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五次方程式简化.pdf

五次方程式简化

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2011-07-31 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《五次方程式简化pdf》,可适用于人文社科领域

五次方程式简化一般五次方程无根式解是伽罗瓦用群论证明的但五次方程式zazazazaza=(A)可简化成如下形式:xdxd=(B)有利于理论分析。其简化过程为:(一)令azw=可消去四次方项将(A)式化为wbwbwbwb=()形式。(二)布灵杰拉德(BringJerrard)转换令ywpwq=()将()式代入()消除五次幂然后再将()式代入与()式的计算结果中消除四次幂如此逐次反复进行得到下式:()()ypqbyppqbpbpqbqbw()pypqppbbypqpqbpqbqb()将()式代入()消除ww整理得ycycycycyc=()在()式中cbq=令c=bq=cpbbpqqbbb=令c=将bq=代入上式得bbbbbpb=在将qp代入,,ccc中则()式化简为()ycycyccc===()形式。这里cqpqbqbqbpbpqbpbb=bpbqbbbpbcqpqbqbqbpqbpqbpqbbqbpb=pqbqbpbbqbbpbbbpbpqbpbbbbcqpqbqbqbpqbpqbpqbb=qbpqbpqbqbpqbbqbbpqbbpbpqbpqbpbbpqbbpbbqbbpbbb将pq代入,,ccc中就可确定其值。(三)契尔恩豪森转换(Tschirnhaustransformation)()ycycyccc===()令(),,,,,nnnnnxyyyynabgd==(),,,,yyyyy为方程()五个根。设转换后的方程为,xdxdxdxdxd=()形式。,,,,xxxxx为方程()五个根。,nnxy应满足方程()的解我们的目的就是选择方程()的系数,,,abgd的值使方程()的系数由,,,abgd与方程()的系数表出。应用牛顿等幂和公式可求得结果。我们记为方程()等幂和为:()kkknnnSSyy===å方程()等幂和为:()kkknnnTTxx===å根据牛顿等幂和公式计算Sn的值如下:当kn£时kkkkkScScScSkc=LSc==ScSc==ScScScc==ScScScScc==ScScScScScc==当kn>时kkknknScScScS=LScScScScScSc==ScScScScScScc==ScScScScScSccc==ScScScScScSccc==ScScScScScSccc==ScScScScScScccc==ScScScScScSccccc==MScScScScScScScScS==一直计算到S为止。根据牛顿等幂和公式计算Tn的值如下:(令ddd===)当kn£时kkkkkTdTdTdTkd=LTd==TdTd==TdTdTd==TdTdTdTdd==TdTdTdTdTdd==将()式的五个等式相加得xyyyyabgd=xyyyyabgd=xyyyyabgd=xyyyyabgd=xyyyyabgd=dTSSSSabgd===将,,,SSSS代入上式整理得ccad=ccad=()将()式的五个等式每个等式两边平方后相加得()()dTSSSSaabgab==()()SSbdagbgadd=将,,,,,,SSSSSSd代入上式整理得()ccccccccccccgbaababbæö=ç÷èø()在()式中令()cccgba=()cccccccccababbæö=ç÷èø()从()解出bcccab=()将()代入()式整理化简得()()cccccccccccccccccaa=()这是一个a的二次方程即a确定。这一步是契尔恩豪森转换的关键地方。在()式中令g的系数为含ab的系数二次方程为进而确定ab的值。将()式的五个等式每个等式两边立平方后相加得()()()dTSSSSSaabaabgbbaagd==()()SSabbggaadbgbadbdag()()()SSSgbadbgagdbdgbdgadadgbdgd=将,,,,,,,,,,,SSSSSSSSSSdb代入上式整理得()cccccccccgagéùëû()()cccccccccccccccaagéùëû()cccccccccacccccccccc=()这是一个g的三次方程即g可解出将()式的五个等式每个等式两边四次方后相加。将Td=,,,SSSL代入相加的式中解出dd由,,,,,,cccabgd表出。将()式的五个等式每个等式两边五次方后相加。将Td=,,,SSSL代入相加的式中解出dd由,,,,,,cccabgd表出。这可能就是五次方程与正二十面体有关系的因果吧。致此方程(A)化简为,xdxd=(B)的形式。(四)契尔恩豪森转换的又一方法契尔恩豪森转换也可用结式解当然布灵杰拉德转换也可用结式解但是不如代入法直观。()ycycyccc===()令,yyyyxabgd=()将()式用,,,yyy分别乘之得ycycycyycycycyycycycyycycyc====将()式用,,,,yyyy分别乘之得()()()()()yyyxyyyyxyyyyxyyyyxyyyyxabgdabgdabgdabgdabgd=====将以上个方程排列成行列式即西尔维斯特(SylvesterJamesJoseph)形式ccccccccccccxxxxxabgdabgdabgdabgdabgdêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëû若方程()()有公根上面的行列式的值为求解行列式得到如下方程:,xaxbxcxdxe=()在这里:accad==()()bcccccdadbgab=cccccccccbagaabg=()ccccccccdgbabggaab=()cccccccccccccdabgabagbgabccccccccccccabbagabggabbcccccccccccccccagaaabgab()ccccccccccccdbgabbagaabg=()()()dccccccccccccccccccadgbbdga=cccccccccccccccccccccccdgddgbdgbgabdbgbbdæöç÷ç÷èøccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccdbgdbddbgbddbgbggdbdggdbdbggdbdbgbdgcccccccabbgbæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøccccccdgdbgdbdgdbdgdcccccccccccdgbgdbddbggbgdccccccccccccccgbdgbbgbdbbgbccccccccccbdbgbgdgdbbgcccccccccccccccbddbgbbggdbcccccccccccccccccdgbgbdgb=()()ecccccccccccaddggba=ccccccccccccccccccccccdgdbdgbddbgdagdbdbæöç÷ç÷èøccccccccccccccccccccccccccccccccccccccdgddgdbdgdbdgdbdgbgdgbdbgbgabddbgbdgæöç÷ç÷ç÷èø(ccccccccccccdbgdbdgdbgdbddbgdcccccccccccbgdgdbddgddgdbdccccccccccccccbgbggdbgbddbgcccccccccccccccbdgdbdbggddccccccccccccccgbdgbggbgdbg)cccccccccccccbdgbgbbdaccccccccdgdbgdbdgdbdgddgdcccccccccccbgdbddbgdgdbgdgdccccccccccccbdgdbdbgdbddbgdbdcccccccccccbdddgbgdbgdgdbggccccccccccccccbdbgdbddgbgdgcccccccccccccbdbgbgbgdgdbgccccccccccccccccccbddbgbggddgcccccccccccbbgbdgdbdbggdbcccccccccccdbgbdgccccccbbgb()在()式中合并g同类项将()式中δ代入整理化简得cccccccccccccaaæöæöç÷ç÷èøèø()cccccccccbag=()在()式中令g的系数为解出bcccab=并将代入α二次方程中cccccccccccccccccccaaæöæö=ç÷ç÷èøèø整理得()()cccccccccccccccccaa=()即a确定。在()式中将,db代入上式整理得()cccccccccgagéùëû()()cccccccccccccccaagéùëû()cccccccccacccccccccc=()再将()中解出的a代入上式这是一个g的三次方程即g可解出将,,,abgd代入()()中de系数确定。从以上化简的过程看计算繁琐表达式极其复杂如果将,,,,,,,,aaaaabbbbb等系数代入表示公式更为复杂。故在工程中高次方程一般用数值解法。化简过程只具有理论上的意义而已。以上使用Mathematica或Mathcad等电脑辅助软件计算操作要仔细公式复杂很容易看错。参考资料:维基百科http:zhwikipediaorgwikiEBAEACAEBEABPolynomialTransformationsofTschirnhaus,BringandJerrard(VictorSAdamchikDepartmentofComputerScience,CarnegieMellonUniversity,Pittsburgh,PA,USA)数学小丛书《对称》段学复人民教育出版社年《范氏大代数》《高等代数》北大数学力学系人民教育出版社年公式复杂输入可能有误如有不妥之处请网友指正。我的邮箱:jzoycom

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