巧解带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动是《磁场》这一章中的重要内容，求解这类题往往要用到洛伦磁力、圆周运动以及圆的几何知识等等，是学生解题中的一个难点，主要难在画不出轨迹，找不出与半径、圆心等相应的几何关系 以圆为核心，巧解带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题 安吉县昌硕高级中学（lu72810@tom.com） 陆社红 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动是《磁场》这一章中的重要内容，求解这类题往往要用到洛伦磁力、圆周运动以及圆的几何知识等等，是学生解题中的一个难点，主要难在画不出轨迹，找不出与半径、圆心等相应的几何关系。笔者认为，如果我们在解这类题时能紧紧地抓住“圆”这个核心，也许问题能迎刃而解。让我们先来复习两点基本知识。 1、​ 有关圆的平面几何知识。（如右图） 1​ 若在圆周上的任意一点作切线，则该切线一定与该圆的半径垂直。 2​ 若在圆周上作一条弦，则弦切角θ是其所对圆心角的一半。 3​ 过圆心作弦的垂线（即中垂线），则弦和弧长被其平分（或者说中垂线两边对称）。 2、​ 将带电粒子垂直射入匀强磁场中，若其只受洛伦磁力作用，因洛伦磁力f洛始终与速度v垂直，故f洛只改变v的方向而不改变v的大小，由向心力来源知qvB = mv2 / r ∴r = mv / qB 而运行周期T = 2πr / v =2πm / qB 。这两个等式就是我们经常要用到的半径公式和周期公式。 带电粒子在匀强磁场中的运动问题一般来说求的是两个量，一个是时间——我们可利用周期T，看带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹是一个圆周长的几分之几，用圆心角来算；另一个是与长度有关的量（如射入、射出的位置，范围等）。 要解决这两个问题，都有赖于学生能完整正确地画出圆的轨迹，找出相应的几何关系。如何解决画轨迹的问题呢？笔者建议大家在解题时可不管三七二十一先在草稿纸上画一个完整的圆，然后分析原题中入射粒子的洛伦磁力，确定粒子的运动轨迹朝哪边弯（顺时针还是逆时针），再将其与我们画好的圆相对照，根据题目的意思看题中的轨迹是落在这个完整圆中的哪一部分。即我们先确定轨迹“圆”，再往回推导的逆向思维方法。请看下例： 例1：如下左图所示，真空中狭长形区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向内，区域的宽度为d，CD、EF为区域的边界。现有一束电子（电量为e ，质量为m）以速率v从CD侧垂直于磁场与CD成θ角射入，为使电子能从另一侧EF射出，则电子的速率v应满足的条件是 。 分析与解：我们先在草稿纸上画一个圆（如上右图所示）。电子从P点入射后受f洛作用将作顺时针方向的匀速圆周运动，其轨迹肯定是一个圆（可能不完整），根据题意，可在我们已画好的圆上确定入射点P，画出磁场的左边界CD；假定磁场的右边界可移动，我们再画一条与CD平行的直线EF（磁场的右边界），并逐渐向圆靠近，则当EF与圆相切时，就是电子能从EF射出的临界条件（设此时圆的半径为r0）。依题意，磁场宽度一定，故只有当圆的半径r ＞ r0时才能满足要求。根据圆的几何知识，可得：r0 + r0cosθ= d ∴ r0 = d /（1 + cosθ） 又 r = mv / eB ∴ mv / eB ＞ d /（1 + cosθ） 即 v ＞ edB / m（1 + cosθ） 相似题：如右图所示，匀强磁场区域的宽度d = 8 cm，磁感应强度B = 0.332T，方向垂直纸面向里。在磁场边界CD的中央放一个放射源S，它向各个不同方向均匀地放出速率相同的α粒子。已知α粒子质量m = 6.64×10-27kg，电荷量q = 3.2×10-19C，初速度v = 3.2×106 m / s 。求从磁场区另一边界EF射出时沿EF上下方向的最大长度范围。 例2：如右图所示，在坐标轴的第一象限同时存在着匀强电场和匀强磁场。水平匀强磁场与坐标平面垂直，水平匀强电场与坐标平面平行。一质量 m = 1 g ，电量q = 2.0 × 10-3C的带电粒子，以速度v = 10 m / s与X轴成45°角从坐标原点O斜向上射入此复合场中，已知粒子在复合场中作匀速直线运动。当粒子到达图中的A点时，突然将电场方向变为竖直向上，粒子从Q点（图中未画出）飞离第一象限。已知OA两点间的距离为5 m。试求： 1）​ 电场强度E和磁感应强度B的大小； 2）​ Q点的坐标及带电粒子在第一象限内的运动时间。 分析与解：该题虽然是带电粒子在复合场中的运动情况，但在第2）问中，仍是圆周运动的问题。① 对带电粒子进行受力分析（如右图），因粒子作匀速直线运动，则∑F = 0， ∴ qE = mg ； qvB = mg ∴ E = mg / q = 1×10-3×10 / 2×10-3 N / C= 5 N / C B = mg / qv = ×1×10-3×10 / 2×10-3×10 T= / 2 T ② 若带电粒子运动到A点时突然将电场方向变为竖直向上，则由1）知mg 与 qE平衡，只剩下洛伦磁力，故粒子将从A点开始作逆时针方向的匀速圆周运动，其轨迹肯定是一个圆（一部分），其半径r = mv / qB =1×10-3×10 / 2×10-3× m = 5 m。我们可在草稿纸上先画一个圆，依题意可确定A点在圆上的位置（如右图所示）。将速度矢量延长，则O′A ⊥v ，又 ∵ OA = 5 m = O′A = r ，∴ OAO′恰好构成一个等腰直角三角形，故原题中的Y轴过圆心，则Q点可确定了。从图中很容易得Q点在Y轴上的坐标为r + OO′=（ 5 + 10 ）m ；粒子的运行时间是OA间的匀速运动时间 t1 与 A 至Q点的圆周运动的时间t2之和。 t1 = OA / v = s ； ∠QO′A = 180°— 45 °= 135° ∴ 例3：电量为q、质量为m的带正电粒子在XOY平面内沿着Y = a的直线以速度v经Y轴上的P点射入XOY平面的第一象限。要求在第一象限内设置磁感应强度为B的一个圆形区域，使带电粒子发生偏转，最后经X轴上的M点（XM= 2a）射出，且偏转角θ=60°，如右图所示。试求能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径（粒子的重力不计）。 分析与解：依题意，磁场的方向垂直纸面向外。由于带电粒子的速度和磁场都是确定的，所以带电粒子作圆周运动的半径r = mv / qB也是确定的。将X轴和Y轴上的两个速度矢量（或反向）延长，与X、Y轴组成一个梯形，再画一个半径确定的圆（轨迹），并将此圆移至坐标中与两速度矢量相切（如下右图所示），过两切点作轨迹圆的弦，则最小圆形磁场的区域的圆直径就是此弦的长度。弦的长度AB可根据几何关系求得，如上左图所示，过两速度的矢量与圆轨迹的切点A、B各作两条垂线AO、BO相交于O点，则∠AOB = θ = 60°，过O作弦AB的垂线OD，则∠DOB = θ / 2 = 30°， ∴ 弦AB = 2r sin30°= r ，故能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径R = r / 2 = mv / 2qB。 例1的相似题略解：粒子在磁场里作圆周运动的半径r = mv / qB = 6.64×10-27×3.2×106 / 3.2×10-19×0.332m = 0.2 m = 20 cm ，从S以相同的速度v开始射入匀强磁场的带电粒子均作半径相同的圆周运动，能从磁场的右边界EF射出的粒子的范围就是两个分别与磁场的左右边界相切的圆在EF边界相交（切）的P、Q之间的距离（如右上图B所示）。由几何关系可知 PM = QM 。PM的求法如右上图A所示，PM2 +（r - d）2 = r2 ，∴ PM = 16 cm ，即带电粒子能从EF边界射出的范围是 32 cm 。 从以上是例题分析可见，要解决带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，我们可以先画出粒子运动的轨迹——圆，以圆为核心，结合数学中圆的平面几何知识，找出相应的关系，再用我们的物理知识解之。