概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 ：全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间. √ 关于 ： ①称为 的
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基， 中的自然基，单位坐标向量 ； ② 线性无关； ③ ； ④ ； ⑤任意一个 维向量都可以用 线性
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示. 行列式的定义 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若 都是方阵（不必同阶）,则 （拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： （即：所有取自不同行不同列的 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式： 矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作： 或 伴随矩阵 ， 为 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① ： ② ③ √ 方阵的幂的性质： √ 设 的列向量为 , 的列向量为 ， 则 ， 为 的解 可由 线性表示.即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵. 同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵. 即： √ 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量； 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. √ 分块矩阵的转置矩阵： 分块矩阵的逆矩阵： 分块对角阵相乘： , 分块对角阵的伴随矩阵： √ 矩阵方程的解法( )：设法化成 1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 3 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动） 4 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） 5 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 . 6 向量组 中任一向量 ≤ ≤ 都是此向量组的线性组合. 7 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示. 向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示. 8 维列向量组 线性相关 ； 维列向量组 线性无关 . 9 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法唯一. 10 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，称为行最简形矩阵 11 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对 施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘 ； 对 施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘 . 矩阵的秩 如果矩阵 存在不为零的 阶子式，且任意 阶子式均为零，则称矩阵 的秩为 .记作 向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作： 向量组等价 和 可以相互线性表示. 记作： 12 矩阵 与 等价 ， 可逆 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 与 作为向量组等价 矩阵 与 等价. 13 向量组 可由向量组 线性表示 有解 ≤ . 14 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关. 向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤ . 15 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价； 16 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 17 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 18 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 19 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关； 若 ， 的列向量线性无关,即： 线性无关. √ 矩阵的秩的性质： ① ≥ ≤ ≤ ② ③ ④ ⑤ ≤ ⑥ 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ⑦若 ； 若 ⑧ 等价标准型. ⑨ ≤ ≤ ≤ ⑩ ： 线性方程组的矩阵式 向量式 , 。 矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： （无条件恒成立） 线性方程组解的性质： √ 设 为 矩阵,若 一定有解， 当 时,一定不是唯一解 ,则该向量组线性相关. 是 的上限. √ 判断 是 的基础解系的条件： ① 线性无关； ② 都是 的解； ③ . √ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若 是 的一个解， 是 的一个解 线性无关 √ 与 同解（ 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 两个齐次线性线性方程组 与 同解 . √ 两个非齐次线性方程组 与 都有解，并且同解 . √ 矩阵 与 的行向量组等价 齐次方程组 与 同解 （左乘可逆矩阵 ）； 矩阵 与 的列向量组等价 （右乘可逆矩阵 ）. √ 关于公共解的三中处理办法： 1 把(I)与(II)联立起来求解； 2 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解； 当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设 是(I)的基础解系, 是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解 基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示. 即： 当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设 是(I)的通解， 是(II)的通解，两方程组有公共解 可由 线性表示. 即： 3 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。 标准正交基 个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量 与 的内积 . 记为： 向量 的长度 是单位向量 . 即长度为 的向量. √ 内积的性质： ① 正定性： ② 对称性： ③ 双线性： 的特征矩阵 . 的特征多项式 . √ 是矩阵 的特征多项式 的特征方程 . √ ， 称为矩阵 的迹. √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素. √ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量. √ 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为： , . 为 各行的公比， 为 各列的公比. √ 若 的全部特征值 ， 是多项式,则: ① 若 满足 的任何一个特征值必满足 ② 的全部特征值为 ； .
浙公网安备 33021202002483