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2007南京财经大学高等代数考研试题

2007南京财经大学高等代数考研试题南京经济学院南京财经大学 2007年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷考试科目： 418 高等代数适用专业：应用数学考试时间： 2007年1月21日下午14:00-17:00 注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效. 1. (15分) 设及为三个多项式, 证明 2. (15分) 计算行列式，其中 3. (15分) 证明方程组有解的充分必要条件为有解时, 求其一般解. 4. (20分) 已知二次型令其中k为实数, A为的矩阵, E为3阶单位...

南京经济学院南京财经大学 2007年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷考试科目： 418 高等代数适用专业：应用数学考试时间： 2007年1月21日下午14:00-17:00 注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效. 1. (15分) 设及为三个多项式, 证明 2. (15分) 计算行列式，其中 3. (15分) 证明方程组有解的充分必要条件为有解时, 求其一般解. 4. (20分) 已知二次型令其中k为实数, A为的矩阵, E为3阶单位矩阵. (1) 证明存在正交矩阵Q同时将A与B化为对角形. (2) 求出化二次型为标准形的正交变换, 并确定k为何值时, 为正定二次型. 5. (25分) 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵. 证明 (1) 若AB = 0, 并且秩( A+B ) = n, 则秩( A ) + 秩( B ) = n. (2) 若A2 = A, 则秩( A ) + 秩 = n. (3) 若A2 = A, 则A的特征值为0或1, 且A可对角化. 6. (10分) 证明若A为正定矩阵, 则对任何实向量x, y, 有且等号成立的充要条件为x, y线性相关. 7. (30分) 设为数域P上的n维线性空间V的一个线性变换, 在V的某个基下的矩阵为A. 如果A的最小多项式为P上一次互素因式之积. (1) 证明为V的-不变子空间, 此处I为V的恒等变换. (2) 证明V可分解为Vi的直和, 即 (3) 证明A可对角化, 并且题中关于A的最小多项式的条件也是A可对角化的必要条件. (4) 若P为复数域, 则A为复矩阵, 关于A可对角化将有何相应结论? 8. (20分) 设为数域P上n维线性空间V的一个线性变换. (1) 证明的充要条件为秩( ) = 秩(). (2) 若则在基下的矩阵为且1的个数为的秩.

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