2011年全国各地中考题汇编 尺规作图

2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第38章 尺规作图 一、选择题 1. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 ，交 于点 ，连接 .若 的周长为10， ，则 的周长为（ ） A.7 B.14 C.17 D.20 【答案】C 二、填空题 三、解答题 1. （2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。 （1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD= , 求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和 ） 【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。 判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB ∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB ∴∠DAC=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C ∵∠C=90º ∴∠ODB=90º 即：OD⊥BC ∵OD是⊙O的半径 ∴ BC是⊙O的切线。 (2) 如图，连结DE。 设⊙O的半径为r，则OB=6-r， 在Rt△ODB中，∠ODB=90º， ∴ 0B2=OD2+BD2 即：(6-r)2= r2+( )2 ∴r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º ∵△ODB的面积为 ，扇形ODE的面积为 ∴阴影部分的面积为 — 。 2. （2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。 （1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24° ①作图： ②猜想： ③验证： （2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°. ①作图： ②猜想： ③验证： 【答案】 (1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可， 在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分 ②猜想：∠A+∠B=90°，………………4分 ③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分 （2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。 在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分 ②猜想：∠B=3∠A………………8分 ③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9分 3. （2011山东威海，20，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心． （1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图① （2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由． （保留必要的作图痕迹） 图① 图② 【答案】 解：（1）能，点 就是所求作的旋转中心． 图① 图② （1）能，点 就是所求作的旋转中心． 4. （2011浙江杭州，18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4． (1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)； (2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率． 【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略 (2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是 ． 5. （2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图) 【答案】 6. （2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。 （1）请完成如下操作： ①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。 （2）请在（1）的基础上，完成下列问题： ①写出点的坐标：C 、D ； ②⊙D的半径= （结果保留根号）； ③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）； ④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。 【答案】（1） （2） ① C（6，2），D（2，0） ② ③ ④相切。 理由：∵CD= ，CE= ，DE=5 ∴CD2+CE2=25=DE2 ∴∠DCE=90°即CE⊥CD ∴CE与⊙D相切。 7. （ 2011重庆江津， 23，10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3). (1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标. (2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标. 【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略； （2）作出点A关于x轴的对称点A/(2,-2), 连接A/B，与x轴的交点即为所求的点P. 设A/B所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A/(2,-2), B(7,3)分别代入得： 解得： · 所以： y=x-4· 当y=0时，x=4,所以交点P为（4，0）· 8. (2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置. 要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹． 解：已知： 求作： 【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上. 求作：一点P，使PA＝PB＝PC. (或经过A、B、C三点的外接圆圆心P) 正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P 9. (2011江苏南京，27，9分)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点． ⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点． ⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 【答案】解：⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线， ∴ ，∴CD=BD． ∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°， ∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC． ∴E是△ABC的自相似点． ⑵①作图略． 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A； （ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P． 则P为△ABC的自相似点． ②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴ ， ． ∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC． ∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A， ∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． ∴∠A+2∠A+4∠A＝180°． ∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为 、 、 ． 10．（2011江苏无锡，26，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。 (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ 所围成图形的面积S。 【答案】解：(1)如右图所示．……………………(3分) (2)S = 2[π·12 + π·()2 + 1 + π·12] = + 2．………………………(6分) 11. （2011重庆市潼南,19,6分）画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为 . （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. 已知： 求作： 【答案】已知：线段a、b 、角 -------------1分 求作：△ABC使边BC=a，AC= b，∠C= ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分 12. （2011湖北宜昌，23，10分）如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC = 1，BC =2. (1) 如图2, ⊙O 与Rt△ABC的边AB 相切于点X，与边CB相切于点Y.请你在图2 中作出并标明⊙O 的圆心0；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) (2) P 是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt△ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S，你认为能否确定S 的最大值？ 若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由. （第23题图1） （第23题图2） 【答案】解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分， (2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点)， ∵ OX ＝BOsin∠ABM，P1Z＝BP1sin∠ABM．当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．这时，BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点. （3分.此处没有证明和结论不影响后续评分） 如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上. ∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时⊙P的面积就是S的最大值. ∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，（5分） ∴ = .∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝   . 设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE， ∴ = ，∴x＝ ．（6分） ② 如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时， 设PC＝y，则  = ，∴y=  （7分） ③ 如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF＝z，则 = ，∴z= （8分）由①，②，③可知：∵   ＞2，∴   ＋2＞ ＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:∵x＝ ＝2  －4, y=  =  ， ∴y-x= >0,∴y>x. ∵z-y= －  = >0，∴2 >  >  ，（9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴ z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为 π.（10分） (第23题答图1) (第23题答图1) (第23题答图3) (第23题答图4)