铁路车桥耦合振动模态法分析

第 28卷 第 2期 2011年 3月 深圳大学学报理工版 JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING VoI．28 No．2 Mar． 20l1 文章编号：1000—2618(201 1)02—0131_05 【土木建筑 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 】 铁路车桥耦合振动模态法分析 杨仕若 ，曾庆元 (1．中南林业科技大学土木工程与力学学院，长沙 410004；2．中南大学土木建筑学院，长沙 410075) 摘 要：以钢桁梁桥 自由振动的模态和正则坐标作为桥跨结构振动的位移函数，将列车 一钢桁梁桥作 为一个系统，计算正则坐标下钢桁梁桥及车辆的总势能．基于弹性系统的总势能值不变原理及形成矩阵的 对号入座法则，建立了车桥时变系统在正则坐标下的振动方程，有效减少了车桥振动的 自由度和计算工作 量．以某铁路为例，计算了连续钢桁梁桥车桥系统的振动响应，并用模态法和非模态法进行对比，最小误 差 为 0．16％ ． 关键词 ：桥 梁工程 ；钢桁梁桥 ；模 态法；桥 梁振动 ；能量法 中图分类号：U 441．3 文献标识码：A 铁路车桥耦合振动研究源于欧美和日本兴建高 速铁路的创举．自20世纪 70年代末，该领域在车 辆模型、桥梁模型及分析方法等方面取得了较为显 著的成就 ．相关分析方法主要有 2类：第 1类 以车辆和桥梁的接触点为界，将车桥系统分为车辆 与桥梁两个子系统，分别建立车辆振动方程组 (用 拉格朗日方程或动静法)与桥梁振动方程组 (用有 限元法 ¨或模态坐标法 )，两者通过车轮与桥 梁接触处的位移协调条件和车桥相互作用力的平衡 关系相联系，采用数值方法求解系统的响应；第 2 类是将列车与桥梁所有的自由度耦合在一起 ，建立 统一的方程组进行同步求解 J．由于车桥耦合振 动方程的质量、刚度和阻尼矩阵随着列车在桥上的 位置不同发生变化，在每一时间步长上必须重新生 成与分解，计算工作量大，求解费时费力． 目前将 列车桥梁作为一个系统，建立一个方程组的模态综 合法研究较少．本研究基于模态综合方法，得出钢 桁梁桥的自振特性 ，以钢桁梁桥 自由振动的模态和 正则坐标表示桥跨结构的振动位移，将列车桥梁作 为一个系统，计算出在正则坐标下，钢桁梁桥及车 辆的总势能，基于弹性系统的动力学总势能不变值 原理及形成矩阵的对号入座法则 ，建立列车桥梁 时变系统在正则坐标下的空间耦合振动方程，有效 减少了列车桥梁耦合振动的自由度和计算工作量． 1 钢桁梁桥的自振特性计算 1．1 钢桁梁桥 的位移模型 本研究假设：①连续钢桁梁桥除桥门架和横联 外，所有杆件相互铰接；②忽略桁梁上下平纵联横 撑杆的轴向变形． 主桁梁计算取每个节间的梁体为一个桁段单 元，当质量有偏心时，钢桁梁桥的空间振动位移为 横向、竖向弯曲、扭转、畸变以及纵向振动位移的 叠加．为方便考虑列车与桥梁空间耦合关系，钢桁 梁的桁段节点位移均用 4个角点表示，因假定钢桁 梁上下平联横撑无轴向变形，故左右主桁上下弦的 横向水平位移相同．考虑有吊轩，主桁架竖杆两端 点的竖向假定不同．图 1为桁段单元节点横截面位 移示意图，图中U为上方 ，l为左侧或下方，r为右 侧， 、 和 分别表示沿 、Y和z坐标正方向的位 移．钢桁桥梁第 i横截面4个角点的空间位移参数 列阵为 6 7---[ ， 1， l， 。，l，u ， ， l， ， ] (1) 1．2 钢桁梁桥刚度矩阵的形成 本研究用对号入座法则 计算钢桁梁桥的刚度 收稿 日期：2010—04—24；修回日期：2010 12—29 基金项目：国家 自然科学基金资助项 目 (50078006)；湖南省 自然科学基金资助项 目 (07JJ6098) 作者简介：杨仕若 (1958-)，男 (汉族)，湖南省浏阳市人，中南林业科技大学副教授．E-mail：yangshiruo@163．corn l32 深圳大学学报理工版 第28卷 图1 桁段单元节点横截面位移示意图 Fig．1 Displacem ent of cross section of truss element node 矩阵，先计算钢桁梁桥的弹性应变能和 1阶变分， 可顺利形成桥梁结构刚度矩阵． 钢桁梁桥的弹性应变能为 口 =∑，7 +∑仃 +∑仃， (2) 其 1阶变分为 8，，= 8仃 +∑8，， + 8，，， (3) 其中，仃 为桁梁桥单根杆件的应变能； 为桁梁桥 平联横撑架的应变能； 为桁梁桥面系的应变能． 1．3 钢桁梁桥质量矩阵的形成 钢桁梁桥的质量缩聚如图2．其中，B为主桁间 距，日 为纵梁间距，h为桁高．先计算钢桁梁桥每个 节点截面惯性力的外荷位势，再对其进行 1阶变 分，按对号入座法则形成桥梁的质量矩阵． ， 1 I m 4 I m 3 m 3 I且 且 l 一 ／2 。BI2 ． 图2 钢桁梁桥截面质量缩聚方式 Fig．2 The mass condensation method of the bridge sections 1．4 钢桁梁桥自由振动方程的建立与求解 求出质量矩阵 M 和刚度矩阵 后，钢桁梁桥 的自由振动方程为 +／(8=0 (4) 求解方程 (4)，即可得钢桁梁桥的各阶振型． 2 钢桁梁桥截面振动位移 由于振型的正交性，桁梁桥截面节点的振动位 移可用振型和正则坐标表示．本研究以钢桁梁桥下 弦节点的竖向位移为例，其正则坐标表示为 l =(】b gl1+ gI2+ ql3+⋯ + gl (5) 其中， 。 为钢桁梁桥主桁左下弦第 i节点的竖向位 移；咖 ”、 、⋯、 为钢桁梁自由振动时第 1、2、 ⋯ 、几个阶振型左下弦第 i截面节点竖向幅值；q。 、 g。 、⋯、g 为正则坐标．钢桁梁桥主桁右下弦节点的 竖向位移为 Vj =咖 ¨ q l+ ’qr2+ ’qr3+⋯ + ’q (6) 其中， 为钢桁梁桥主桁右下弦第 i截面节点的竖 向位移； ¨、 ’、o．o、 为钢桁梁 自由振动时第 1、2、⋯、n阶振型右下弦第 i截面节点的竖向幅值； q qr2、⋯、q 为正则坐标． 同理，钢桁梁截面上每个位移都可用正则坐标 表示为 艿=咖g (7) 3 列车一桥梁时变系统振动方程 3．1 列车车辆的位移模型与势能 钢桁梁的势能由结构的惯性力势能、阻尼势能 和弹性应变能组成，用正则坐标表示桁梁的位移 后，即可计算出钢桁梁桥的势能及相应的 1阶变 分． 假设货物列车具有两系悬挂弹簧，其中上层弹 簧为一系悬挂弹簧，下层弹簧的参数按车辆部门对 轮与轴承问弹性垫层的实验结果确定．假设列车车 辆由刚性的车体、前后转向架和4对轮组成，每节 车辆共有 21个 自由度 ． 列车通过钢桁梁桥时，桥上的车辆数随时问不 断变化．某一时刻，钢桁梁桥上列车总势能为该瞬 间所有在桁梁桥上的车辆总势能之和．列车第 i节 车辆的总势能包括惯性力势能 7r 弹性势能 7r 第 2期 杨仕若 ，等 ：铁路车桥耦合振动模态法分析 l33 阻尼力势能 7r 和由桥梁扭转引起的重力势能 7r ， 即 7r 7r +7r +7r +仃。 (8) 某一时刻钢桁梁桥上列车的总势能为 7r ： n ∑7r (9) 其中，凡为该时刻在钢桁梁桥上的列车辆数． 3．2 振动方程的建立 应用对号入座法 ，可得车桥系统在 t时刻的 振动方程为 B +CB + X=P (1O) 其 中， = [g (f)，g2(t)，q3(z)， ⋯，q (t)， + (t)， + (t)， +，(t)，⋯， (t)] ；q。(t)， g2(t)，⋯，q (t)为正则坐标；[ + (t)， +：(t)， ⋯ ， 川 (￡)]为列车车辆的位移；n为正则坐标的个 数 ；n 为列车车辆 自由度总数；M 、C 和KB分别为t 时刻，车桥振动系统的总质量矩阵、总阻尼矩阵和 总刚度矩阵；P为 t时刻的荷载列阵． 3．3 振动方程的求解 由于钢桁梁桥上列车的车辆数和位置随时间 t 而变，则M 、C 和K 是t的函数，因此式 (10)是 变系数的2阶微分方程组．因为只考虑列车重力的 作用，必须将列车车辆构架实测的蛇形波或人工蛇 形波代入式 (10)求解．计算证明，桥梁横向振动 的激振源采用构架实测蛇形波或人工蛇形波作为输 人，能比较真实地反映车桥振动的实际情况_9。 ． 本研究应用 wilson一0法求解． 求解出正则坐标后，将正则坐标代人式 (7)， 则可得出钢桁梁桥振动的位移响应． 4 振动响应的计算结果及分析 4．1 振动响应的计算结果 图3为某铁路连续钢桁梁桥计算简图，跨度为 3×80 m，主桁高 11 m，主桁中心距为 6．4 m，本 研究以该桥作为研究对象． 图3 某铁路钢桁梁桥计算简图 Fig．3 Calculating diagram of a railway steel truss bridge 用 DF4机车牵引22辆 C62货车以90 krn／h的 速度通过某连续钢桁梁桥，分别计算以下工况的车 桥振动系统的响应：① 取连续钢桁梁桥的 l0阶振 型计算 ，图3的连续钢桁梁桥总自由度为 310个， 取 l0阶振型为总振型的 3．22％；② 取连续钢桁梁 桥的3O阶振型计算 ，为总振型的9．67％；③ 取连 续钢桁梁桥的50阶振型计算 ，为总振型的 16．1％； ④ 取连续钢桁梁桥的全部振型计算 即非模态法． 计算结果见表 1． 表 1 某钢桁梁桥车桥系统产生的最大振动响应值 Table 1 Maximum values of vibration response of the train and truss bridge system 4．2 振动响应结果分析 取连续钢桁梁桥的 10阶振型时，上弦跨中最 大横向振幅为 6．03 mm，非模态法为6．35 mm．误 差率为 5．03％，是脱轨系数、Sperling指标和减载 率等计算指标中最小的误差率；机车的脱轨系数为 0．39，非模态法为 0．47，误差率为 17．02％，是脱 轨系数、Sperling指标和减载率等计算指标中最大 的误差率． 取连续钢桁梁桥的 30阶振型时，上弦跨中最 大横向振幅为 6．24 mm，非模态法为 6．35 mm，误 差率为 1．73％，是最小误差率；机车的脱轨系数为 0．41，非模态法为 0．47，误差率为 12．76％，是最 一g _【_【一 134 深圳大学学报理工版 第28卷 大误差率． 取连续钢桁梁桥的50阶振型时，上弦跨中最 大横向振幅为 6．34 mm，非模态法为6．35 mm，误 差率为0．16％，为最小误差率；机车的脱轨系数为 0．43，非模态法为 0．47，误差率为 8．51％，为最 大误差率． 由表 1可见，随着所取连续钢桁梁桥模态增 加，各项计算指标与非模态法的误差越来越小． 结 语 综上研究可知：① 将列车 一连续钢桁梁桥桥 作为一个系统，以桥梁结构自由振动的振幅和正则 坐标作为钢桁桥的位移函数，建立了车桥系统的振 动方程，大大减少了钢桁梁桥的自由度和车桥振动 分析的计算机时；② 分别取连续钢桁梁桥的 lO、 30和 50阶振型，用 DF4机车牵引22辆 C62货车， 以90 km／h的速度通过某连续钢桁梁桥的车桥系 统，计算表明，随着所取钢桁梁桥模态的增加，各 项计算指标与非模态法的误差越来越小，取 50阶 振型时，最小误差为0．16％，证明该方法可靠；③ 对某铁路连续钢桁梁桥进行了振动响应计算，其脱 轨系数和减载率均在安全行车范围内，货物列车的 平稳性指标均在合格以上． Abstract：1000—2618(2011)02—0134一EA 【Architecture and Civil Engineering】 参考文献： [1]李小珍．高速铁路列车 一桥梁系统耦合振动理论及应 用研究 [D]．成都：西南交通大学，2000． [2]夏 禾．车辆与结构动力相互作用 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vibration mode of the truss girder bridge and normal coordinates are taken as displacement func— 第2期 杨仕若，等：铁路车桥耦合振动模态法分析 l35 tions of the bridge vibration．By coupling the vehicle and the truss girder bridge as one composite system ，the total potential energy of the vehicle and the truss girder bridge under normal coordinates aye calculated．Based on the principle of the total potential energy with stationary value in elastic system and the set··in--right--position rule for form ing structural matrices．the vibration equations of vehicle—bridge are established in time—varying system． The caleulation resuhs are compared with the ones by non．mode method．The minimum error of the results by the two methods is 0．16％ ．The mode method could reduce the degrees of freedom of the vehicle-bridge system， thus it reduces the computing time considerably． Key words：bridge engineering；truss girder bridge； mode；bridge vibration；energy principle 十 This work is supposed by the National Natural Science 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