翔宇教育集团高一数学课时设计活页纸 课 题 正切函数的性质与图象 第 3 课时 课 型 新授课 主备人 时间 教学目标 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法； 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 德育目标：培养认真学习的精神； 教学重点 用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点 正切函数的性质。 一、复习引入： 问题：正弦曲线是怎样画的？ 正切线? 练习正切线，画出下列各角的正切线： ． 下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课： 1．正切函数 的定义域是什么？ 2．正切函数是不是周期函数？ ， ∴ 是 的一个周期。 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作 ， 的图象 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比 小，正切函数的最小正周期是 ； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 ，且 的图象，称“正切曲线”。 （3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域： ； （2）值域：R 观察：当 从小于 ， 时， 当 从大于 ， 时， 。 （3）周期性： ； （4）奇偶性：由 知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。 5.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）： ——即将 的图象，向左平移 个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得 的图象 定义域： 值域：R， 当 时 ，当 时 周期： 奇偶性：奇函数 单调性：在区间 上函数单调递减 6.讲解范例： 例1比较 与 的大小 解： ， ， 又： 内单调递增， 例2讨论函数 的性质 略解：定义域： 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在 上是增函数 图象：可看作是 的图象向左平移 单位 例3求函数y＝tan2x的定义域 解：由2x≠kπ＋ ，(k∈Z) 得x≠ ＋ ，(k∈Z) ∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠ ＋ ，k∈Z｝ 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0 解：画出y＝tanx在(－ ， )上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜ 结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋ 上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋ )(k∈Z) 例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小 解：∵90°＜135°＜138°＜270° 又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数 ∴tan135°＜tan138° 三、巩固与练习 求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期。 解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠ ＋ｋπ，ｋ∈Z 即x≠ ＋ ，ｋ∈Z ∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠ ，ｋ∈Z｝ （2）设ｔ＝2x，由x≠ ，ｋ∈Z｝知ｔ≠ ＋ｋπ，ｋ∈Z ∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞） 即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞） （3）由tan2（x＋ ）＝tan（2x＋π）＝tan2x ∴y＝tan2x的周期为 ． 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1.因为正切函数 的定义域是 ，所以它的图象被 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。 2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。 讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z)的周期T＝ ；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 五、课后作业： 六、板
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设计： 1、函数 ， ）的周期是（ ） A B C D 2、下列函数中，周期是 ，且在 上为增函数的是（ ） A B C D 3、函数 的定义域是（ ） A B C D 4、下列结论正确的是（ ） A、 当x为第二象限角时，y=sinx与y=tanx都是减函数 B、 余切函数y=cotx在整个定义域内是减函数 C、 若 ，则cosx>cotx D、 函数y=tanx在它的一个周期内是增函数 5、函数 ， 的单调区间是（ ） A、 B、 C、 D、 6、函数 的图象对称于（ ） A 原点 B y轴 C x轴 D 直线y=x 7、若函数 的最小正周期是 ，则正数a= 8、函数 的定义域为 ，值域为 9、若 ，且f(--1)=0,求f(1) 10、求函数 的定义域
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