量子力学基本假设

null§1.2 量子力学基本假设§1.2 量子力学基本假设 量子力学是描述微观粒子运动规律的科学。微观体系遵循的规律叫量子力学，因为它的主要特征是能量量子化。 量子力学和其他许多学科一样，建立在若干基本假设的基础上。从这些基本假设出发，可推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。经过半个多世纪实践的考验，说明作为量子力学理论基础的那些基本假设的是正确的。 Schrödinger，Heisenberg，Born & Dirac等人为量子力学的建立做出了突出贡献。§1.2.1 波函数和微观粒子的状态§1.2.1 波函数和微观粒子的状态1. 假设Ⅰ 对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x,y,z,t) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。 称为体系的状态函数（简称态），它包括体系所有的信息。 例：一个粒子的体系，其波函数： ψ=ψ(x, y, z, t) 或 ψ=ψ(q, t) 三个粒子的体系，其波函数： ψ=ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t)或ψ=ψ(q1,q2,q3,t) 简写为ψ=ψ(1,2,3,t) null在时刻t，粒子出现在空间某点(x,y,z)的几率密度与|(x,y,z)|2 成正比。 因此，又称为几率密度函数。 2. 定态波函数 不含时间的波函数(x,y,z)称为定态波函数。 有实函数和复函数两种形式 的复函数形式： ＝f＋ig。 （f, g为实函数，不是简单的常数） ||2 = *＝ (f-ig)(f+ig) = f2＋g2 因此||2 = *是实函数，且为正值。 null对于定态（几率密度与能量不随时间改变的状态） |(x,y,z,t)|2 = |(x,y,z)|2 则的形式必为：因为化学中多数问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是定态问题（与静态性质相联系）， 所以在多数情况下，就把(x,y,z,t)的空间部分(x,y,z)称为波函数。null例：证明 与 所描述的几率密度分布是相同的. 证明：null(x,y,z)?◆在原子、分子等体系中，将称为原子轨道或分子轨道 ◆几率密度：单位体积内找到电子的几率，即*； ◆几率：空间某点附近体积元d中电子出现的概率，即 *d； ◆电子云：用点的疏密表示单位体积内找到电子的几率,与*是一回事。 用量子力学处理微观体系，就是要设法求出的具体形式null3. 合格波函数（品优波函数） 由于||2描述的是几率密度，所以合格（或品优）波函数必须满足三个条件： ①单值的，即在空间每一点只能有一个值； ②连续的，即的值不能出现突跃；(x,y,z) 对x,y,z的一级微商也应是连续的； ③平方可积的（有限），即在整个空间的积分∫*d应为一有限值，通常要求波函数归一化，即∫*d＝1。 波函数的归一化：令归一化系数或因子此过程称为波函数的归一化null例. 指出下列那些是合格的波函数(粒子的运动空间为 0∝) (a) sinx；(b) e-x；(c) 1/(x-1)；(d) f(x)=ex ( 0 ≤x≤ 1)，f(x)=1 ( x＞1) 解答: (b)是合格的波函数§1.2.2 力学量和算符§1.2.2 力学量和算符1. 算符(Operator) 对某一函数进行一种运算或一种操作或一种变换的数学符号。 例如：∫dx; ∑; √; exp; d/dx; d2/dx2 一般情况下，一个算符作用于一个函数的结果是得到另一个函数 线性算符： 若算符Â对任意函数f(x)和g(x)满足： Â[f(x) + g(x)] = Âf(x) + Âg(x) 则算符Â称为线性算符。例如：∫dx; ∑; d/dx; d2/dx2 厄米算符（Hermite）： 若算符 满足∫1*Â2d＝∫1(Â2 )*d或∫1*Â2 d＝∫2(Â1 )*d 则算符Â称为厄米算符，又称为自共轭算符或自轭算符。 null 线性厄米算符： 例：Â＝id/dx → 线性算符 取函数1＝exp(ix)，1*＝exp(-ix)，则： ∫ 1*Â1dx ＝∫exp(-ix)(id/dx)exp(ix)dx＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x ∫ 1(Â1)*dx ＝ ∫exp(ix)[(id/dx)exp(ix)]*dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x 所以Â是线性厄米算符null2. 假设II： 对一个微观体系的每个可观测的力学量，都对应着一个线性厄米算符。 null部分可观测的力学量对应的算符§1.2.3 本征态、本征值和Schrödinger方程§1.2.3 本征态、本征值和Schrödinger方程1. 假设Ⅲ： 若某一力学量A对应的算符Â作用于某一状态函数后，等于某一常数a乘以，即Â＝a，那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的数值a，a称为力学量算符Â的本征值，称为Â的本征态或本征函数，Â＝a称为Â的本征方程。nullnullnull若厄米算符Â具有本征值，则其一定是实数 Â=a  ∫*Âd＝a∫*d ∫(Â )*d=a* ∫* d 对于厄米算符： ∫*Âd=∫(Â )*d 所以a=a*，所以a一定是实数null对于一个微观体系，厄米算符Â给出的本征函数组1，2，3…形成一个正交、归一的函数组。 正交性可证明如下： 设有 Âi＝aii； Âj＝ajj；而ai≠aj，当前式取复共轭时，得： (Âi)*＝ai*i*＝aii*，（实数要求ai＝ai*） 由于∫i*Âjd＝aj∫i*jd，而 ∫(Âi)*jd＝ai∫i*jd 上两式左边满足厄米算符定义，故，(ai－aj)∫i*jd＝0，而ai≠aj 故 ∫i*jd＝0 归一性：粒子在整个空间出现的几率为1。即 ∫i*id＝1 正交性：∫i*jd＝0。 ∫i*jd＝ij。null3. Schrödinger方程 能量算符的本征方程，是决定体系能量算符的本征值（体系中某状态的能量E）和本征函数（ 定态波函数，本征态给出的几率密度不随时间而改变）的方程，是量子力学中一个基本方程。具体形式为：null4. 非本征态的力学量的平均值 对某一物理量对应的算符Q，若Ψ不是Q的本征函数，则该物理量不具有确定的值，其平均值为：例：HΨ=E Ψ ￫ Ψ；此时得到的Ψ不是x和px的本征函数 （不同力学量同时具有确定值的条件：若M和L有一组共同的本征函数Ψn，且Ψn构成一个完备集合，则[M，L]，此时两物理量同时具有确定值）§1.2.4 态叠加原理§1.2.4 态叠加原理1. 假设Ⅳ： 若1，2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的= c11+c22+…+cnn也是该体系可能的状态。 例如原子中的电子可能以s轨道电子存在，也可能以p轨道存在，将s和p轨道的波函数进行线形组合，所得到的杂化轨道（sp、sp2、sp3）也是该电子可能存在的状态。 组合系数ci的大小反映I在中贡献的多少。null2. 本征态的力学量的平均值 设与1，2… n对应的本征值分别为a1，a2，…，an，当体系处于状态并且已归一化时，可由下式计算力学量的平均值〈a〉（对应于力学量A的实验测定值）： “对于一个微观体系，厄米算符Â给出的本征函数组1，2，3…形成一个正交、归一的函数组”§1.2.5 Pauli原理§1.2.5 Pauli原理1. 微观粒子的自旋： 电子具有不依赖空间运动的自旋运动,具有固有的角动量和相应的磁矩,光谱的Zeeman效应(光谱线在磁场中发生分裂)、精细结构都是证据。 ψ(x, y, z)￫ ψ(r); ψ(x, y, z, μ)￫ ψ(q) 电子是全同粒子 null 微观粒子的自旋性质可以用自旋角动量量子数s表征 费米子(fermions)： s为半整数的粒子，如电子、质子、中子等； 玻色子(bosons)： s为整数的粒子，如光子、α粒子、π介子等. 电子的自旋角动量量子数s为1/2，相应的自旋磁量子数ms有正、负1/2 两个值，常用上下两种箭头或α、β分别代表这两种自旋态(自旋没有经典类比。为方便起见，人们把它设想成粒子绕自身某种轴转动。但决不要把这当作真实情况！null2. 假设V： 描述多电子体系空间运动和自旋运动的全波函数，交换任两个电子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标），必然得到反对称的波函数。第二节小结 - 量子力学理论体系第二节小结 - 量子力学理论体系null1. 量子力学的五个基本假设： 假设Ⅰ：状态波函数和概率 对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x, y, z, t)表示，* 代表粒子出现的几率密度 。是体系的状态函数，它包含着体系的所有信息； null假设Ⅱ：力学量和线形厄米算符 对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一个线性自轭算符；null假设Ⅲ：本征方程与薛定谔方程 若某一力学量A的算符Â作用于某一状态函数后，等于某一常数a乘以，即Â＝a，那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的数值a。 a称为力学量算符Â的本征值，称为Â的本征态或本征函数，Â ＝a称为Â的本征方程；null假设Ⅳ：态叠加原理 若1，2…n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 = c11+c2 2+…+cnn也是该体系可能的状态；null假设Ⅴ：Pauli原理 描述多电子体系空间运动和自旋运动的全波函数，交换任两个电子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标），必然得到反对称的波函数null2. 量子力学理论处理问题的思路：② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及En，求得n③ 描绘n， n*n等图形，讨论其分布特点；④ 用力学量算符作用于n，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤ 联系实际问题，应用所得结果。① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger方程；