解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章 二次曲线一般的理论 第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1.​ 写出下列二次曲线的矩阵A以及 ， 及 . （1） ；（2） ；（3） ；（4） （5） . 解：（1） ； ； ； ； （2） ； ； . （3） ； ； ； ； （4） ； ； ； ； （5） ； ； ； . 2. 求二次曲线 与下列直线的交点. （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1） ； （2） ， ； （3）二重点 ； （4） ； （5）无交点. 3. 求直线 与二次曲线 的交点. 解：由直线方程得 代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k的值，使得（1）直线 与二次曲线 交于两不同的实点； （2）直线 与二次曲线 交于一点； （3） 与二次曲线 交于两个相互重合的点； （4） 与二次曲线 交于两个共轭虚交点. 解：详解略.（1） ；（2） 或 （3） 或 ；（4） . §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的. （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）由 得渐进方向为 或 且属于抛物型的； （2）由 得渐进方向为 且属于椭圆型的； （3）由 得渐进方向为 或 且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）因为 ，所以它为中心曲线； （2）因为 且 ，所以它为无心曲线； （3）因为 且 ，所以它为无心曲线； （4）因为 且 ，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心. （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）由 得中心坐标为 ； （2）由 得中心坐标为 ； （3）由 知无解，所以曲线为无心曲线. 4. 当 满足什么条件时，二次曲线 （1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线. 解：（1）由 知，当 时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心； （2）当 时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当 时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线. 5. 试证如果二次曲线 有渐进线，那么它的两个渐进线方程是 Φ = 式中 为二次曲线的中心. 证明：设 为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为 ，所以Φ = . 6. 求下列二次曲线的渐进线. （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）由 得中心坐标 . 而由 得渐进方向为 或 ，所以渐进线方程分别为 与 （2）由 得中心坐标 . 而由 得渐进方向为 或 ，所以渐进线方程分别为 与 （3）由 知曲线为线心曲线，. 所以渐进线为线心线，其方程为 . 7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是 ，成为无心曲线的充要条件是 . 证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是 也即 ； 为无心曲线的充要条件是 也即 . 8. 证明以直线 为渐进线的二次曲线方程总能写成 . 证明：设以 为渐进线的二次曲线为 ， 则它的渐进线为Φ = ，其中 为曲线的中心，从而有Φ = 而Φ = 因为 为曲线的中心，所以有 ， 因此Φ ， 令 ，代入上式得 即 ，所以以 为渐进线的二次曲线可写为 . 9.求下列二次曲线的方程. （1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线 为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得： （1） ；（2） . §5.3二次曲线的切线 1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线 在点（2，1）； （2）曲线曲线 在点在原点； （3）曲线 经过点（-2，-1）； （4）曲线 经过点 ； （5）曲线 经过点（0，2）. 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标. （1）曲线 的切线平行于直线 ； （2）曲线 的切线平行于两坐标轴. 解：（1） ， 和 ， ； （2） ， 和 ， . 3. 求下列二次曲线的奇异点. （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）解方程组 得奇异点为 ； （2）解方程组 得奇异点为 . 4.试求经过原点且切直线 于点（1，-2）及切直线 于点（0，-1）的二次曲线方程. 解：利用（5.3-5）可得 . 5.设有共焦点的曲线族 ，这里 是一个变动的参数，作平行于已知直线 的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为 ，则由（5.3-4）得曲线的切线为 ，因为它平行与 ，所以有 ，代入 整理得 ， 所以切点的轨迹为 . §5.4二次曲线的直径 1.​ 已知二次曲线 .求它的 （1）与 轴平行的弦的中点轨迹； （2）与 轴平行的弦的中点轨迹； （3）与直线 平行的弦的中点轨迹. 解：（1）因为 轴的方向为 代入（5.4-3）得中点轨迹方程 ； （2）因为 轴的方向为 代入（5.4-3）得中点轨迹方程 ； （3）因为直线 的方向为 代入（5.4-3）得中点轨迹方程 . 2.求曲线 通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入 得 ，再代入上式整理得直径方程为 ，其共轭直径为 . 3.已知曲线 的直径与 轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径. 解：直径方程为 ，其共轭直径方程为 . 4.已知抛物线 ，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解： . 5. 求双曲线 一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为 ，则 .又因为它们交角45度，所以 ，从而 或2， 或 ，故直径和共轭直径的方程为 和 或 和 . 6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 7．求下列两条曲线的公共直径. （1） 与 ； （2） 与 . 解：（1） ；（2） . 8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线 与 为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程. 解：设曲线的方程为 ，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得 ，所以曲线的方程为 . §5.5二次曲线的主直径与主方向 1.分别求椭圆 ，双曲线 ，抛物线 的主方向与主直径. 解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为 ；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为 ；抛物线的主方向分别为0：1和1：0，主直径分别为 . 2.​ 求下列二次曲线的主方向与主直径. （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为 ； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为 ； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为 ； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径. 3.直线 是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的方程. 解：设二次曲线方程为 ，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代入上面方程同时利用直线 为其主直径可得 ， 所以所求曲线方程为 . 4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直. 证明：设 分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为 与 则 与 ， 所以 从而有 ， 因为 ，所以 ，由此两主方向 与 相互垂直. §5.6二次曲线方程的化简与分类 1.​ 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解（1）因为二次曲线含 项，我们先通过转轴消去 ，设旋转角为 ，则 ，即 ，所以 或-2.取 ，那么 ， ，所以转轴 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为 代入原方程化简再配方整理得新方程为 ； 类似的化简可得 （2） ；（3） ；（4） . 2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）已知二次曲线的距阵是 ， ， ， 所以曲线的特征方程为 ，其特征根为 ， ，两个主方向为 ， ； 其对应的主直径分别为 ， . 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式 代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为 . （2）已知二次曲线的距阵是 坐标变换公式 代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为 . （3）已知二次曲线的距阵是 ， 坐标变换公式 代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为 . （4）坐标变换公式 代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为 . 3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式 . 证明：设旋转角为 ，则 ， ，两式平方相加得 . 3.​ 试证二次曲线 的两条主直径为 ，曲线的两半轴的长分别为 及 . 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得. §5.7应用不变量化简二次曲线的方程 1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程. （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） . 解：（1）因为 ， ， ， ，而特征方程 的两根为 ，所以曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为双曲线； 类似地得下面： （2）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为椭圆； （3）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为两相交直线； （4）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为抛物线； （5）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为抛物线的一部分； （7）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为两平行直线； （8）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ， 曲线为两重合直线. 2.​ 当 取何值时，方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示两条直线. 解：方程 表示两条直线当且仅当 ， 即 . 3. 按实数 的值讨论方程 表示什么曲线. 解：因为 ， ， ， ， 所以当 的值变化时， 也随着变化，它们的变化关系如下表： -1 1 - - - - - 0 + + + + + + 0 - - - - - - - 0 + + + + 0 - - - - - 0 + - - - - - - + 0 + + + 所以有对应于下面的结果： 椭圆 抛物线 双曲线 一对相交直线 双曲线 一对平行的虚直线 虚椭圆 4. 设 表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是 . 证明：曲线的方程可简化为 ， 这里当曲线表示两条平行的实直线时， . 所以这两条直线之间的距离是 . 5. 试证方程 确定一个实圆必须且只须 . 证明：当曲线 表示一个实圆的充要条件是其特征方程 有相等实根且 ，即 且 ，从而方程确定一个实圆必须且只须 . 6. 试证如果二次曲线的 ，那么 . 证明：因为 即 ，所以 ，而 不全0，所以有 . 7. 试证如果二次曲线的 ，那么 ，而且 . 证明：当 时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有 ，而且 .