3格林公式

null第三节第三节一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章 一、格林公式一、格林公式1. 引例引例1一、格林公式一、格林公式1. 引例引例1一、格林公式一、格林公式1. 引例引例1一、格林公式一、格林公式1. 引例引例1=1=1一、Green公式一、Green公式问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1否它与曲线所 经路径有关！问 题 2一、Green公式一、Green公式1. 引例引例2一、Green公式一、Green公式问 题 2要回答以上问题，需要以下的Green公式。问题3一、 格林公式一、 格林公式区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或机动 目录 上页 下页 返回 结束 内部积分与边 界积分的关系2. 单连通域与复连通域2. 单连通域与复连通域(1) 定义单、复连通域 的直观意义为：单连通域“洞”复连通域复变单注：复连通域总可以分割成几个单连通域。(见上图)D1、D2为单连通域(2) 正向边界的定义2. (2) 正向边界的定义2. 格林公式 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :格林公式证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 null即同理可证①②①、②两式相加得:定理1 目录 上页 下页 返回 结束 null2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式例如, 椭圆所围面积定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明证: 令则利用格林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算例2. 计算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令, 则利用格林公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 null例3不能直接用,因为L不是闭曲线null例3nullnull例4null例4null例4nullnull例5. 计算例5. 计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 null在D 内作圆周取逆时针方向,, 对区域应用格记 L 和 lˉ 所围的区域为林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 (1) (2)证明 (1) (2)说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (1) (2)只与起止点有关证明 (2) (3)证明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (2)只与起止点有关(3)取特殊路径A 到B再由B到C证明 (3) (4)证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (3)(4)证明 (4) (1)证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得所围区域为证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (4)(1) 说明:说明:根据定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 （当为常数时，利用格林公式非常方便）例6. 计算例6. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 验证例7. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 验证例8. 验证在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证: 令则由定理 2 可知存在原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 null或机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 设质点在力场例9. 设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动 目录 上页 下页 返回 结束 null思考: 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !所以不能取积分路径为机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如指导书上187页7题（1）不能选路径1，理由同上。三、全微分方程三、全微分方程1. 概念定义2. 判别与求解定理3. 全微分方程求解3. 全微分方程求解例14. 可化为全微分方程求解的微分方程4. 可化为全微分方程求解的微分方程1) 凑微分法：略！2) 积分因子法：定义积分因子法举例积分因子法举例例2(1)积分因子法举例积分因子法举例例2(2)积分因子法举例积分因子法举例例2(3)常见积分因子常见积分因子用积分因子求微分方程举例用积分因子求微分方程举例例3用积分因子求微分方程用积分因子求微分方程例4用积分因子求微分方程用积分因子求微分方程例5内容小结内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设2. 设提示:作业 P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 设 C 为沿 备用题 1. 设 C 为沿从点依逆时针的半圆, 计算解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),到原点的距离,解: 由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为机动 目录 上页 下页 返回 结束