三角形的重心 思考一：已知：如图，BE、CF是△ABC的中线，并相交于G， 求证： = = 证明： （
方法
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一） 连接E、F， ∵E、F是AB、AC的中点 ∴EF是△ABC的中线 ∴EF∥＝1/2AB ∴△EFG∽△BGC ∴EF/BC=1/2 ∴EG/GB=GF/GC=1/2 ∴即证 （方法二） 连接E、F，取BG、GC的中点分别为P、N，连接PF、PN、NE。 ∵P、N为BG、CG的中点 ∴PN∥=1/2BC 同理EF∥=1/2BC ∴PN∥=EF ∴四边形EFPN是平行四边形 ∴PG=GE、FG=GN ∴PG=1/2BG、PN=1/2AB=EF ∴EG/GB=FG/GC=1/2 ∴即证 思考二：已知：△ABC中，BD和CE是中线，BD，CE相交于点G 求证：BC边的中线经过点G。 证明：连接DE,连接AO并延长，角BC于点F，交ED于点N 则ED‖BC，DE/ BC=1/2 易证△AEN∽△ABF ∴EN＝1/2BF △EGN∽△CGF ∴EN/FC=1/2 ∴BF=CF 即AF为BC边上中线，经过点G。 归纳结论： （1）定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 （2）重心的几条性质： a、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 b、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 c、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 d、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。 e、重心和三角形3个顶点的连线将三角形面积平分。 f、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 补充： 1、其它图形的重心： 线段的重心就是线段的中点；平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点；平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点；圆的重心就是圆心，球的重心就是球心；锥体的重心是定点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个；四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。 2、 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。垂心是三角形三条高的交点 ；内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心 ；重心是三角形三条中线的交点 ；外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心 ；旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点。正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合!
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