下载

1下载券

加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 立体几何知识点总结

立体几何知识点总结.doc

立体几何知识点总结

漂流瓶0117
2011-08-10 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《立体几何知识点总结doc》,可适用于高中教育领域

立体几何知识点总结立体几何知识点总结空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合则叫做封闭的空间折线若封闭的空间折线各线段彼此不相交则叫做这空间多边形平面平面是一个不定义的概念几何里的平面是无限伸展的平面通常用一个平行四边形来表示平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示如平面AC在立体几何中大写字母ABC…表示点小写字母a,b,c,…l,m,n,…表示直线且把直线和平面看成点的集合因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系例如:a)​ A∈l点A在直线l上Aα点A不在平面α内a)​ lα直线l在平面α内a)​ aα直线a不在平面α内a)​ l∩m=A直线l与直线m相交于A点a)​ α∩l=A平面α与直线l交于A点a)​ α∩β=l平面α与平面β相交于直线l平面的基本性质公理如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理如果两个平面有一个公共点那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线公理经过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面根据上面的公理可得以下推论推论经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面推论经过两条相交直线有且只有一个平面推论经过两条平行直线有且只有一个平面空间线面的位置关系共面平行没有公共点()直线与直线相交有且只有一个公共点异面(既不平行又不相交)直线在平面内有无数个公共点()直线和平面直线不在平面内平行没有公共点(直线在平面外)相交有且只有一公共点()平面与平面相交有一条公共直线(无数个公共点)平行没有公共点异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线”线面平行与垂直的判定()两直线平行的判定①定义:在同一个平面内且没有公共点的两条直线平行②如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么这条直线和交线平行即若a∥α,aβα∩β=b,则a∥b③平行于同一直线的两直线平行即若a∥b,b∥c,则a∥c④垂直于同一平面的两直线平行即若a⊥αb⊥α则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交那么两条交线平行即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行那么这条直线与这两个平面的交线平行即若α∩β=b,a∥α,a∥β则a∥b()两直线垂直的判定①定义:若两直线成°角则这两直线互相垂直②一条直线与两条平行直线中的一条垂直也必与另一条垂直即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面则垂直于这个平面内的任意一条直线即若a⊥α,bαa⊥b④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线若和这个平面的一条斜线的射影垂直则它也和这条斜线垂直⑤如果一条直线与一个平面平行那么这条直线与这个平面的垂线垂直即若a∥α,b⊥α,则a⊥b⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直即若α⊥β,β⊥γγ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c则a⊥b,b⊥c,c⊥a()直线与平面平行的判定①定义:若一条直线和平面没有公共点则这直线与这个平面平行②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行则这条直线与这个平面平行即若aα,bαa∥b,则a∥α③两个平面平行其中一个平面内的直线平行于另一个平面即若α∥β,lα则l∥β④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面那么这条直线和这个平面平行即若α⊥β,l⊥βlα则l∥α⑤在一个平面同侧的两个点如果它们与这个平面的距离相等那么过这两个点的直线与这个平面平行即若AαBαA、B在α同侧且A、B到α等距则AB∥α⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行也与另一个平面平行即若α∥β,aαaβa∥α则α∥β⑦如果一条直线与一个平面垂直则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行即若a⊥α,bαb⊥a则b∥α⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)()直线与平面垂直的判定①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直则这条直线和这个平面垂直②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线垂直于这个平面即若mαnαm∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面那么另一条也垂直于同一平面即若l∥a,a⊥α,则l⊥α④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面它也垂直于另一个平面即若α∥β,l⊥β则l⊥α⑤如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面即若α⊥β,a∩β=αlβl⊥a,则l⊥α⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面则它们的交线也垂直于第三个平面即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ()两平面平行的判定①定义:如果两个平面没有公共点那么这两个平面平行即无公共点α∥β②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面那么这两个平面平行即若a,bαa∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β③垂直于同一直线的两平面平行即若α⊥a,β⊥a,则α∥β④平行于同一平面的两平面平行即若α∥β,β∥γ,则α∥γ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线则这两个平面平行即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β()两平面垂直的判定①定义:两个平面相交如果所成的二面角是直二面角那么这两个平面互相垂直即二面角α-a-β=°α⊥β②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直即若l⊥β,lα则α⊥β③一个平面垂直于两个平行平面中的一个也垂直于另一个即若α∥βα⊥γ则β⊥γ直线在平面内的判定()利用公理:一直线上不重合的两点在平面内则这条直线在平面内()若两个平面互相垂直则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内即若α⊥β,A∈αAB⊥β则ABα()过一点和一条已知直线垂直的所有直线都在过此点而垂直于已知直线的平面内即若A∈a,a⊥bA∈α,b⊥α则aα()过平面外一点和该平面平行的直线都在过此点而与该平面平行的平面内即若PαP∈ββ∥αP∈a,a∥α则aβ()如果一条直线与一个平面平行那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内即若a∥α,A∈αA∈b,b∥a,则bα存在性和唯一性定理()过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条()过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条()过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个()与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条()过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个()过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个()过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个()过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个射影及有关性质()点在平面上的射影自一点向平面引垂线垂足叫做这点在这个平面上的射影点的射影还是点()直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影和射影面垂直的直线的射影是一个点不与射影面垂直的直线的射影是一条直线()图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影当图形所在平面与射影面垂直时射影是一条线段当图形所在平面不与射影面垂直时射影仍是一个图形()射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(i)射影相等的两条斜线段相等射影较长的斜线段也较长(ii)相等的斜线段的射影相等较长的斜线段的射影也较长(iii)垂线段比任何一条斜线段都短空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行则这两组直线所成的锐角(或直角)相等异面直线所成的角()定义:a、b是两条异面直线经过空间任意一点O分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角()取值范围:°<θ≤°()求解方法①根据定义通过平移找到异面直线所成的角θ②解含有θ的三角形求出角θ的大小直线和平面所成的角()定义和平面所成的角有三种:(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面则它们所成的角是直角(iii)一条直线和平面平行或在平面内则它们所成的角是°的角()取值范围°≤θ≤°()求解方法①作出斜线在平面上的射影找到斜线与平面所成的角θ②解含θ的三角形求出其大小③最小角定理斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角亦可说斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角二面角及二面角的平面角()半平面直线把平面分成两个部分每一部分都叫做半平面()二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这两个平面叫做二面角的面即二面角由半平面一棱一半平面组成若两个平面相交则以两个平面的交线为棱形成四个二面角二面角的大小用它的平面角来度量通常认为二面角的平面角θ的取值范围是°<θ≤°()二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点分别在两个面内作垂直于棱的射线这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角如图∠PCD是二面角αABβ的平面角平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关②二面角的平面角具有下列性质:(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面即AB⊥平面PCD(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直即平面PCD⊥α平面PCD⊥β③找(或作)二面角的平面角的主要方法(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质()求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ再通过解三角形求得θ的值②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积α为二面角的大小③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/5

立体几何知识点总结

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利