初中数学之2009湖州中考数学第24题(改编题)初中数学·中考数学佳题赏析研究(2009) 2009年湖州第24题改编题 推荐星级☆☆☆☆☆ 已知:如图,抛物线 (a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线 分别与x轴、y轴相交于点B、C,并且与直线AM相交于点N. (1)试用含a的代数式分别表示点M和点N的坐标; (2)在抛物线上是否存在一点P,使得以点P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由. 〖关键词·平行四边形第四个顶点的位置讨论〗 解: (1)∵ , ∴点M的坐标为(1,a-1). ∵直线AM过点A(0,a)...
初中数学·中考数学佳题赏析研究(2009) 2009年湖州第24题改编题 推荐星级☆☆☆☆☆ 已知:如图,抛物线 (a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线 分别与x轴、y轴相交于点B、C,并且与直线AM相交于点N. (1)试用含a的代数式分别表示点M和点N的坐标; (2)在抛物线上是否存在一点P,使得以点P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由. 〖关键词·平行四边形第四个顶点的位置讨论〗 解: (1)∵ , ∴点M的坐标为(1,a-1). ∵直线AM过点A(0,a),点M(1,a-1), 易求得直线AM的解析式为y=-x+a. 由 得 ∴点N的坐标为( ). (2)因为点N 、A、C的位置已经确定，故以点P、A、C、N为顶点的平行四边形的位置有三种情况,现分类讨论如下: 如图甲,假设在抛物线上存在点P,使得四边形NAPC为平行四边形, ∵点A的坐标为(0,a),点C的坐标为(0,-a), ∴原点O是对角线AC的中点. ∴点P与点N关于点O对称(即O是平行四边形NAPC两条对角线的交点). ∵点N的坐标为( ), ∴点P的坐标为( ). ∵点P在抛物线 上, 把 代入 , 得 .(∵a<0,取负值) ∴点P的坐标为( ). 如图乙,假设在抛物线上存在点P,使得四边形ANPC为平行四边形, ∵点N的坐标为( ),PN=AC=-2a, ∴点P的坐标为( ). ∵点P在抛物线 上, 把 代入 , 得 .(∵a<0,取负值) ∴点P的坐标为( ). 如图丙,显然,若四边形APNC为平行四边形,则点P不在抛物线上. 综上所述, 在抛物线上存在点P,使得以点P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标为( ), 或( ). 〖评析〗(1)理解平行四边形性质的灵活应用; (2)感受在分类讨论时如何做到不重复，不遗漏. 欢迎光临初中数学研究网 www.czsxyj.com
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