第四章 弯曲内力

null第四章 弯曲内力 第四章 弯曲内力 §4-1 工程实际中的弯曲问题§4-2 剪力和弯矩§4-3 剪力图和弯矩图§4-4 剪力、弯矩和分布载荷集度间关系§4-1 工程实际中的弯曲问题 §4-1 工程实际中的弯曲问题 一、相关概念 横向载荷：构件简化为一直杆后在纵向对称面内所受的与杆轴线垂直的载荷.包括集中力、分布载荷和力偶. 梁：在横向载荷作用下，以弯曲为主要变形特征的构件。 纵向对称面：由构件的轴线与其横截面的纵向对称轴所构成的平面。 平面弯曲：多数情况下梁上的载荷均垂直于其轴线且位于同一纵向对称面内，其轴线弯曲成一条平面曲线。 挠曲线轴线集中力分布载荷力偶纵向对称轴纵向对称面纵向对称面纵向对称轴null二、梁的简化模型 构件简化：将其简化为直杆，用轴线来代表它。 载荷简化：当载荷作用范围很小时，可将其简化为集中力或力偶；若载荷连续作用于梁上，可将其简化为分布载荷。 支座简化：根据构件支承方式和可能实现的约束，支座简化为固定铰支、滚动铰支和夹紧端支座。 三、梁的分类 简支梁：一端为固定铰支，另一端为滚动铰支。 外伸梁：梁由一个固定铰支和一个滚动铰支支承，梁的一端或两端伸出支座之外。 悬臂梁：梁的一端夹紧，另一端自由。 null§4-2 剪力和弯矩 一、梁横截面上内力简化结果 梁任一横截面上的内力可合成一个在纵向对称面内且与轴线垂直的剪力Q和一个以横截面中性轴为轴线的力偶矩(弯矩M)。 QMQMQMQM二、符号规定 剪力：使单元体绕其上任一点顺时针转的剪力为正，反之为负。同一截面两侧剪力大小相等，符号相同。 +-null三、 例题 【例4-1】求图示梁C截面上的剪力和弯矩。 【解】1)求支座约束反力 弯矩：使单元体下凸的弯矩为正，反之为负。同一截面两侧弯矩大小相等，符号相同。 +-null使单元体绕横截面纵向对称轴顺时针转的外力在横截面上产生正的剪力，使单元体绕横截面纵向对称轴逆时针转的外力在横截面上产生负的剪力。剪力的大小等于外力的大小。横截面上总的剪力等于单元体上所有外力(包括支座反力、集中载荷、分布载荷) 在横截面产生的剪力的代数和。 2)假想C截面将梁截成左右两个单元体，取左单元体为研究对象并假定C截面上剪力和弯矩均为正null横截面上总的弯矩等于单元体上所有外载荷(包含支座反力、支座约束反力偶矩、集中载荷、分布载荷、外力偶矩)对横截面的纵向对称轴产生的弯矩的代数和视待求弯矩的横截面处为夹紧端，则使单元体下凸的外载荷在横截上产生正的弯矩，使单元体上凸的外载荷在横截上产生负的弯矩。弯矩的大小等于外载荷对横截面纵向对称轴之矩。§4-3 剪力图和弯矩图 §4-3 剪力图和弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程 梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的，在梁的强度和刚度计算中，需知道各横截面上的内力随横截面位置变化的情况，即给出剪力Q和弯矩M随横截面位置变化的规律。 Q=Q(x)—剪力方程 ，M=M(x)—弯矩方程 二、剪力图和弯矩图 为一目了然表示出Q、M关于x的变化情况，分别以Q、M为纵坐标、x轴为横坐标画出的二维图形分别称为剪力图和弯矩图。 注意：剪力图和弯矩图中需标明相应截面上剪力和弯矩大小和符号。 null三、剪力图和弯矩图的画法 1.步骤 求支座约束反力； 由载荷(包含支座反力、支座约束反力偶矩、集中载荷、分布载荷、外力偶矩)突跳情况对梁分段； 分段列出梁的剪力方程和弯矩方程； 根据方程求出各段的剪力和弯矩的边界值和其他特殊点如二次曲线的顶点值等； 分段绘制通过这些边界值和特殊点的对应曲线并标识出这些点的值及剪力和弯矩的符号。null2.例题 【例4-2】画梁的剪力图和弯矩图(长度单位为m)。 【解】1)求支座约束反力 。2)将梁分成5段，分别列出各段的剪力方程和弯矩方程并求出各端点等的值。AB段： BC段： nullCD段： DE段： nullEF段： 3)绘剪力图和弯矩图 +−+10kN20kN20kN∙m20kN∙m10kN∙m3.5m15kN∙m12.5m10kN∙m20kN∙m8m++−−8m10kNnull一、公式推导 从梁中取微段dx,设在该微段内既无集中力也无力偶且是小变形,取向上的力为正,从左至右的x坐标为正 . O由静力平衡条件得： 略去二阶微量 得：显然 §4-4 剪力、弯矩和分布载荷集度间关系 nullx2截面的剪力等于x1截面的剪力与两截面间分布载荷图的代数面积之代数和。剪力图上某点的斜率等于梁在该点的载荷集度。 弯矩图上某点的斜率等于梁在该点的剪力。 弯矩图上某点的二阶导数等于梁在该点的载荷集度。上述两公式可进一步变换：x2截面的弯矩等于x1截面的弯矩与两截面间剪力图的代数面积之代数和。（*）（**）null由于在有集中力作用的截面，剪力不连续，在有力偶作用的截面，弯矩不连续，而上述5个结论是基于既没有集中力也没有力偶的前提下得到的，故在有集中力和力偶作用的截面，上述5个结论不成立。 若x1截面与x2截面间还有集中力，则 x2截面的剪力要在（*）式基础上附加该集中力在x2截面引起的剪力。 若x1截面与x2截面间还有力偶，则x2截面的弯矩要在（**）式基础上附加该力偶在x2截面引起的弯矩。nullq=cost若q=0若Q>0若Q＝0若Q<0若q>0若q<0若Q>0若Q＝0若Q<0若Q>0若Q＝0若Q<0剪力图、弯矩图与均布载荷的关系二、剪力图、弯矩图与载荷图的关系null主动和被动集中力F则M图逆时针弯折则Q图上跳F若F使单元体绕 横截面顺时针转主动和被动力偶矩m则M图上跳m若m使单元体下凸则M图顺时针弯折则Q图下跳F若F使单元体绕 横截面逆时针转则M图下跳m若m使单元体上凸剪力图、弯矩图与集中力的关系弯矩图与力偶的关系由载荷图绘剪力图，由剪力图和载荷图绘弯矩图。null三、例题 【例4-3】画剪力图和弯矩图。 【解】1）求支座约束反力2）画剪力图qa(ql/2-qa)qa＋＋－－3）画弯矩图qa2/2＋－－qa2/2ql(l-4a)/8(ql/2-qa)A截面左极限处剪力为-qaA截面右极限处剪力为(ql/2-qa)A截面弯矩为-qa2/2抛物线顶点(梁的中点)弯矩为null【例4-4】画剪力图和弯矩图(尺寸单位为m)。 【解】1)求支座约束反力。null7kN3kN1kN5m3kN2kN++−2)画剪力图 AC段为右下倾斜直线；C点向下突跳2kN；CD段为右下倾斜直线；DB段为水平直线；B点向上突跳5kN；BF段为水平直线。 标注剪力符号。 null3) 画弯矩图 AC段为上凸抛物线左支；5m20kN∙m20.5kN∙m16kN∙m10kN∙m6kN∙m+−C点剪力突跳，故弯矩图在此不光滑；CD段为上凸抛物线，剪力图过零，可定顶点；D点后剪力为负常数，故弯矩图为右下倾斜直线；E点有一外力偶，弯矩图向下突跳；EB段剪力为负常数，弯矩图为右下倾直线；B点剪力突跳，弯矩图形成折角；BF段剪力图为正常数，弯矩图为右上倾直线。 null【例4-5】画图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。 【解】可利用叠加原理画剪力图和弯矩图。 P2qa2Me2Pa2qa剪力图：弯矩图：某截面的剪力和弯矩为对应图中的代数值的代数和 。null【例4-6】图示组合梁，已知FD=20kN，q=10kN/m，m=20kN∙m，l=1m。画梁的内力图。 【解】(1)求支座约束反力。1)对整体： 2)对CD梁： AmqCBD60º30ºFDllllnull3)求解： （2）画内力图将梁上的所有载荷分解为沿梁的横向和纵向分布。即：null1）轴力图2）剪力图3）弯矩图null2ql/3【例4-7】画图示刚架内力图。2）画刚架内力图(视点在刚架内侧)【解】1）求约束反力+a）轴力图null2ql/3ql+-ql2/2++c)弯矩图b)剪力图