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基于质点—弹簧模型的布模拟方法

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基于质点—弹簧模型的布模拟方法 基于质点- 弹簧模型的布模拟方法 褚莲娣 (嘉兴学院机电与建筑工程学院, 浙江嘉兴 314001) 摘 要: 布的计算机模拟是服装CAD 和计算机图形学中的一个重要研究课题, 该文提出了一种基 于质点- 弹簧模型的布模拟方法。在质点- 弹簧模型的布模拟方法中, 布被视为由许多质点和弹簧组成, 在力的作用下, 布产生变形, 最后采用欧拉方法, 求解布的运动方程。实验结果表明, 该模型可以得到 逼真的模拟效果, 而且具有较快的运算速度。 关键词: 布模拟; 质点- 弹簧模型; 欧拉方法; 计算机动画。 中图分类...

基于质点—弹簧模型的布模拟方法
基于质点- 弹簧模型的布模拟方法 褚莲娣 (嘉兴学院机电与建筑工程学院, 浙江嘉兴 314001) 摘 要: 布的计算机模拟是服装CAD 和计算机图形学中的一个重要研究课题, 该文提出了一种基 于质点- 弹簧模型的布模拟方法。在质点- 弹簧模型的布模拟方法中, 布被视为由许多质点和弹簧组成, 在力的作用下, 布产生变形, 最后采用欧拉方法, 求解布的运动方程。实验结果表明, 该模型可以得到 逼真的模拟效果, 而且具有较快的运算速度。 关键词: 布模拟; 质点- 弹簧模型; 欧拉方法; 计算机动画。 中图分类号: T S941. 26 Abstract: C lo th sim u lat ion is one of the impo rtan t p rob lem s in apparel CAD and compu ter graph ics. T h is paper p resen ts a clo th sim u lat ion m ethod based on a m ass- sp ring model. In the model, the clo th is considered consist ing of m any m asses and sp rings and defo rm ed under fo rce. F inally, the dynam ic equation of the clo th model is w o rked ou t by eu ler m ethod. Experim en tal resu lts show that the model creates realist ic sim u lat ions and has a fast speed. Key words: clo th sim u lat ion; m ass2sp ring model; eu ler m ethod; compu ter an im ation. CLC: T S941. 26 文献标识码: A.  文章编号: 1671- 3079(2002) 03- 0057- (04) 0 序言 布的计算机模拟是计算机图形学中的一个重要研究课题。在许多领域中, 如计算机动画, 电 视广告, 虚拟现实和工程仿真, 布的计算机模拟都有广泛的应用。其中, 最有意义的是三维服装 CAD。在三维服装CAD 中, 我们可以用计算机设计三维服装, 将服装穿在虚拟的人体模特身上, 并且生成人体运动时的服装动画效果。这样, 人们就可以在真正的服装被制造出来之前知道被设 计的服装会是什么样子, 从而减少了服装设计的时间和成本。 由于布是易变形的物体, 我们很难用一个简单又快速的函数来描述布的形状。近一二十年来, 研究人员已经提出了许多布的模型。我们可以将这些模型分成三类: (1) 几何模型[ 4 ]: 布的形状完 全用数学函数描述。虽然该模型有较快的速度, 但只能描述一些简单的形状。(2) 物理模型[ 1, 3, 5, 7, 9 ]: 布的形状用微分方程来描述。该模型结合布的物理属性, 如质量、硬度和弹性等布的材料属性, 运 用力学理论建立起微分方程。该模型可以反映布的真实形状, 但运算的速度比较慢。 (3) 混合模 型[ 6, 8 ]: 结合几何模型、物理模型。其速度和逼真度介于上述两种模型之间。 本文提出了一种基于质点- 弹簧模型的布模拟方法。该模型是一种基于物理的模型。在质点 - 弹簧模型中, 布被视为由许多质点和弹簧组成, 在力的作用下, 布产生变形。为了快速地求解 布的运动方程, 我们采用了欧拉方法。 在基于物理造型的系统中, 有限差分、有限元和边界元理论是常用的数值方法。这些系统往 往需要将被造型的物体离散为网格。同样, 在进行布的造型时, 我们也需要将布网格化。由于三 ·75· 第 14 卷第 3 期 2002 年 5 月 V o l. 14 N o. 3 2002. 5        嘉兴学院学报 Jou rnal of J iax ing Co llege                   角形网格容易被用来描述任意形状的物体, 所以在我们的系统中, 采用三角形网格来描述布。 1 质点- 弹簧模型 质点- 弹簧模型 (M ass- Sp ring M odel) 最初是由H aum ann 和 Paran t [ 5 ]提出的。他们组装了 一个试验装置。该装置由许多相互作用的物体 (质点) 组成, 物体之间用弹簧连接。根据牛顿运 动定律, 在外力的作用下, 物体会产生运动。他们试图通过这个简单的系统模拟一些类似于布的 物体的复杂行为。利用该装置, 他们成功地模拟了布的悬垂和飘动。 质点: · 拉力弹簧: —— 交叉弹簧: 22222 图 1 质点- 弹簧模型 (仅显示质点 P 的所有交叉弹簧)   在我们的系统中, 我们使用 一个质点- 弹簧模型来描述布的 模型。如图 1 所示, 该模型由许 多虚拟的质点 (即三角形网格的 顶点) 组成, 每个质点和它的相 邻的点连接。两个质点按以下两 种弹簧来连接。 a) 拉力弹簧: 拉力弹簧将一 个质点和与它直接相连的质点连 接。它产生的力用于抵抗布的拉 伸或压缩。 b) 交叉弹簧: 一个交叉弹簧跨过两相邻三角形的公共边, 连接两个有公共边的三角形上的质 点。在质点- 弹簧模型中, 交叉弹簧主要用于模拟布的弯曲力。 1. 1 力模型 1. 1. 1 内力 a)弹簧力  假定一个弹簧 S i, j连接两个质点 P i 和 P j。根据虎克定律, 作用力F s (S i, j) 和 弹簧变 化长度成正比: F s (S i, j) = - k si, j ( I i, j - l0i, j I i, j‖ Ii, j‖) = - k s i, j[ (x i- x j) - l i, j (x i- x j)‖x i- x i‖ ] (1) 其中, k si, j是弹簧的刚度, I i, j是弹簧的矢量, l0i, j是弹簧的原长, x i和x j是质点 P i 和 P j 的位置。 b) 阻尼力 在动态的布模拟中, 适当的阻尼力对维持系统的稳定性是非常重要的。例如, 为了 防止两质点间出现不规则的振动, 一个强张力必须伴随一个稳定的强阻尼力。在我们的质点- 弹簧 模型中, 阻尼力 F d(S i, j) 和两个相连质点的速度差成正比。其公式如下: F d(S i, j) = kdi, j (v j- v i) (2) P i P j 2 1 ●● 1. 弹簧; 2. 阻尼器 图 2 质点- 弹簧模型的弹簧和阻尼器 其中, kdi, j是阻尼常数, v i和v j是两质点 P i和 P j 的速度。 图 2 显示了质点- 弹簧模型中两质点间的弹簧和阻尼器结构, 在质点 i 上的内力F in t可以描 述为:    F iin t= 2nj= 0[F s (P i, j) + F d (P i, j) ]= 2nj= 0{- k si, j[ (x i - x j ) - l0i, j (x i - x j )‖x i - x j ‖ ]+ kdi, j (v j - v i } (3) 其中, n 是直接连接质点 i 的质点数目。 1. 1. 2 外力 在布模拟中可考虑许多外力。一些力, 如风和碰撞力非常 复杂。这里, 我们将只讨论一些基本的外力: 重力和空气阻力。 a) 重力 在我们的模型中, 我们用规则的网格描述布模 型; 因此, 我们认为每个质点有相同的质量, 该质量等于布的 总质量除质点的数量。在布模拟过程中, 作用在每个质点的重 ·85·                   嘉兴学院学报              第 14 卷第 3 期 力是常数。 b)空气阻力 根据 Stocke 的阻力定律, 空气阻力F air和质点速度 的 n 次幂成正比。这个定律可 近似表示如下: F iair = - m ik r‖v i ‖n vδi 其中, m i 是质点的质量, k r 是定义的空气阻力的正常数, v i 是速度矢量, 其大小为‖v i ‖, 方向为 v δ i。在我们的模型中, 我们将指数 n 选为 1, 那么空气阻力表示为: F ia ir= - m ik rv i (4) 考虑重力和空气阻力, 作用在质点上的外力可以表示如下: F iex t= F ig + F iair= m ig - m ik rv i (5) 这样, 作用在质点上的总力为:   F i = F iin t+ F iex t= 2nj= 0{- k si, j[ (x i - x j ) - l0i, j (x i - x j )‖x i - x j ‖ ]+ kdi, j (v j - v i ) }+ m ig - m ik rv i (6) 2 数值方法- 欧拉方法 在上面部分, 我们分析了质点- 弹簧模型中力的模型。假设m i 是质点 P i 的质量; 在时刻 t, 质 点的位置为x i , 速度为vi , 加速度为a i , 作用在质点上的力为F i。根据牛顿定律, 质点的加速度和 作用力存在如下的关系:        F i = m ia i (7) 由 (7)可得到:              a i = F i m i (8) 为了求出每一时刻每个质点的速度和位置, 在我们的系统中, 运用了显式的欧拉方法。这里要 求迭代步长 h 足够小, 而且假定在每个时间段加速度为常数。根据欧拉方法, 下一时刻 ( t+ h) 的速 度v i ( t+ h)和时刻 t 的速度v i ( t) 存在如下关系: v i ( t+ h) = v i ( t) + a ih= v i ( t) + F i m i h (9) 那么, 下一时刻 ( t+ h) 的位置x i ( t+ h)和时刻 t 的位置x i ( t)存在如下关系: x i ( t+ h) = x i ( t) + v i ( t+ h) h (10) 显式欧拉方法很简单, 但是, 对于显式方法, 迭代步长应足够小以保证数值计算的稳定。否则, 由于在过大的时间段上假定内力为常数, 质点的位置会剧烈改变。Bathe [ 2 ]论证了迭代步长 h 和系 统稳定性的关系: 如果 h 大于系统的临界迭代步长, 线性微分方程会是病态的。并给出系统的临界 迭代步长为:             T 0≈ Π mk c (11) 在 (11) 公式中, kc 表示布模型的刚度。根据以上关系式, 如果使用大的迭代步长, 必须减少布 模型的刚度。但是, 如果减小布模型的刚度, 布将产生高弹性变形率。这个现象叫作“超弹性”[ 7 ]。为 了防止过度的延长率, 解决的方法是运用反动力学方法。其步骤是: 在每个时间段, 用显式欧拉方法 求解运动方程, 然后计算所有弹簧的变形率。如果某一弹簧的变形率大于临界的变形率, 运用反动 力学方法调整连接该弹簧的两个质点的位置, 使得该弹簧的变形率不会超过极限变形率。 3 实验结果 质点弹簧模型的布模拟方法实现步骤如下: 1) 求出每个质点的质量, 弹簧的弹性系数和其他 参数; 2) 按公式 (6)算出每个质点所受的力; 3) 按公式 (8)算出每个质点的加速度; 4) 按公式 (9)算 出每个质点的速度; 5) 按公式 (10) 算出每个质点的位移; 6) 若每个质点达到平衡 (位移小于一定 的值) , 则停止运算; 否则, 继续执行第 3)步。 在实验中, 我们利用V C+ + 、OpenGL 进行布的悬垂模拟。在模拟开始时, 布被水平放在圆盘 上, 然后, 在重力的作用下, 慢慢地悬垂下来。图 3 (a)显示的是布的网格和布的初始形状。图 3 (b) ·95·褚莲娣: 基于质点- 弹簧模型的布模拟方法 和图 3 (c)是布的悬垂模拟结果。在图 3 中, 布的网格有 1156 个顶点, 2178 个三角形和 3333 条边。 在试验中, 我们采用的计算机为 PC 机, Pen t ium Ê 360, 32M 内存, 迭代时间步长 0. 02 秒, 迭代次 数为 5000, 布模拟的运算时间为 100 秒。       (a) 布的网格            (b) 俯视图              (c) 侧视图 图 3 布的悬垂模拟 4 结论 本文提出了一种基于质点- 弹簧模型的布模拟方法。首先, 我们分析了该模型的力的组成, 然 后利用欧拉方法求解布的运动方程。在实验中, 我们进行了布的悬垂模拟。实验结果表明, 利用质 点- 弹簧模型可以得到逼真的布模拟效果, 而且有较快的运算速度。 参考文献: [ 1 ] Baraff D , W itk in A. 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