非负数 非负数 一、内容提要 1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数. a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零. 1.
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学过的几种非负数： ⑴实数的绝对值是非负数. 若a是实数，则 ≥0. ⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若 是二次根式，则 ≥0， a≥0. ⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立. 若二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个实数根， 则b2－4ac≥0. 若b2－4ac≥0 (a≠0)， 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根. ⑸数轴上，原点和它的右边所
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示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数. 1. 非负数的性质： ⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零. 例如：a2有最小值0（当a=0时）， 也有最小值0（当x=－1时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零. 若a≥0且－a ≥0， 则a=0； 如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0. ⑶有限个非负数的和或积仍是非负数. 例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0, × ≥0, a2 ≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零. 例如 若 （b＋3）2+ =0 那么 即 ∴ . 二、例题 例1. 求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根 证明：把方程左边分组配方，得 （x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0 即（x2+1）2+(x+1)2=－4 ∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0， ∴（x2+1）2+(x+1)2≥0. 但右边是－4. ∴不论x取什么实数值， 等式都不能成立. ∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根. 例1. a取什么值时，根式 有意义？ 解：∵二次根式的被开方数（a－2）( 与(a－2)(1－ 都是非负数， 且（a－2）( 与(a－2)(1－ 是互为相反数， ∴（a－2）( ＝0. （非负数性质2） ∴a－2=0；或 =0. ∴a1=2, a2=1, a3=－1. 答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义. 例1. 要使等式（2－ x）2+ ＝0成立，x的值是＿＿＿＿. （1991年泉州市初二
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双基赛题） 解：要使原等式成立∵（2－ x）2≥0， ∴ ≤0. ∴ ＝ ＝－1，(x－4≠0) ∴（2－ x）2＝1，且x－4<0. 即 解得 ∴x=3 . 答：x的值是3. 例1. 当a, b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？ （1987年全国初中数学联赛题） 解：∵当△≥0时，方程有实数根. 解如下不等式： ［2（1＋a）］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0 －8a2－16ab－16b2+8a－4≥0， 2a2+4ab+4b2－2a+1≤0， （a+2b）2+(a－1)2≤0 ① ∵（a+2b）2≥0且(a－1)2≥0， 得（a+2b）2+(a－1)2≥0 ② ∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0 不等式①和②才能同时成立. 答：当a=1且b=－ 时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根. 三、练习 1. 已知在实数集合里 有意义，则 x=____. 1. 要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____. 1. 已知 ＝0，则 a=＿＿, b=＿＿, a100b101=____. 1. 把根号外因式移到根号里： ① －a =＿＿＿， ② b =＿＿＿＿， ③－c =＿＿＿＿. 5.如果a
答案
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1. 3 2. －1 3. 1，－1，－1 4. ①－ ， ②－ ， ③ 5. C 6. 0。 因为左边 a≤0， 右边 ≥0。 7. －a。 ∵ b=1,a 8. x=－ , 最大值 9. 10. 11 12. △＝8k2+1 ……13. 用求差法， 配方（乘上2×0.5） 14. － ＜1
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