鸡兔同笼问题

2010行测专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 鸡兔同笼 一、基本问题 “鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路. 例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？ 解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是 244÷2=122（只）. 在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数 122-88=34， 有34只兔子.当然鸡就有54只. 答：有兔子34只，鸡54只. 上面的计算，可以归结为下面算式： 总脚数÷2-总头数=兔子数. 上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法. 还说例1. 如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了 88×4-244=108（只）. 每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡 （88×4-244）÷（4-2）= 54（只）. 说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）. 当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了 244-176=68（只）. 每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚， 68÷2=34（只）. 说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式 兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）. 上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数. 假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”. 现在，拿一个具体问题来试试上面的公式. 例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？ 解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚. 现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有 蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11） =24÷8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）. 答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔. 对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是 8×（11+19）=240. 比280少40. 40÷（19-11）=5. 就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3. 30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算. 实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数 19×10+11×6=256. 比280少24. 24÷（19-11）=3， 就知道设想6只“鸡”，要少3只. 要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子. 例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？ 解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）. 现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了. 根据前面的公式 “兔”数=（30-3×7）÷（5-3） =4.5，“鸡”数=7-4.5=2.5， 也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.答：甲打字用了4小时30分. 例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？ 解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是 （25×4-86）÷（4-3）=14（岁）. 1998年，兄年龄是 14-4=10（岁）. 父年龄是 （25-14）×4-4=40（岁）. 因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 （40-10）÷（3-1）=15（岁）. 这是2003年. 答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍. 例5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？ 解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的 蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6） =5（只）. 因此就知道6条腿的小虫共 18-5=13（只）. 也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式 蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）. 因此蜻蜓数是13-6=7（只）. 答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉. 例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？ 解：对2道、3道、4道题的人共有 52-7-6=39（人）. 他们共做对 181-1×7-5×6=144（道）. 由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样 兔脚数=4，鸡脚数=2.5， 总脚数=144，总头数=39. 对4道题的有 （144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）. 答：做对4道题的有31人. 二、“两数之差”的问题 鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ 例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？ 解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. （680-8×40）÷（8+4）=30（张）， 这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70（张）. 答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是 4×20+8×60=560. 比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是 （680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）. 因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）. 例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天 工程要多少天才能完成？ 解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有 （150-8×3）÷（10+8）= 7（天）. 雨天是7+3=10天，总共 7+10=17（天）. 答：这项工程17天完成. 请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系. 总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ 例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是 （100+28÷2）÷（2+1）=38（只）. 鸡是 100-38=62（只）. 答：鸡62只，兔38只. 当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是 （100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是 4×50-2×50=100， 比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是 （100-28）÷（4+2）=12（只）. 兔只数是 50-12=38（只）. 另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”. 例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首. 解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 13×5×4+20=280（字）. 每首字数相差 7×4-5×4=8（字）. 因此，七言绝句有 28÷（28-20）=35（首）. 五言绝句有 35+13=48（首）. 答：五言绝句48首，七言绝句35首. 解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了 460-280=180（字）. 与题目中“少20字”相差 180+20=200（字）. 说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200÷8=25（首）. 五言绝句有 23+25=48（首）. 七言绝句有 10+25=35（首）. 在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事. 例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是 （680-8×40）÷（8+4）=30（张）. 例9，假设都是兔，鸡的只数是 （100×4-28）÷（4+2）=62（只）. 10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是 （20×13+20）÷（28-20）=35（首）. 首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？ 当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事. 例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是 （400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）. 答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶. 请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？ 例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是 8×6-2×（15-6）=30（分）. 两次相差 120-30=90（分）. 比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少 6+10=16（分）. （90-10）÷（6+10）=5（题）. 因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）. 第一次得分5×19-1×（24- 9）=90. 第二次得分8×11-2×（15-11）=80. 答：第一次得90分，第二次得80分. 解二：答对30题，也就是两次共答错 24+15-30=9（题）. 第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）. 如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是 （6×9+10）÷（6+10）=4（题）· 第一次答错 9-4=5（题）. 第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）. 第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）. 三、从“三”到“二” “鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法. 例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？ 解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作 （0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）. 现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是 （300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）. 铅笔和圆珠笔共 232－12＝220（支）. 其中圆珠笔 220÷（4+1）=44（支）. 铅笔 220-44=176（支）. 答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支. 例14 商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？ 解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是 （1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）. 从公式可算出，大球个数是 （120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）. 买中、小球钱数各是 （120-30×3）÷2=15（元）. 可买10个中球，15个小球. 答：买大球30个、中球10个、小球15个. 例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了. 例15是为例16作准备. 例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？ 解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离÷所用时间 去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米. 千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）÷2=4.5千米. 例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？ 解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 （90-4×21）÷（5-4）=6（小时）. 单程平路行走时间是6÷2=3（小时）. 从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是 45-5×3=30（千米）. 又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是 （6×7-30）÷（6-3）=4（小时）. 行走路程是3×4=12（千米）. 下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）. 答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米. 做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题. 例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？ 解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题. 每次考25道题，就要多25-16=9（道）. 每次考20道题，就要多20-16=4（道）. 就有 9×考25题的次数+4×考20题的次数=42. 请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）. 答：其中考25题有2次. 例18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？ 解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车， 110-1.2×30=74（元）. 还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.2×40=62（元）. 还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成“鸡兔同笼”了： 总头数 50-35=15， 总脚数 110-1.2×35=68. 因此，乘小巴前往的人数是 （6×15-68）÷（6-4）=11. 答：乘小巴前往的同学有11位. 在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.