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第五章 弯曲应力.ppt

第五章 弯曲应力

双弹瓦斯
2011-08-03 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第五章 弯曲应力ppt》,可适用于高等教育领域

第五章弯曲应力第五章弯曲应力§梁弯曲正应力§惯性矩计算§梁弯曲剪应力§梁弯曲时的强度计算§塑性弯曲的概念§提高梁抗弯能力的措施§梁弯曲正应力§梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下梁受外力而弯曲时其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成剪力由切向内力元τdA组成故横截面上同时存在正应力和剪应力。σdAτdAQM当梁较长时正应力是决定梁是否破坏的主要因素剪应力则是次要因素。二、弯曲分类−PPPa梁AC、BD段的横截面上既有剪力又有弯矩称为剪切弯曲。CD段梁的横截面上只有弯矩而无剪力称为纯弯曲。此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。三、纯弯曲实验准备在梁侧面画上AB、CD、EF、GH四条直线且AB∥CD、EF∥GH。在梁两端对梁施加纯弯矩M。现象变形后AB、CD仍为直线但二者不再平行直线EF、GH变成曲线且EF变短GH变长曲线EF、GH间的距离几乎没有变化横截面上部分沿厚度方向变宽下部分变窄。假定梁的任意一个横截面如果在变形之前是平面在变形后仍为平面平截面假定。梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉中间一层纤维既不受拉也不受压这一层叫中性层或中性面。中性层与横截面的交线叫中性轴。梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。梁的纵向纤维之间无挤压力作用故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用。梁中的纵向应变和横截面上的正应力沿横截面厚度方向不变而只与高度方向的位置有关故梁内处在同一高度的一层纤维的正应力相等。中性层对称轴横截面中性轴梁的材料服从虎克定律在受拉和压时弹性模量是一样的。梁的横截面尺寸能保证梁在受弯曲时不致翘曲。梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)平截面假定仅适应于长梁若梁长度与横截面度量尺寸的比值小于由弹性力学知平截面假定就不适用。限制条件先考虑等截面梁梁的横截面至少有一个对称轴即梁至少有一个对称面并且所有外力都在这个平面内。这样保证了对称平面内的纤维变形后仍在这个平面内。因此中性轴必与纵向对称轴垂直。平截面假定一般不适用于曲梁。纵向纤维之间无挤压力假定一般不适用于剪切弯曲。四、梁弯曲正应力同圆轴扭转的应力公式推导过程一样从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面考虑。变形几何关系设为中性层ρ为其曲率半径。变形后变形前纵向线应变为弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变ε与该点至中性轴的距离y成正比。在同一横截面上ρ为常数。物理关系(应力应变关系)横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比在距中性轴等距离的各点上正应力相等。此时由于中性轴具体位置还未确定故到中性轴的距离y还无法度量。同时曲率半径也未知无法求出。静力关系取纯弯曲梁的一个横截面建立坐标系Oxyzy轴为纵向对称轴z轴为中性轴其具体位置待定。内力元σdA的合力即轴力为零因故由中值定理知横截面图形对z轴静矩。故横截面图形形心坐标。即横截面形心在z轴上故中性轴必通过横截面形心。内力元σdA对z轴之矩总和构成横截面上的弯矩M令横截面对z轴的惯性矩代表横截面一个几何性质。则抗弯刚度愈大梁愈不易变形。将上式代入应力应变关系式得:σ横截面上任意一点的正应力M横截面上的弯矩Iz横截面对中性轴z的惯性矩。y横截面上任意一点到中性轴的距离令抗弯截面模量则结论横截面上的正应力σ与该截面上的弯矩M成正比与横截面的惯性矩Iz成反比正应力的数值沿横截面高度成线性分布。在中性层正应力为零离中性层愈远正应力愈大在梁上下边缘取得最大值σmax。σmaxσmax§惯性矩计算§惯性矩计算一、简单截面的惯性矩矩形截面圆形与圆环形截面因y、z轴均通过圆截面直径对圆环形截面故(z,y)二、组合截面的惯性矩平行移轴公式组合横截面对某一轴的惯性矩可视为其各个组成部分即单一图形对同一轴的惯性矩之代数和。平行移轴公式设任意形状的横截面其面积为Ay轴、z轴通过形心(称为形心轴)对z轴的惯性矩为Iz。现有z轴与z轴平行y轴与y轴平行形心C在坐标系Oyz中的坐标为(ba)。横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。同理知:(z,y)C(b,a)例题【例】求T字形截面的惯性矩。尺寸单位为cm。【解】)求T字形截面中性轴z轴即形心坐标yC。将截面分成I、II两部分。在坐标系Oyz´中形心坐标为)求各组合部分对中性轴z之惯性矩:IIIzI(yIC=)z(yC=)zII(yIIC=)【例】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。【解】因故显然阴影部分对中性轴y轴的惯性矩为:*§梁弯曲剪应力*§梁弯曲剪应力一、矩形截面梁τmaxQ横截面上剪力Iz整个横截面对中性轴z轴的惯性矩b横截面在所求剪应力处的宽度Sz(y)横截面上剪应力τ所在横线至截面边缘部分的面积对中性轴z的静矩。故剪应力沿截面高度成抛物线分布在上、下边缘剪应力为零在中性轴上剪应力达最大值它为平均剪应力的倍。二、工字形截面梁工字形截面梁由上、下翼缘和垂直腹板组成。由于腹板为狭长矩形故假定其上各点处的剪应力平行于腹板侧边并沿腹板厚度均匀分布。腹板上y处剪应力为Sz(y)横截面上剪应力τ所在横线至截面边缘部分的面积对中性轴z的静矩。Iz整个工字形截面对中性轴z轴的惯性矩腹板上剪应力为:τmax腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物线变化。τminτmin当y=时当y=h时当d≤b时τmax≈τmin可视为均匀分布。翼缘上剪应力基本上沿水平方向其值很小可不考虑。由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨论知最大剪应力一般位于最大剪力截面的中性轴上其计算公式可统一为:Szmax中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩Iz整个横截面对中性轴的惯性矩b横截面在所求剪应力处的宽度Qmax全梁的最大剪力。*三、圆形、薄壁圆环形截面梁圆形截面对于圆形截面梁选一直线mn与中性轴平行根据剪应力互等定理m点及n点的剪应力τ均与边界相切。除直线mn与y轴相交处的剪应力平行于剪力Q外该线上其它各点的剪应力的方向均与y轴相倾斜。自m点和n点作圆周的切线交y轴于C点。τ假定mn线上各点剪应力的方向也都沿着自该点到C点所作的连线方向。将各点剪应力τ分解成平行于Q的τxy和垂直于Q的τxz且设离中性轴等距离各点处剪应力在Q方向的分量τxy均相等于是可用矩形截面梁剪应力计算公式来计算τxy因对于τxy来说符合矩形截面梁剪应力的两个假定。因故当y=时圆形横截面上的最大剪应力发生在中性轴上且为平均剪应力的倍。对于横截面对称于y轴的其它形状如椭圆、等腰梯形等同样可用对圆形截面所作的假设来计算。该近似结果与精确解相比在最大值处误差约为℅。圆环形截面对于薄壁圆环形截面若壁厚t远小于圆环的平均半径R则可认为横截面上的剪应力沿厚度t均匀分布方向与圆周相切在中性轴上各点的剪应力就平行于Q且沿厚度均匀分布。圆环形截面梁上最大剪应力为平均剪应力的倍。τmax最大剪应力为:τmax§梁弯曲时的强度计算§梁弯曲时的强度计算一般等截面直梁在剪切弯曲时弯矩最大的横截面的上下边缘处存在最大正应力在剪力最大的横截面的中性轴处存在最大剪应力。因此在梁的强度计算时必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。一、正应力强度计算强度条件梁的最大弯矩梁横截面的抗弯截面模量σ材料的许用正应力对薄壁型钢一般可用轴向拉伸时的许用应力对于实心钢梁可略高一些。强度条件的用途强度校核设计截面求许可载荷强度条件的细化若且横截面也对称于中性轴即则强度条件为:若而横截面对称于中性轴即则强度条件为:若而横截面不对称于中性轴则强度条件为:若而横截面也不对称于中性轴即则强度条件为:若确定最大弯矩则取两个弯矩中的最小值作为结果。二、剪应力强度计算强度条件:Qmax梁横截面上的最大剪应力Szmax中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩τ材料的许用剪应力。b横截面在所求剪应力处的宽度Iz整个横截面对中性轴的惯性矩应用场合在强度计算中必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常是先按正应力强度条件选择横截面的尺寸和形状必要时再按剪应力强度条件进行校核。一般对以下几种情况进行剪应力强度校核。若梁较短或载荷很靠近支座这时梁上的最大弯矩Mmax可能很小而剪应力却相对较大如果此时按Mmax来设计截面尺寸就不一定满足剪应力强度条件对于一些组合梁若其腹板宽度b相对于截面高度很小时横截面上可能产生较大剪应力对于木梁等顺纤维方向抗剪能力较差由剪应力互等定理知在中性层上也有τmax作用因此也可能沿中性层发生剪切破坏故此时需校核剪切强度对于象工字形截面短梁特别当Mmax和Qmax在同一截面上时其主应力很可能超过最大正应力此时可选择适当的强度理论校核梁的主应力。对于用钢材作成的梁在计算时以最大剪应力理论(第强度理论)和能量理论(第强度理论)提出的强度条件来校核。即梁中任意一点的应力(στ)满足:三、例题【例】矿车车轴如图示。P=kNa=m许用应力σ=MPa圆轴的直径d=mm。)求支座A、B的反力)画弯矩图)校核车轴的强度。【解】)求支座反力)画弯矩图)校核强度−kN∙m【例】一T字形截面铸铁梁如图示。已知F=kNF=kNa=m截面惯性矩Iz=×(mm)材料抗拉强度σbt=MPa,抗压强度σbc=MPa。不考虑剪应力取安全系数n=校核梁的强度。【解】)求支座反力)画弯矩图−kN∙mkN∙m)确定许用应力)校核危险截面A、C的强度A截面上边缘最大拉应力A截面下边缘最大压应力C截面上边缘最大压应力C截面下边缘最大拉应力整个梁满足强度要求。*§塑性弯曲的概念*§塑性弯曲的概念σσsσs弹性状态弹塑性状态此时的弯矩Ms称为极限弯矩。塑性状态式中中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。令塑性抗弯截面系数许用弯矩按许用弯矩确定的强度条件为:对矩形截面:对圆形截面:故*§提高梁抗弯能力的措施*§提高梁抗弯能力的措施要提高梁的承载能力需从两方面考虑:合理安排梁的受力情况以降低Mmax合理选择截面形状以提高Wz。适当调整支座位置调整前调整后一、合理安排梁的受力情况适当调整载荷或支座位置可减小梁的最大弯矩。适当调整载荷位置调整前调整后若能适当分散集中载荷也能减小梁的最大弯矩。集中载荷均布载荷增加附梁二、合理选择截面梁的合理截面是:用最小的截面面积A使其有更大的抗弯截面模量Wz。可用比值WzA来衡量截面的经济程度该比值越大所采用的截面越经济合理。而在选择矩形截面梁时竖放又比横放经济合理。在相同抗弯截面模量Wz时工字形截面梁较矩形截面梁和圆形截面梁更经济合理。在选择合理截面时还应考虑材料的特性。上述三种截面其对称于中性轴对于拉压强度相等的材料其选取是合理的。对于拉压强度不相等的材料如铸铁等则应选取不对称于中性轴的截面并使中性轴偏于受拉一侧可以确保横截面上最大拉应力小于最大压应力。如图所示T字形截面就比较合理。则最大拉应力和最大压应力同时达到材料许用应力材料就充分发挥了作用。三、等强度梁的概念横截面沿轴线变化的梁称为变截面梁可近似采用等截面梁计算正应力。如果变截面梁各横截面上的最大正应力都相等且接近于许用应力就是等强度梁。图示为在中点作用有一集中载荷的等强度简支梁其横截面为矩形。若梁宽度b为一常数梁高度h(x)为x的函数则由等强度梁条件得:等强度梁条件:由h(x)知在梁支承端截面高度为零这不能满足剪切强度条件故应按剪切强度条件改变支座附近的截面高度。设所需最小高度为hmin由矩形截面梁弯曲剪应力强度条件知:由于载荷P对称于跨度中点故梁横截面形状也对称于跨度中点见图示(主视图)。同样根据矩形截面梁弯曲剪应力强度条件知:由于载荷P对称于跨度中点故梁横截面形状也对称于跨度中点见图示(俯视图)。若梁高度h为一常数梁宽度b(x)为x的函数则由等强度梁条件得:上面提到的一些措施仅是从弯曲强度角度出发的。在实际设计一个构件时还应考虑其刚度、稳定性、工艺条件、加工制造等因素。

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