安徽省“江南十校” 2010届高三下学期联考 数学(理科)试
题
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第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题： 1.已知 是实数， 是纯虚数，则 的值为( ) A. B. C. D. 2.函数 的图象是（ ） 3.设数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 4.最小二乘法的原理是 ( ) A.使得 最小B.使得 最小 C.使得 最D.使得 最小 5.已知 、 、
表
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示三条不同的直线， 、 、 表示三个不同平面，有下列四个命题： ①若 ， 且 ，则 ； ②若 、 相交且都在 、 外， ， ， ， ，则 ； ③若 ， ， ， ，则 ； ④若 ， ， ， ，则 . 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 6.某
流程
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图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 ( ) A. B. C. D. 7.双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.“对任意的正整数 ，不等式 都成立”的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 或 9.设 ， ，则函数 在区间 上有零点的概率 ( ) A. B. C. D. 10.已知四面体 中， ，且 、 、 两两互相垂直，在该四面体表面上与点 距离是 的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题(25分)： 11.在极坐标第中，圆 上的点到直线 的距离的最大值是 12.已知 是等比数列， ， ，则 的取值范围是 13.设 ：关于 的不等式 的解集是 ； ：函数 的定义域为 .若 是真命题， 是假命题，则实数 的取值范围是 14.如图，在 中，点 是线段 及线段 延长线所围成的阴影区域(含边界)的任意一点，且 则在直角坐标平面内，实数对 所示的区域在直线 的下侧部分的面积是 15. 已知函数 ，且 是它的最大值，(其中 、 为常数且 )给出下列命题： ① 是偶函数； ②函数 的图象关于点 对称； ③ 是函数 的最小值； ④记函数 的图象在 轴右侧与直线 的交点按横坐标从小到大依次记为 ， ， ， ，…，则 ⑤ . 其中真命题的是 (写出所有正确命题的编号) 三、解答题(75分)： 16.(12分)在锐角 中，已知内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．向量 ， ，且向量 、 共线. ⑴求角 的大小； ⑵如果 ，求 的面积 的最大值. 17.(12分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一
年级
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开始，在每周一、周三、周五的课外活动期间开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讨论各天的满座的概率如下表： 信息技术 生物 化学 物理 数学 周一 周三 周五 根据上表： ⑴求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率； ⑵设周三各辅导讲座满座的科目数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. 18.(12分)如图，在三棱柱 中， ， ， ， 为 的中点，且 . ⑴求证： 平面 ； ⑵求多面体 的体积； ⑶求二面角 的平面角的余弦值. 19.(12分)已知数列 满足： ， ， ，(其中 为常数且 ). ⑴求证：数列 为等差数列； ⑵求数列 的通项公式； ⑶设 ，求数列 的前 项和为 . 20.(13分)如图，过圆 与 的两个交点 、 ，作圆的切线 、 ，再过圆上任意一点 作圆的切线，交 、 于 、 两点，设 、 的交点为 . ⑴求动点 的轨迹 方程； ⑵过曲线 的右焦点作直线 交曲线 于 、 两点，交 轴于 点，记 ， ，求证： 为定值. 21.(14分)设函数 ，用 表示 的导函数， ，其中 ，且 . ⑴求函数 的单调区间； ⑵若对任意的 、 都有 成立，求 实数的取值范围； ⑶试证明：对任意正数 和正整数 ，不等式 .
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