( ) ( )( ) ( )21 1 1 1 0 2 x x x x x fϕ = + + + − ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '1 1 , 1 1 , 0 0 , 0 0f f f fϕ ϕ ϕ ϕ= − = − = = 令 ( ) ( ) ( ) ,F x f x xϕ= − 则 ( ) ( ) ( )0 1 1 0,F F F= = − = 由罗尔定理，知 ( ) ( )1 21,0 , 0,1ξ ξ∃ ∈ − ∈ 使得 ( ) ( )'' ''1 2 0.F Fξ ξ= = 又 ( )' 0 0,F = 由罗尔定理， 知 ( ) ( )1 1 2 2,0 , 0,η ξ η ξ∃ ∈ ∈ 使 ( ) ( )'' ''1 2 0.F Fη η= = 再由罗尔定理 ( )1 2,ξ η η∃ ∈ ，使 ( )''' 0,F ξ = 而 ( ) ( ) ( )''' ''' '''F x F x xϕ= − ， 而 ( )''' 3,xϕ = 所以 ( )''' 3F ξ = 九、设函数 ( )( )0y x x ≥ 二阶可导，且 ( ) ( )' 0, 0 1,f x y> = 过曲线 ( )y y x= 上任意一点 ( ),P x y 作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围程的三角形的面积记为 1,S 区 间 [ ]0, x 上以 ( )y y x= 为曲边的曲边梯形面积记为 2 ,S 并设 1 22 ,S S− 恒为 1，求此曲线 ( )y y x= 的方程. 【详解】 曲线 ( )y y x= 上点 ( ),P x y 处的切线方程为 ( ) ( )( )'Y y x y x X x− = − 它与 x轴的交点为 ' , 0 yx y ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 由于 ( )' 0y x > ， ( )0 1,y = 因此 ( ) ( )0 0y x x> > ，于是有 2 1 ' ' 1 2 2 y yS y x x y y ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 又 ( )2 0 ,xS y t dt= ∫ 根据题设 1 22 1S S− = 有 ( )2 ' 0 1,2 xy y t dt y − =∫ 并且 ( )' 0 1.y = 上述两边对 x求导并化简得 ( )2'' 'yy y= 这是可降阶的二阶常微分方程， 令 'p y= ，则上述方程化为 2 dpyp p dy = 分离变量，得 dp dy p y = 解得 1 ,p C y= 即 1 ,dy C ydx = 从而 1 2C x Cy e += 根据 ( )0 1,y = ( )' 0 1.y = 得 1 21, 0,C C= = 故所求曲线的方程为 xy e= 十 、 设 ( )f x 是 区 间 [ )0,+∞ 上 单 调 减 少 且 非 负 的 连 续 函 数 ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1, 2, , n n n k a f k f x dx n = = − =∑ ∫ " 证明数列{ }na 的极限存在. 【详解】 由题设可得 ( ) ( ) ( )( )11 1, 2,k k f k f x dx f k k ++ ≤ ≤ =∫ " 所以有 ( ) ( )11 1 0nn n na a f n f x dx++ − = + − ≤∫ 即数列{ }na 单调下降， 又 ( ) ( ) 1 1 n n n k a f k f x dx = = −∑ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 0 n n k k k k n k k k f k f x dx f k f x dx f n − + = = − + = = − = − + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑ ∑∫ ∑∫ 即数列{ }na 有下界. 十一、设矩阵 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 A −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 矩阵 X 满足 * 1 2 ,A X A X−= + 其中 *A 是 A的伴随矩阵， 求矩阵 .X 【详解】 在已知矩阵等式两边同时左乘 ,A 得 * 1 2 ,AA X AA AX−= + 利用公式 *AA A E= ，上式可化为 2A X E AX= + 即 ( )2 ,A E A X E− = 从而 ( ) 12X A E A −= − 由于 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 A − = − = − 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 A E A − − = − − − 故 1 1 1 1 1 0 1 11 1 1 0 1 1 2 4 1 1 1 1 0 1 X − = − − = − 十二、 设向量组 ( ) ( )1 21,1,1,3 , 1, 3,5,1 ,T Tα α= = − − ( )3 3, 2, 1, 2 ,Tpα = − + ( )4 2, 6,10, Tpα − − （1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 ( )4,1,6,10 Tα = 用 1α ， 2α ， 3α ， 4α 线性表出； （2） p为何值时，该向量组线详相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组. 【详解】 由于行列式 ( ) ( )1 2, 3 4 1 1 3 2 1 3 2 6 , , 2 2 1 5 1 10 3 1 2 p p p α α α α − − − −= = −− + 可见： （1）当 2p ≠ 时，向量组 1 2, 3 4, ,α α α α 线性无关.此时设 1 1 2 3 3 4 4x x x xα α α α α= + + + 对矩阵 ( )1 2, 3 4, ,α α α α α# 作初等行变换： ( )1 2, 3 4 1 1 3 2 1 1 3 2 4 1 3 2 6 0 2 1 4 3 , , , , 1 5 1 10 0 6 4 12 2 3 1 2 0 4 7 6 2 1 1 3 2 4 0 1 3 2 4 0 2 1 4 3 1 2 1 4 3 0 0 7 0 7 0 0 1 0 1 0 0 9 2 2 0 0 0 2 1 p p p p p p p p α α α α α − − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥= → ⎢ ⎥− −⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦ − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ →⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ # ## # # # # # # # # # # 解得 ： 1 2 3 4 3 4 12, , 1, 2 2 p px x x x p p − −= = = =− − （2）当 2p = 时，向量组 1 2, 3 4, ,α α α α 线性相关. 此时向量组的秩为 3， 1 2, 3, ,α α α （或 1 3, 4,α α α ）为其一个极大性无关组.