高中数学易错、易混、易忘问题备忘录 2011年莆田市初中毕业、升学考试试卷 数学参考答案及评分
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一、精心选一选 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6，B 7．A 8．C 二、耐心填—填 9． I0．1 1I．7 12，9 13．4 14，58 15，5 16．5151 三，耐心填一填 17．解：原式=4 18. 原式= ， 当 时，原式=18 19. （1）证明略 （2）四边形BDCF是矩形。证明略。 20. （1）证明：连接OD，则OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA ∵D为 的中点 ∴∠OAD=∠CAD ∴∠ODA=∠CAD ∴OD∥AC 又∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，即BC⊥OD ∴BC与⊙O相切。 （2）连接DE，则∠ADE=90° ∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，∴∠AOD=120° 在Rt△ADE中，易求AE=4， ∴⊙O的半径r=2 ∴ 的长 。 22. 解：（1）∵点E、F在函数 的图象上， ∴设 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 。 （2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4， 设 ， ∴BE= ，BF= ∴ ∵ ， ∴ = ∴当 时， ，∴AE=2. 当点E运动到AB的中点时，四边形OA EF的面积最大，最大值是5. 23.解：（1）设该公司生产A钟中医疗器械x台，则生产B钟中医疗器械（ ）台，依题意得 解得 ， 取整数得 ∴该公司有3钟生产
方案
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： 方案一：生产A钟器械38台，B钟器械42台。 方案二：生产A钟器械39台，B钟器械41台。 方案一：生产A钟器械40台，B钟器械40台。 公司获得利润： 当 时， 有最大值。 ∴当生产A钟器械38台，B钟器械42台时获得最大利润。 （2）依题 意得， 当 ，即 时，生产A钟器械40台，B钟器械40台，获得最大利润。 当 ，即 时，（1）中三种方案利润都为400万元； 当 ，即 时，生产A钟器械38台，B钟器械42台，获得最大利润。 24. 解：（1）由题意，得 ，解得 ∴抛物线的解析式为 。 （2）①令 ，解得 ∴B（3, 0） 当点P在x轴上方时，如图1， 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P， 易求直线BC的解析式为 ， ∴设直线AP的解析式为 ， ∵直线AP过点A（1,0），代入求得 。 ∴直线AP的解析式为 解方程组 ，得 ∴点 当点P在x轴下方时，如图1 设直线 交y轴于点 ， 把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点 ， 得直线 的解析式为 ， 解方程组 ，得 ∴ 综上所述，点P的坐标为： ， ②∵ ∴OB=OC，∴∠ OCB=∠OBC=45° 设直线CP的解析式为 如图2，延长CP交x轴于点Q， 设∠OCA=α，则∠ACB=45° α ∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45° α ∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45° α）=α ∴∠OCA=∠OQC 又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ ∴ ，∴ ，∴OQ=9，∴ ∵直线CP过点 ，∴ ∴ ∴直线CP的解析式为 。 其它方法略。 25．解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°． ∠ADO= ∠ADC= ×60°=30° 又∵E、F分别为DC、CB中点 ∴OE= CD，OF= BC，AO= AD ∴0E=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心。 （2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。 证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J ∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60° ∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120° ∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA， ∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA ∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。 ② 为定值2. 当AE⊥DC时．△AEF面积最小， 此时点E、F分别为DC、CB中点． 连接BD、AC交于点P，由（1） 可得点P即为△AEF的外心 解法一：如图3．设MN交BC于点G 设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN= ∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x． ∴ ∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM ∴ ，∴ ∴ ∴ ，即 其它解法略。
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