第九章 随机模型
前面几章讨论的模型中,有关的量都假定为确定性的,即所研究的问题和与问题有关的因
素都是确定的. 然而实际问题中常有许多不确定的因素起作用,特别是随机因素. 下面介绍几类
涉及随机变量的模型.
§9.1 库存问题
一、问题的背景与提出
工厂为了稳定的生产,需要贮存一定的原料或零部件;商店为了满足顾客的需要,要有足
够的库存商品;银行为了进行正常的营业,需要一定的货币进行周转;医院为了手术的急需,
血库必备充足血液. 总之库存问题是普遍存在的. 早在1915年, 哈里斯(Harris)对商业中的库存问
题建立了一个简单模型,并求得了最优解, 但未被人们注意. 1918年威尔逊(Wilson)重新得出了
哈里斯的公式, 并将其发展. 他们的模型都是确定性的, 二次大战后, 带有随机性因素的库存模型
得到研究. 目前, 库存问题的兴趣已转到了多物品、多个库存点的理论.
二、模型假设
(1)只考虑一种物品, 其需求是随机的, 需求量x是非负连续的随机变量,密度函数为φ(x), 分
布函数为Ф(x);
(2)只考虑一个库存周期,即在库存周期开始时, 做一次决策, 决定进货量;
(3)瞬时供货;
(4)决策前原有库存量为I, 进货量为Q, 决策后的库存量为y=I+Q;
(5)费用包括订货费、存贮费和缺货费. 每次的订购手续费为K, 货物单价为p; 存贮费在周期末
结算, 它与期末的库存量成正比, 比例系数为h(单位存贮费), 缺货费与缺货量成正比, 比例系
数为g(单位缺货损失);
(6)决策的准则是期望总费用最小.
三、建模与求解
库存问题有补充—库存—需求三个环节. 在这一系统中, 若一次进货量多, 进货的次数就少,
进货的费用就少, 但库存量大, 库存费用就大, 造成需求缺货就可能少, 缺货损失就会少; 若一次
进货量少, 进货的次数就多, 进货费用就大, 但库存量小, 库存费用就小, 造成需求缺货就可能多,
缺货损失就会大. 如何协调这些矛盾, 使该系统在某种准则下运行最佳. 即如何确定进货量, 使其
总费用最小.
进货费用为
=
>+
=
Iy 0
Iy I)-p(yK
I)-y(c1
存贮费用为
<
≥
=
y x x)-h(y
y x 0
x)-y(c2
期望存贮费用为
∫∫ == ∞ y 0 0 22 (x)dxx)-(yh(x)dxx)-y(cx)-y(Ec ϕϕ
缺货损失为
>
≤
=
y x y)-g(x
y x 0
y)-(xc3
期望缺货损失为
∫ ∫∞ ∞== 0 y 33 (x)dxy)-(x(x)dxy)-(xcy)-(xEc ϕϕ g
记 L(y)=Ec2(y – x)+Ec3(x – y) (1)
则总费用为
=
>++
=
Iy L(y)
Iy L(y)x)-p(yK
C(y)
(2)
目的是求
C(y)min
y
当需要进货时有
∫∫ ∞+++= y y 0 (x)dxy)-(x(x)dxx)-(yhx)-p(yKC(y) ϕϕ g
令
0(x)dx(x)dxhp
dx
dC(y)
y
y
0
=−+= ∫∫ ∞ϕϕ g
(3)
若S是使函数达到极小值的点, 则
∫ +==Φ S 0 gh p-g(x)dx(S) ϕ (4)
设s为库存量进货点, 即当初始库存I
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
.
解 由模型假设有: K=60, h=40, g=1015, I=10, p=800
计算
204.0
401015
8001015
hg
p-g
≈
+
−
=
+
因为
P(30)=0.20<0.204, P(30)+P(40)=0.20+0.20=0.40>0.204
所以S=40, Q=S–I=40–10=30
又因为
K+pS+L(S)=60+800×40+40×[(40–30)×0.2]+1015×[(50–40)×0.4+(60–40)×0.2]=40260
800×30+1015×[(40–30)×0.2+(50–30)×0.4+(60–30)×0.2]=40240≤K+pS+L(S)
所以s=30. 故存贮策略为每个阶段开始时检查存贮量I, 当I>30吨时不必补充存贮; 当I≤30吨
时补充存贮量到40吨.
例2 某市石油公司希望确定一种油的存贮策略, 以确定应贮存的油量. 该油的市场需求服从
指数分布, 其密度函数为
<
≥
=
−
0 x 0
0x 0.000001
x)(
x000001.0eϕ
该种油每近2元, 不需进货费. 由于油库归该公司管辖, 油池灌满与没灌满时的管理费用实际上没
有多少差别, 故可以认为存贮费用为零. 如缺货就从邻市调用, 缺货费为3元/斤.
解 由模型假设K=0, h=0, p=2, g=3
计算
333.0
03
23
hg
p-g
≈
+
−
=
+
由
333.0dx0.000001
S
0
x000001.0
=∫ −e , 有 667.0x000001.0 =−e , 两端取对数解出
S≈405000
因 ps+L(s)=2s+ ∫∫∫ ∞∞ +=+× s s s 0 (x)dxs)-(x2(x)dxs)-x(3(x)dxx)-(s0 ϕϕϕ s
K+pS+L(S)= ∫∫∫ ∞∞ +=+× S S S 0 (x)dxS)-(x2(x)dxS)-x(3(x)dxx)-(S0 ϕϕϕ S
由观察可知, 它有唯一解s=S. 所以当库存下降到405000斤以下就应进货, 使库存达到405000
斤. 出现s=S, 是因为进货费为零, 可以频繁进货, 又存贮费为零, 存贮量多一些也不会增加费用.
五、模型讨论
由(3)可以看出, 缺货费g越大, 概率越大, 库存水平S应越大, 这是符合常识的. 根据假设(4),
Q=S-s, 由(1), (5)经化简便为
Kx)dx-(Sg)(h-p)Q-(g
Q
0
=Φ+ ∫ (6)
在S确定的情况下(S由(4)可确定), 由(6)可求得Q, 进而可求出s. 如
0 ,0 ,1)( ,)( >≥−=Φ= −− λλϕ λλ xexex xx
由(4)可解出
hg
hpS
+
+
−= ln1λ
由(6)有
KdxeghQpg
Q xS
=−+−− ∫ −− 0 )( ]1[)()( λ
简化后为
Q
hp
Ke Q λλλ +
+
+= 1
它可由数值
方法
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或图解法求解, 由上式亦可求得Q的近似解, 当λQ较小时, 取
Qeλ 展开到二阶
项, 此时可得到 hp
KQ
+
≈
λλ 22
2 , 则
)(
2
hp
KQ
+
≈
∗
λ
§9.2 维修问题
一、问题的背景与提出
现实中许多系统在使用过程中, 往往由于维修性问题考虑不周, 而使维修费用过大. 特别是
系统突发性故障, 常常会造成巨大的损失, 有时会招致灾难性后果. 因而在故障前进行预防性维
修是提高系统可靠性、安全性和经济性的有效措施. 维修问题最早起因与机器维修问题, 后发展
为可靠性理论, 是应用概率和应用数理统计的一个重要分支.
二、模型假设
(2)只考虑一个部件的故障, 部件寿命是随机的, 遵从指数分布 0)( ,0 ,1 >≥−
− λλ te t ;
(3)部件故障需检测才会发现, ci为一次检测费用, 检测时间忽略不计, 检测时间间隔为T;
(4)若发现部件故障, 则立即更换, cf为一次更换费用, 更换时间忽略不计. 若发现部件仍正常,
则让部件继续工作;
(5)部件故障没能及时发现, 造成的单位时间损失为cd;
(6)决策准则是期望费用最小.
三、建模与求解
因部件故障需检测才能知道, 所以检测时间间隔过大, 致使设备经常处于故障状态, 造成故
障损失(停工损失或需要使用时不能及时提供的损失); 检测时间间隔过小, 造成不必要的过多检
测费用损失. 问题是寻找最优的检测时间间隔T.
设相邻两次更换的时间间隔为一个周期. 当部件寿命t满足nTλ(cf-ci)时,则有唯一有限解T*, 此时可用数值方法或图解法求解.
(2) 一般来说, 检测时间间隔T不一定是常数, 而应该根据故障出现时刻的概率来确定. 在故
障概率大的时候检测间隔短; 故障概率小时检测间隔长. 故T是时间的函数.
§9.3 风险决策的咨询价值
一、问题的背景与提出
人们在处理问题时, 往往面临着抉择, 即需要做出决策. 而对未来信息的不完全了解, 决策要
冒一定的风险. 这种在不确定条件下的抉择, 在现实世界中处处存在, 即风险决策. 在风险决策的
情况下,人们为了增强决策的可靠性,常常要对未来信息作进一步的咨询(为获得新信息所进
行的试验或调查). 咨询要付出一定的代价, 人们关心的问题是咨询有多大的价值, 是否值得咨
询?
二、模型的假设
(1)面临抉择的方案集合为A={A1,A2,…,Am}, 即策略集合;
(2)未来状态是随机的, 状态集合为S={S1,S2,…,Sn}, 其概率分布为P{Sj}=pj,
(3)决策的损益函数为vij=V(Ai,Sj), 即采取方案Ai在状态Sj时带来的损失或收益;
(4)咨询的结果集合为I={I1,I2,…,Il}, 咨询信息I的质量为P(Ik|Sj)=pkj, 咨询费用为C;
(5)决策准则为期望损益最优.
三、建模与求解
不妨设损益为收益, 咨询前的最大期望收益
)()(max
1
s
n
j
iijii
AEpvAE == ∑
=
由全概率公式和贝叶斯公式有
∑
=
==
n
j
jjkk lkSPSIPIP
1
..., ,2 ,1 )()|()(
)|( kjjk ISPq = k=1,2,…,l, j=1,2,…,n,
1
1
=∑
=
n
j
jkq
咨询结果为Ik时, 最大期望收益为
lkIAEvqIAE kt
n
j
ijjkkii
,... ,2 ,1 )|()|(max
1
=== ∑
=
咨询后的期望收益为
∑
=
=
l
k
kkt IPIAEER
1
)()|(
当ER–E(As)>C时,值得咨询;当ER–E(As)≤C时,不值得咨询.
四、模型试验
例4 某公司生产某种产品有三种生产方案A1,A2,A3, 其收益依未来市场而定. 市场对该产品的
需求程度是不确定的, 简单地归结为两种情况, 需求高S1; 需求低S2. 根据以往的情况估计概率为
P(S1)=0.6, P(S2)=0.4, 已知在不同方案下的后果估计列入下表
后果
策略
状 态
S1 S2
A1 180 000元 -150 000元
A2 120 000元 -50 000元
A3 100 000元 -10 000元
在决策实施以前再进行一次新的市场调查. 调查结果可能得到对市场情况乐观的报告I1或者得到
对市场情况悲观的报告I2. 根据市场研究小组过去类似的调查经验,该小组的调研水平为P(I1|
S1)=0.7, P(I2|S2)=0.6. 调查费用为5000元, 是否值得调查?
解 根据假设v11=180000, v12=-150000, v21=120000, v22=-50000, v31=100000, v32=-10000
如果不调查,三个方案的期望收益为
E(A1)=0.6×180000+0.4×(-150000)=48000
E(A2)=0.6×120000+0.4×(-50000)=52000
E(A3)=0.6×100000+0.4×(-10000)=56000
其中方案A3的期望收益最大,决策便是执行方案A3.
如果调查,计算概率有
P(I1)=0.58, P(I2)=0.42
q11=P(S1|I1)=0.72, q21=P(S2|I1)=0.28, q12=P(S1|I2)=0.43, q22=P(S2|I2)=0.57
咨询结果为I1时, 最大期望收益为
== ∑
=
n
j
ijjii
vqIAE
1
11)|(max
E(A1|I1)=89000
咨询结果为I2时, 最大期望收益为
== ∑
=
n
j
ijjii
vqIAE
1
22 )|(max
E(A3|I2)=37100
咨询后的期望收益为
∑
=
=
l
k
kkt IPIAEER
1
)()|(
=67202
因ER–E(A3)=67202–56000=11202>C=5000, 所以值得调查.
五、模型的分析与讨论
(1) 灵敏度分析. 在咨询前, 考察状态概率的估计值对最优策略的选择是否灵敏, 即如果概率
值轻微的改变就会影响到最优策略的选择, 则咨询是非常必要的; 相反, 如果概率旨在较大的范
围内变化也不会改变原来的决策, 则咨询应停止. 灵敏度分析的步骤是:
a.选择某状态的概率估计作为分析变量;
b.通过计算期望值确定最优策略Ai和次最优策略Aj;
c.令E(Ai)=E(Aj), 并从中解出分析变量的值;
d.把上一步解出的值与原来的估计值相比较,观察改变量对决策是否灵敏,并选择新变量
重复上述过程.
以例4为例, 选择状态S1的概率p作为分析变量,由策略对应的期望值知,最优策略为A3, 次
最优策略为A2, 令E(A3)=E(A2), 即p×100000+(1-p) ×(-10000)=p×120000+(1-p) ×(-50000). 解
得:
67.0
3
2
≈=p
, 这说明当S1的概率估计值在0.6到0.67之间都不会改变对A3的选择,状态概
率的估计对决策较灵敏. 咨询有必要.
(2) 全信息的价值. 假定咨询可以绝对准确地预报未来出现的状态, 这称为全信息. 通过全信
息下的期望收益与未咨询时的最大期望收益值差, 可考察在信息方面有多大的潜力可挖. 如例4,
P(S1|I1)=1, P(S2|I2)=1. 咨询后的期望收益为ER=180000×0.6+(-10000) ×0.4=104000, ER-
E(A3)=104000-56000=48000. 这是全信息的价值,是咨询费用的上界.
§9.4 对策问题
一、问题的背景与提出
在现实世界中,我们经常见到带有竞争或对抗性质的现象. 像体育比赛、市场竞争、军事斗
争、政治谈判等,这类现象的共同特点是参加的往往是利益相冲突的双方或几方,为了达到各
自的目标和利益,各方必须考虑对手的各种可能的策略,并力图选取对自己最有力或最为合理
的策略. 对抗的结果并不只取决于某一方所选取得策略, 而是与各方所选取得策略有关. 这类带
有对抗性质的现象, 称为对策现象. 用数学方法来研究对策现象, 就是研究在对策现象中, 对抗各
方是否存在着最合理的策略, 以及如何找到这个合理的策略.
二、模型的假设
(1)由两个对策参与者, 即局中人, 局中人集合为I={1,2};
(2)局中人1, 2的策略集合分别为S1={α1, α2,…, αm},S2={β1, β2,…, βn};
(3)局中人1的赢得函数为aij=H(αi, βj), 局中人2的赢得函数为–aij, 即局中人1赢得aij, 局中人2
就失去–aij;
(4)局中人1, 2是理智的.
三、建模与求解
由假设(3)有局中人1的赢得矩阵为A=(aij)m×n.
我们的问题是考虑,在这个对策现象中,是否存在一个局势(α, β), α∈S1, β∈S2, 使得局中人
1采取α策略是最合理的,居中人2采取β策略是最合理的. 如果存在我们称该局势为平衡局势. 考
虑到对策双方的行为是理智的, 谁也不会去冒险, 必然采取最稳妥的策略. 最稳妥的策略是指: 局
中人采取各种策略时, 最不利的情况是什么, 而从这些最不利的情况中选择最有利的一种. 即对
局中人1来讲最稳妥是考虑
ijji
aminmax
所对应的策略,同样对局中人2来讲最稳妥是考虑
ijij
amaxmin
所对应的策略.
由此, 当
ijji
aminmax
=
ijij
amaxmin
=
∗∗ jia 时,平衡局势
),( ∗∗ ji βα 存在,否则平衡局势不存
在. 当平衡局势不存在时, 双方都不能连续不变的使用某中策略. 因一方连续的使用某种策略而
获利时, 另一方必察觉, 从而改换其策略以对付. 所以双方必须考虑如何随机地使用自己的策略,
从而使对方难以捉摸.
设X=(x1,x2,…,xm)是局中人1在策略集合S1={α1, α2,…, αm}上的一个概率分布,即局中人1采
取策略αi概率为xi,
1x ,0x
m
1i
ii =≥ ∑
= , 称为局中人1的一个混合策略. Y=(y1,y2,…,yn)是局中人2在
策略集合S2={β1, β2,…, βn}上的一个概率分布,即局中人2采取策略βj概率为yj,
1y ,0y
n
1j
jj =≥ ∑
=
, 称为局中人2的一个混合策略.
由于局中人1,2采取策略是相互独立的, 所以局中人1赢得aij的概率为xiyj, 局中人1的期望赢得
为
∑∑
= =
=
m
i
n
j
jiij yxaYXE
1 1
),(
此时局中人2的期望赢得为-E(X,Y).
类似于前面的讨论,对局中人1来讲希望达到
),(minmax YXE
ji ,对于局中人2来讲希望达
到
),(maxmin YXE
ij ,则当
),(minmax YXE
ji =
),(maxmin YXE
ij 时,是双方最好的选择.根
据对策论的结论, ),(
∗∗ YXE =
),(minmax YXE
ji =
),(maxmin YXE
ij 成立的充要条件是, 存在
数v, 使得X*,Y*分别是不等式组
=≥
=
=≥
∑
∑
=
=
m2,..., ,1 0
1
n..., ,2 ,1
1
1
ix
x
jvxa
i
m
i
i
m
i
iij
(1)
和不等式组
=≥
=
=≤
∑
∑
=
=
njy
y
mivya
j
n
j
j
n
j
jij
,...,2,10
1
,...,2,1
1
1
(2)
的解,且v=E(X*,Y*).
如果局中人1的赢得矩阵A=(aij)的每一个数都加上一个常数k以后,赢得矩阵就变为(aij+k).
由上面(1),(2)两式,显然两个局中人的最优策略不会改变,只是值由v变成v+k.. 所以我
们不妨设aij>0, (I=1,2,…,m, j=1,2,…,n), v>0. 这样不等式(1),(2)就可改写成
nj
n
j v
jy
ija
miix
m
i v
ix
ija
,...,2,1 ,0jy ,
1
m1,2,...,i 1)(
,...,2,1 ,0 ,
1
n1,2,...,j 1)(
=≥
=
=≤
=≥
=
=≥
∑
∑
(3)
将不等式组(3)变成一组对偶线性规划问题:
找
),...,2,1( mxxxX ′′′=′ 满足
=≥′
=≥′
′
∑
∑
=
=
mix
njx
x
i
i
m
i
i
,...,2,1 0
,...,2,1 1a
min
m
1i
ij
1
(4)
找
),...,2,1( nyyyY ′′′=′ 满足
=≥′
=≤
=
′
=
′
∑
∑
njjy
mi
n
j
jyija
n
j
jy
,...,2,1 0
,...,2,1 1
1
1
max
(5)
由(4),(5)即可找到局中人1,2的最好选择X*,Y*.
四、模型试验
例5 某公司
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
将30万元投资与三种不同的行业A1、A2、A3. 一年后所得利润(单位:万元)将随该
年内的经济发展而定, 对不同的经济状况, 这笔投资可能获得的利润预测如下:
状态
利润
行业
经济展望
不良 一般 良好
A1 2 0 2
A2 0 3 1
A3 1 2 1
试问该公司应如何决定其投资方案.
解 我们将投资公司看作局中人1, 三种行业A1、A2、A3看作三个策略α1、 α2、α3, 将经济展望的
不同状态看作局中人2的三个策略β1、 β2、β3. 就可将此问题看作一个对策问题.
根据上面的讨论, 我们只需解线性规划
≥′′′
≥′+′+′
≥′+′
≥′+′
′= ∑
=
0,,
12
123
12
min
321
321
32
31
3
1
xxx
xxx
xx
xx
xf
i
i
≥′′′
≤′+′+′
≤′+′
≤′+′
′= ∑
=
0,,
12
13
122
max
321
321
32
31
3
1
yyy
yyy
yy
yy
yg
j
j
用线性规划方法可解的
4
3,
4
1,
4
1,
4
1,
4
3,
2
1,0,
4
1
321321 ==′=′=′==′=′=′ gyyyfxxx
所以局中人1的最优策略为
)
3
2,0,
3
1(=∗X
, 局中人2的最优策略为
)
3
1,
3
1,
3
1(=∗Y
, 矩阵对策的
值为 3
4
=v
.
由此可知,在不能肯定下一年的经济状况的条件下,该公司的最合理的投资方案为:向A1
投资
1030
3
1
=×
(万元),向A3投资
2030
3
2
=×
(万元),不向A2投资. 该公司至少可获得
利润 3
4
(万元).
五、模型的分析与讨论
当矩阵对策的赢得矩阵阶数较高时, 解(4)、(5)线性规划的计算量是较大的. 考虑到频率是
概率的近似, 局中人1的一个混合策略X=(x1,x2,…,xm),可设想成当两个局中人多次重复进行对
策时,局中人1分别采取策略α1, α2,…, αm的频率. 同样, Y=(y1,y2,…,yn) 可设想成局中人2分别采
取策略β1, β2,…, βn的频率. 于是, 求解矩阵对策可以用一种近似的方法—迭代法. 其基本思想是:
假设两个局中人反复进行对策多次, 在每一局中各局中人都从的策略即中选取一个使对方获得
最不利结果的策略, 即第k局对策策略的选取欲使对手在前k-1局中的累计所得(或累计所失)
最少(或最多). 具体做法是: 在第1局种, 从两个局中人中任选一人, 例如局中人1, 让他先采取
任意一个策略, 例如 iα . 然后局中人2随之采取策略 j
β
使采取了 i
α
的局中人1的所得为最少. 在
第2局种, 局中人1认为局中人2还将采取 j
β
,故采取某一策略 kα 使局中人2所失为最多, 然后局
中人2有采取某一策略, 使局中人1在前两局中的累计赢得为最少. 在第3局种, 局中人1又采取某
一策略使局中人2在前两局中的累计所失为最多, 然后局中人2又采取某一策略使局中人1在前两
局中的累计所得为最少. 以后各局均照此方式对策下去, 直到迭代的结果达到一定的满意程度为
止. 当迭代结束时, 我们就用局中人各策略在已进行的N局对策(N步迭代)中出现的频率分布作为
最优混合策略中概率分布的一个近似.
设
),...,,( 21
k
m
kkk xxxX = , ),...,,( 21
k
n
kkk yyyY = , 其中
k
ix (i=1,2,…,m),
k
jy (j=1,2,…,n)分别表
示局中人1,2在第k局对策中取策略 iα , j
β
的次数.
kk X
k
X 1=
,
kk Y
k
Y 1=
分别为X*,Y*的近似
值. 算法如下:
(1). 给定N, k:=1, 任取
1),0,...0,1,...,0,0( 11
1
== ixX .
(2). 求
11111
},...,,min{)(min 21
1
1
jiniii
m
i
iijj
aaaaxa ==∑
= 得 )0,...,0,1,...,0,0(
1
=Y .
(3). 一般地,设已求得
11 −− kk YX 和
如果
∑ ∑
= =
−−
=
n
j
n
j
k
jji
k
jiji
yaya
k
1 1
11 )(max
,则令
=+
≠
=
−
−
k
k
i
k
k
ik
i iix
iix
x
如果
如果
11
1
如果
∑∑
==
=
m
i
k
iij
m
i
k
iijj
xaxa
k
11
)(min
,则令
=+
≠
=
−
−
k
k
j
k
k
jk
j jjy
jjy
y
如果
如果
11
1
),...,2,1(1 mix
k
x ki
k
i ==
,
),...,2,1(1 njy
k
y kj
k
j ==
(4). 如果k=N, 计算结束. 如果k
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
问题
一、问题的背景与提出
在科学研究和生产中,无论是改革旧工艺,还是研制新产品,都需要做试验. 如果作全面
试验的话, 试验的次数往往很多. 如某问题中所考察的指标受8个因素的影响, 若每个因素取5个
水平, 则要作全面试验的话, 需作58=390625次试验, 显然这根本不可能. 于是, 如何安排试验是一
个很值得研究的问题. 试验安排的好, 次数不多就能掌握其内在规律, 得到正确的结果; 试验安排
的不好, 往往作了很多次试验, 仍然得不出明确的结论. 因此, 做试验要讲究如何安排试验, 即试
验设计. 通过试验设计给出最好的工艺条件.
正交试验设计法是得到广泛应用的一种试验设计方法. 它是借助预先设计好的“正交表”
来安排试验和对数据进行统计分析的一种试验设计法. 下面我们不准备讨论正交表的构造, 只考
虑如何使用正交表和安排试验和进行统计分析.
二、模型的假设
(1)只考虑一个指标f, 指标值越大越好;
(2)影响指标的因素至少在两个以上;
(3)不考虑因素之间的作用.
三、建模与求解
首先分析问题, 确定影响指标的主要因素及各因素的变化范围(即因素水平). 若确定影响指
标的主要因素有s个,每个因素有t个水平. 其次选取正交表, 因每个因素有t个水平,所以应选取
正交表Ln(tm)(m≥s).将各因素随机安排在表上方的各列中. 根据正交表, 可得试验次数为n, 每
行为确定水品下的一次试验,即一次试验方案. 记Tij为第j列第i水平. 最后
记录
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各次实验结果
yi(I=1,2,…,n),作极差或方差分析. 若无空列作极差分析, 有空列作方差分析.
极差分析:
计算每一列第i水平所对应的实验结果之和. 记|Tij|为第j列第i水平所对应的实验结果之和.
取每一列极差:
||min||max ijT
i
ijT
i
jR −=
(1)
由极差大小排出因素的主次Rj1≤Rj2≤…≤Rjm, 即各因素对指标的影响. 选取较好的水平, 若
||||max jiTijT
i α
=
, 则选取第j因素的 αi 水平. 则最好的工艺条件为
jsiTjiTjiT
s
k
jkiT
αααα
...21
1
=
=
∏
方差分析:
计算
∑
=
=
n
i
iyn
y
1
1
, t
nr =
=−=
=
=−= ∑
mjtjf
t
i
mjy
r
ijTrjS
,...,2,1 1
1
,...,2,1 )
||
(
(2)
由Sj的大小排出因素的主次, 对各因素作用做显著性检验. 若某一列未安排因素, 则称该列的
Sj为误差平方和. 将所有误差平方和Sj1,Sj2,…,Sjl及fj1,fj2,…,fjl相加,记为
∑ ∑
= =
==
l
k
l
k
jkejke ffSS
1 1
,
构造统计量
ee
jj
j fS
fS
F
/
/
∆
(3)
当各因素作用不显著时, Fj~F(fj, fe) (j=1,2,…,s). 于是,对于给定的显著水平α,当Fj值大于
F1-α(fj, fe)时,则在检验水平α下,推断该因素作用显著,否则认为不显著. 由此排出各因素的显
著性的主次Fj1,Fj2,…,Fjs, 若
||||max jiiji TT α= , 则选第j因素的 αi 水平. 故最好的工艺条件为
jsijiji
s
k
jki TTTT αααα ...21
1
=∏
= .
四、模型试验
例6 某种钢材的强度受三个因素的影响: 淬火温度A、回火温度B和回火时间C. 根据经验,三
种因素的变化范围为
因素
水平
淬火温度A
(℃)
回火温度B
(℃)
回火时间C
(″)
1 840 410 40
2 850 430 60
3 860 450 80
试确定此钢材的热处理工艺条件.
解 因这是一个三水平的试验问题, 故应选取Ln(3m)型的正交表. 由于只有三个因素A,B,C, 故
选L9(34)表. 将因素填在表上方, 如将A,B,C分别填在L9(34)的第1、第3和第4列的表头,就得到所
需试验方案. 共需做9次试验. 假设9次试验的结果为:190、200、175、165、183、212、196、178、187.
计算有关数据见下表
序号
试验号
A B C
1 2 3 4
数据
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
y1=190
y2=200
y3=175
y4=165
y5=183
y6=212
y7=196
y8=178
y9=187
|T1j| 565 551 580 560
|T2j| 560 561 552 608
3.187=y
|T3j| 561 574 554 518
Rj 5 23 28 90
Sj 4.67 88.67 162.67 1352
fj 2 2 2 2
Fj 0.05 1.86 15.23
用极差分析法可知:回火时间C是强度的主要因素,最好的工艺条件为A1B1C2.
用方差分析法可知: 回火时间C显著,回火温度B和淬火温度A不显著. 最好的工艺条件为
A1B1C2.
五、模型的分析与讨论
(1) 分析各因素水平变化时指标变化的情况.
a. 若|Tij|严格单调变化较快,则说明第j因素随着水平i的变化,指标值上升幅度较大,由此,
若还希望进一步提高指标值的话,则可取第j因素更高的水平做进一步的探索试验, 以便能提高
指标值;
b. 若|Tij|先递增后递减,则说明在极大点附近已是最好的水平了;
c. 若|Tij|单调变化较慢,则说明第j因素随着水平i的变化,指标值变化不大,若该因素对指
标影响甚微的话,可根据节约、方便等方面的考虑任取一个水平.
(2) 做因素显著性检验时, 可先计算 jjj
fSS /=
, eej
fSS /=
. 当 jj
SS <
时,Sj就可以当
作误差平方和并入Se中去,将全部可以当作误差的Sj皆并入Se后得到新的误差平方和,记为
∆
eS .
相应的自由度fj也并入fe, 记为
∆
ef . 然后再对其他的Sj用
∆∆
∆ ∆
ee
jj
j fS
fS
F
/
/
做检验. 各因素作用不显
著时, 有
∆
jF ~ ),(
∆
ej ffF . 与适当
∆
jF > ),(1
∆
− ej ffF α 时, 则以检验水平α推断该因素影响显著;
否则认为不显著.
以例6为例, 第2列为空列, 因此Se/fe=88.67/2=44.34, 而第1列的S1/f1=4.67/2=2.34比 e
S
小,故
将此列并入误差,有
∆
eS =Se+ S1=88.67+4.67=93.34,
∆
ef = fe+ f1=2+2=4,
49.3
4/34.93
2/67.162
3 ==
∆F
,
97.28
4/34.93
2/1352
4 ==
∆F
, F0.1(2,4)=4.32. 故回火时间C显著,回火温度B不显著.
习 题 九
1.某商店要订购一批商品零售,设购进价为c,售出价p,一次订购手续费k,随机需求量x的
密度函数为f(x),每件商品的贮存费h. 问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大. 这个平均
利润是多少. 为使这个平均利润为正值, 需要对订购费k加什么限制?
2. 某企业对于某中材料的月需求量为随机变量,具有如下表概率分布:
需求量(吨) 50 60 70 80 90 100 110 120
P(x=k) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.20 0.10 0.10 0.05
每次订货费为500元,每月每吨保管费50元,每月每吨缺货费为1500元,每吨材料的购价为
1000元. 该企业应如何进货?
实施结果
咨询意见
成功 失
败
可以投资 152 3
不宜投资 38 7
3. 某人有5万元资金, 若用于某项投资, 估计成功率为0.9, 一年后可获利20%; 一旦失败, 则将丧失
全部资金. 若把资金存入银行, 则可稳得年利6%. 为获得更多信息, 可求助于咨询公司, 咨询费
500元. 据统计, 咨询公司过去200次类似咨询的情况如表所示, 试问此人将如何使用这笔资金.
4. 某公司有一份拥有钻探某处油井权力的租约. 该公司可自行钻井开采. 也可将此租约出售, 从
而获利5万元. 钻井的可能结果如下表所示. 假定有一试验需花费5千元, 可以确定地下构层类型.
局以往统计, 有25口井随机择自此地附近. 其情况如下表所示. 如试验不加防范, 将有90%的可能
会泄密, 出现这种情况此租约就不再能出售; 如严加防范需花费7千元, 能使泄密的可能性降至
10%. 时对此做出决策.
可能的结果 概率 获利(万元) 构层
井类
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
干井 0.16 -15 干井 4 0 0
气井 0.40 5 气井 1 9 0
油气井 0.24 10 油气井 0 6 0
油井 0.20 20 油井 0 0 5
β1 β2 β3
α1
α2
α3
4 -1 5
0 5 3
3 3 7
5. 一工厂, 用三种不同的设备α1, α2, α3加工三种不同的产品β1, β2, β3, 已知这三种设备分别加工三
种产品时, 单位时间内创造的价值如下表所示. 其中负值表示设备消耗大于所创造的价值. 试求
一组合理的加工方案.
类型
疗效
方案
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
A1 0.5 0.5 0.5 0.51 0.
1
A2 1 0.3 0 0 0.
1
A3 1 0.5 0 0 1
6. 某种疾病, 知道是由五种不同类型细菌中的一种所引起的, 但目前尚不能肯定是有哪一种所引
起的. 对此医生针对五种不同情况, 使用三种治疗方案, 其疗效如下表所示. 问医生应采取怎样的
治疗方案最有利.
7. 某毛纺厂为了摸索洗呢工艺对织物弹性的影响, 从而找出较优洗呢工艺, 进行了二水平四因素
试验, 因素间的交互作用均可忽略. 考核指标为织物弹性(次数越多越好), 因素水平如下表. 选用
表L8(27), 因素A、B、C、D依次排在第1、2、4、7列上. 8次实验结果为
:150,135,156,147,130,131,144,131. 使用方差分析法选出较优工艺及因素的主次顺序(取检验水平
α=0.05)
因素
水平
A
洗呢时间
B
洗呢温度
C
洗涤剂浓度
D
煮呢槽规格
1
2
20
30
30
50
5
10
单槽
双槽
参 考 文 献
[1] 姜启源,数学模型,高等教育出版社,1993.
[2] 徐光辉等,运筹学基础手册,科学出版社,1999.
[3] 刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模,北京师范大学出版社,1997.
[4] 雷功炎,数学模型讲义,北京大学出版社,1999.
[5] 数学建模试验,西安交通大学出版社,1999.
[6] 吴翊等,应用数理统计,国防科技大学出版社,1995.