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第三章离散方程物理特性

第三章离散方程物理特性 1 计算传热学第三章离散方程物理特性任课教师：王增辉中科院研究生院物理科学学院 2010年中国科学院研究生院2010年春季离散方程的相容性、收敛性与稳定性离散方程的守恒性离散方程的迁移特性分析初值问题稳定性的von Neumann方法本章主要内容中国科学院研究生院2010年春季计算传热学精度影响因素误差分为：模型误差截断误差离散误差舍入误差截断误差->相容性（consistency）离散误差->收敛性（convergence）舍入误...

1 计算传热学第三章离散方程物理特性任课教师：王增辉中科院研究生院物理科学学院 2010年中国科学院研究生院2010年春季离散方程的相容性、收敛性与稳定性离散方程的守恒性离散方程的迁移特性分析初值问题稳定性的von Neumann 方法本章主要内容中国科学院研究生院2010年春季计算传热学精度影响因素误差分为：模型误差截断误差离散误差舍入误差截断误差->相容性（consistency）离散误差->收敛性（convergence）舍入误差->稳定性（stability）中国科学院研究生院2010年春季相容性（consistency）截断误差及相容性（consistency) , ( ) ( ) n n x t i iTE L Lφ φ∆ ∆= − 中国科学院研究生院2010年春季收敛性离散误差与收敛性 ( , )n ni ii nρ φ φ= − （1）截断误差：截差阶数越高，同样网格下， niρ 越小（2）网格步长：同样截差下，网格加密，误差减小；对一般工程计算格式截差选取建议：扩散项－二阶，对流项－2、3阶中国科学院研究生院2010年春季舍入误差数值解的舍入误差 niε %nn n i i iε φ φ= − 2 中国科学院研究生院2010年春季初值问题的稳定性非稳态情形，采用步进法时，初始条件引入的误差是否逐步放大，以至于物理解完全破坏？稳定的初值离散格式不会在以后各步导致误差不断放大凡是稳定的格式，任何物理量的误差放大都是有限的，凡是不稳定的格式，任何物理量的误差都会被不断放大对复杂的非线性耦合方程，并具有复杂边界条件的求解方法往往是很难得到稳定的结果，且往往需要凭经验中国科学院研究生院2010年春季例3.1 截差、网格疏密的影响例题 2 2 2 0 (0) 0; (4) 1 d d dx dx φ φ φ φ φ + − = = = 采用二阶截差时，可对节点2，3，4建立离散方程；对节点3采用四阶截差，对节点2，4二阶截差。解：采用有限差分法，用差分式代替。 2 2 , d d dx dx φ φ 中国科学院研究生院2010年春季 2 4 8 x xe e e e φ −−= −与精确解对比仅节点3采用四阶截差就使结果明显改善。中国科学院研究生院2010年春季 16或32个区间数的解就可以作为网格无关解中国科学院研究生院2010年春季例3.2 显式格式不稳定性示例 2 2 , 0 1 T T x t x ∂ ∂= < <∂ ∂ 0, 2 , 0 0.5; 2(1 ),0.5 1t T x x T x x≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ 0, (0, ) (1, ) 0t T t T t> = = 中国科学院研究生院2010年春季解：对及 0.52求解。 2 0.48 a t x ∆ =∆ 初场 2 0.48 a t x ∆ =∆ 2 0.52 a t x ∆ =∆ 精确解 3 中国科学院研究生院2010年春季守恒性（conservation）定义：将一个离散方程在任意有限容积内做求和运算，如所的结果仍满足守恒关系，则称其具有守恒性。使用有限体积法或基于严格的守恒形式进行的离散，则可保证每个控制体的守恒，其它离散方法则要充分注意守恒问题控制方程的守恒保证了离散方程的守恒，同一界面上各物理量的一阶导数是连续的保证了离散方程的守恒中国科学院研究生院2010年春季保证离散方程具有守恒性的条件 1.导出离散方程的控制方程必须是守恒型的 2.界面上变量及其一阶导数的离散形式连续分段线性的型线可以满足这一要求 ( ) 0u t x φ φρ ρ∂ ∂+ =∂ ∂ （守恒型） 0u t x φ φρ ρ∂ ∂+ =∂ ∂ （非守恒型）中国科学院研究生院2010年春季离散方程的迁移特性对流与扩散现象在物理本质上的区别扩散－分子不规则热运动无方向偏好；对流－流体微团的定向运动，只能从上游到下游。中国科学院研究生院2010年春季真实性（realizibility）对于特别复杂的情况，如湍流、燃烧、多相流动，要考虑能保证求得物理上现实的解。这不一定是数值的问题，可能是模型的问题，是否能真正的描述物理现象。模型的问题也可能导致非物理的解或是数值方法发散中国科学院研究生院2010年春季各类问题模型方法介绍：不可压缩流体和可压缩流体不可压缩流体流动特征：压力差主导的流动问题。基本求解方法：涡流法、求解压力泊松方程 MAC 法、压缩法、 SIMPLE方法，有限元、边界元法…… 可压缩流体流动特征：密度波主导的流动问题。速度主导。基本内容：势方程，微小扰动的势方程，波动问题，超音速流动问题，冲击波问题基本求解方法：有限体积法，有限元方法中国科学院研究生院2010年春季湍流流动流动特征：湍流主导问题湍流模型 0方程、1方程模型，k-ε方程，壁面函数法 4 中国科学院研究生院2010年春季多相流流动流动特征：多界面和局部平均化问题常见流动对象：燃烧、稀薄流、多相流、电磁流体问题。基本内容：空泡率，滑速比，结构方程，相间输运，状态方程、多相流动，拉格朗日坐标系基本求解方法：均匀流、漂移流、2流体模型中国科学院研究生院2010年春季移动界面的流动流动特征：具有明显连续移动界面问题基本内容：自由表面，表面张力，网格系统和移动的耦合，适体网格，波，数值波基本求解方法：Eular法、 VOF法〔Volume of Fluid），有限元法水空气中国科学院研究生院2010年春季微观模型解析流动特征：详细解释微小尺度上的流动问题。基本求解方法：粒子模型，分子模型，大涡法，格子气模型中国科学院研究生院2010年春季格式形成法对象：复杂几何形状的问题。基本方法：适体网格、坐标变换、结构网格，非结构网格的形成，适合解形式的网格，复杂形状的网格建立中国科学院研究生院2010年春季分析初值问题稳定性的von Neumann方法分析初值问题方法：矩阵分析法分离变量法 von Neumann法稳定性很难判断，最常用的方法为 von Neumann方法中国科学院研究生院2010年春季小结截断误差->相容性（consistency）离散误差->收敛性（convergence）舍入误差->稳定性（stability）守恒性保证了物理问题与计算问题一致初值问题稳定性的von Neumann方法

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