南 京 经 济 学 院 南 京 财 经 大 学 2008年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷 考试科目: 614数学
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适用专业: 应用数学 考试时间: 2008年1月20日上午8:30 — 11:30 注意事项:所有答案必须写在答题纸上,做在试卷或草稿纸上无效。 一、 计算题 (共 5 题,每题 10 分,共计 50 分) (1) 求函数 的 阶导数。 (2) 设 ,其中 为可微函数,求 。 (3) 求全微分 的原函数 。 (4) 求函数 在 处的Taylor级数展开式。 (5) 求第二型曲面积分 ,其中 为立方体 的
表
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面,方向取外侧。 二、 (共 1题,共计12 分) 设 , 任取 ,作迭代序列 。 证明极限 存在,并求此极限。 三、 (共 1 题,共计12 分) 设 ,证明: ,其中 为任意正实数。 四、(共 1 题,共计12 分) 设函数 在区间 上具有二阶导数,且 ,证明:存在 ,使得 。 五、(共 1 题,共计 12 分) 讨论函数项级数 ,在(1) ;(2) ( )上的一致收敛性。 六、(共 1 题,共计12 分) 把函数 在 上展开成余弦级数,并推出 。 七、(共 1 题,共计 12 分) 设 在 上可积, 是由曲线 , , , 所围成的区域在第一象限中的部分,证明: 。 八、(共 1 题,共计 10 分) 设 在 上连续,在 内有二阶导数,且 ,当 时, 有 , ,则函数 在 内恰有两个零点。 九、(共 1 题,共计 10 分) 设函数 在 上连续,且有唯一的取到 最大值的点 ,又设 ,使得 ,求证: 。 十、(共 1 题,共计 8 分) 设 在全平面上连续且具有一阶连续偏导数,若积分 ,其中 为半圆: , 为任意实数, 为任意正数. 证明: 和 。