常微分方程模型

常微分方程模型nullnull微分方程建模null案例一、价格波动模型 “ 商品价格变化的两大特点 ” ：平衡价格应是商品供需平衡的价位；趋于过程应具有惯性特征：呈现阻尼震荡过程特征建立在市场经济下价格变动模型具体问题：试图建立一个数学模型，描绘在健全的市场经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低的价格将会自动趋于平衡。建模目的：建立一个价格随时间演变, 以阻尼振荡方式 ...

nullnull微分方程建模null案例一、价格波动模型 “ 商品价格变化的两大特点 ” ：平衡价格应是商品供需平衡的价位；趋于过程应具有惯性特征：呈现阻尼震荡过程特征建立在市场经济下价格变动模型具体问题：试图建立一个数学模型，描绘在健全的市场经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低的价格将会自动趋于平衡。建模目的：建立一个价格随时间演变, 以阻尼振荡方式逐渐趋于理性的商品供需平衡价格的模型。null (3) 商品价格的变化速度 p’ ( t ) 与市场的过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 有关. 假定它们之间成正比 : (2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为线性关系 ; 建模假设： (1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为线性关系 : null 模型建立： null 模型分析：当时 , 当时 , 结论未能达到建模目的！说明商品价格是单调地趋向平衡价格. null 建模假设的修改： (3)* 商品价格的变化速度 p’ ( t ) 与市场的过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 对时间 t 的累积量有关 ( 即考虑过剩需求的时间滞后效应 ) . (2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为线性关系 ; (1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为线性关系 : 假定它们之间成正比 : null 模型再建立：商品价格随时间演变而处在等幅震荡之中。结论还未能达到建模目的！null 建模假设的再次修改：假设 (1) 、(2) 不变； (3)** 商品价格的变化速度 p’( t ) 不仅与市场过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 对时间 t 的累积量有关 , 还与当时的价格与平衡价格 p* 的偏差程度有关 ( 即考虑健全的市场有政府宏观调控因素 ) , 假定它们之间也成正比，且比例系数仍假定它们之间成正比 ; ( 强调政府宏观调控只是微调 ) 。null 模型又一次建立：商品价格随时间演变而呈现阻尼震荡现象。该结论达到建模目的！模型是合理的 null案例二传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型null 已感染人数 (病人) x(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加建模?null模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病建模 ~ 日接触率SI 模型null模型2tm~传染病高潮到来时刻 (日接触率)  tm病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大null模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS 模型3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率建模 ~ 日接触率1/ ~感染期 ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。null模型3接触数 =1 ~ 阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数null模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数  =  / 建模null模型4SIR模型null模型4SIR模型null模型4SIR模型s(t)单调减相轨线的方向P1: s0>1/σ  i(t)先升后降至0P2: s0<1/ σ  i(t)单调降至01/ σ ~阈值null模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段 (日接触率)  卫生水平(日治愈率)  医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/ 的估计降低 s0提高 r0 提高阈值 1/null模型4SIR模型被传染人数的估计 小, s0  1提高阈值1/σ降低被传染人数比例 xs0 - 1/ =  附:基于MATLAB的常微分方程（组）的数值求解附:基于MATLAB的常微分方程（组）的数值求解要求解微分方程（组）dy/dx=f(x,y)，可如下调用： [X,Y]=ode45(f,[x0,xn],y0) 函数在求解区间[x0,xn]内，自动设立采样点向量X，并求出解函数y在采样点X处的样本值Y。 f是一个函数，要有两个参数，第一个参数是自变量x，第二个参数是因变量y。 y0=y(x0)给定方程的初值。null%例1：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在[1，3] 区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。 function example1() clc; clear; [X,Y]=ode45(@fxy,[1,3],2); x=X' %显示自变量的一组采样点 y=Y' %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 y1=(X.^2+1./X.^2)' %显示求解函数与采样点对应的一组解析解 dy=y-y1 %显示求解函数与采样点对应的一组解析解 function f=fxy(x,y) f=-2*y/x+4*x; null例2: 求解常微分方程组初值问题在区间[0,4]中的解。function example2() [X,Y]=ode45(@fxy,[0,4],[5,6]); x=X' %显示自变量的一组采样点 y=Y' %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 plot(X,Y);%画出解的变化曲线 function f=fxy(x,y) f(1)=y(1)^(1/3)*y(2); f(2)=-x*y(2)+x^2-5; f=f’; null

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