转子动平衡的几个优化算法[1]

2003年第 1期 东方汽轮机 7 转子动平衡的几个优化算法 胡廷瑞 摘 要 ：介绍了转子动平衡的影响系数法，影响系数余量法，定相位角最佳算法，单平 面加重的优化搜索法及优化影响系数的算法及其 MATLAB语言的实现。数值算例验证 了各 程序的正确与有效，同时说明通过计算得到的多种配重方案，给平衡工作者提供了宽广的选 择空间，有利于提高平衡工作的质量、效率和降低成本。 关键词 ：动平衡 影响系数法 影响系数余量法 优化 0 前 言 计算机辅助转子动平衡常用的影响系 数法【文 1】是基于使平衡后的残余振动为 零，所以求出的配重往往过大，且有时也会 出现 各修正面配重 的效应 相互抵消 的现 象。在许多试图对其改进的努力中，【文 2】 讨论了允许残余振动不为零的 “影响系数 余量法”，并对此非线性约束规划问题用 Rokafeller乘子法求解；并指出它能给有残 余弯曲的转子的平衡一个较好的结果。【文 3】及【文 6】的作者从避免各平面配重的效 应相互抵消出发，认为各平面配重的相位 角以按单平面平衡计算所得到的相位角为 最佳；配重的大小再用最小二乘法得到。本 文中称之为“定相位角最佳算法”。对于只 用一个平衡面平衡多转速多测点的转子， 如燃机转子等，【文 4】给了一个单平面最佳 配重的优化搜索算法。 由于各转子的个性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现使同类转子的 影响系数会有较大的分散度，往往使借用 同类转子的影响系数所作的平衡计算给出 不适用的结果，甚至于使得有人对这种作 法持否定态度。但是，毕竟“有胜于无”：减 少些盲 目性，减少一两次平衡中的开机成 本。所以，【文 5】把优化的目标函数直接定 为影响系数本身，形成非线性约束优化问 题，并用罚函数法求解出更准确的影响系 数。 上述算法都有一定的应用业绩，值得 我们在平衡工作中引用。为此，我们采用功 能强大、使用方便的 MATLAB自行编制了 这几个程序。经若干算例验证，不但算得 快，计算结果与上述文献吻合，且计算精度 更高。 1各算法的MATLAB语言表述 1．1影响系数法 (最 小二乘 法 。Goodman 法) 转子的动平衡方程为 K W 4-V0=0 (1) 其中：K为影响系数矩阵，W 为待求配重 列向量，V0为初始振动列向量，三者均为 复数。 于是W=K＼(一V0) (2) “＼”表示左除，即，a~b=inv(a)*b，当方 程数多于未知数个数时，则执行最小二乘 算法。 加配重后的残余振动Vcy为： Vcy=K W 4-V0 (3) 自编程序文件名为 phen1．m。 维普资讯 http://www.cqvip.com 8 东方汽轮机 2003年第 1期 1．2影响系数余量法 该算法把各平面配重的总和最小作为 优化的目标，把允许各测点有一定的残余 振动作为约束条件，形成非线性不等式约 束规划问题。求解此类问题，在 MATLAB 中有 比罚 函数更有效 的序 列二次规划 (SQP)算法，我们就采用它。 该问题的 目标函数是 ： f =sum(abs(W． ) (4) 约束条件为： G=([1(r一 ] w+V0r)． +([ Kr] W +V0i)． -eps~=0 (5) 其中，l(r， 分别为影响系数矩阵的实部 和虚部； V0r，V0i分别 为各测 点初 始振动列 向 量的实部和虚部； eps为各测点允许的残余振动幅值列 向量 ； w 为待求配重列向量；同时 K，V，w， eps均为实数。 自编程序文件名为 phen3．in。 1．3定相位角最佳算法 本算法仍用最小二乘法，它首先求出 单独一个平面加重时各平面所需的加重矢 量 Wi@ Phi，加重后的残余振动 Vci，以及 各平面加重的效果系数 Ef． sum((abs(V0))． 2) — sum (a bs V两Cl I I J 如果单独平面加重后的残余振动尚不 合格，则在所有修正平面中由少到多选择 效果系数大的平面组合，求出各修正平面 所需的配重，施加配重后的残余振动及效 果系数，供平衡工作者择优选用。组合配重 计算时，重要的是：各加重平面上加重的位 置(相位角)都采用单独平面配重计算时得 到的相位角。其平衡方程为： K [Wxi exp(i Phi)]+V0=0 (7) 求出所需配重幅值 Wxi后，组合成配重 矢量 堑 i，然后用(3)，(6)两式分别 求出残余振动 Vci及效果系数 Ef。 自编程序文件名为 phen2．in。 1．4单平面最佳配重的优化搜索算法 设 n为测点数，l为转速数，re=l*n称 为读点数，Km 为影响系数，w 为配重，则 有 Wm = Km ＼一V0m． 若记 Sm=Km ＼一1，则 Wm=Sm V0m (8) 为了在 wm中找出最佳的配重 Wo，[文 4]给出的算法如下：每两个读点的配重(如 W1和W2)为一组，求出一个最佳值，记为 Wmo，最佳的条件是：加上 Wmo后 ，这两个 读点的残余振动的幅值相等。由此导出 Wmo= W1一 1-w2) abs(S1)／(abs (S1)+abs(S2)) (9．1) 或 Wmo=w2-(w2一W1) IS21／(IS1 I+1S21) (9．2) 那么，加上 Wmo后各测点的残余振 动的幅值则为列向量 [-Vcm] [Vcm]=(VCm-Wmo)．／(Sm) (10) 取 [Vcm]中的最大者 Vcmmax作为配重 Wmo平衡效果的代表。 重复上述作法 m (m一1)／2次，则可得 到两个列向量 [Wmo]和 [Vcmmax]，这时找 出与 [Vcmmax]中最小者 相对应 的那个 Wmo就是我们所要的最佳配重。 按此算 法 自编 程序 文件 ，名为 phen5．in。 1．5优化影响系数的平衡算法 借用同类转子已有的影响系数进行转 子的动平衡，可以减少平衡中的启动次数， 维普资讯 http://www.cqvip.com 2003年第 1期 东方汽轮机 9 有利于降低成本，但是所用的影响系数对 于正 在被平衡 的这 根转子可 能不一定准 确，从而使上述优点被打了折扣。针对这个 问题，[文 5]提出了应用同类机组以往的影 响系数，逐次应用等式约束和最小二乘处 理，借以获得较为准确的全部影响系数，再 结合剩余振动最小二乘，求出配重的综合 优化平衡法。 该问题的目标函数是： rnin(K0)． 2-K(j-1)．^2) (1 1) 约束函数是：[A1]=【AO]+K(j) r (12) 其中，【w】一第 1到第 i1次平衡时施加 的试重组成的列 向量 ， 【AO]一一第 1到第 i1次平衡时的 初始振动组成的列向量 ， [A1]一 第 1到第 i1次平衡时施 加试重后得到的振动组成 的列 向量 K(j)一第j次求出的影响系数。 具体计算时要一个测点一个测点地求出影 响系数 K。按此算法 自编程序文件，名为 phen4．m。 2算例和讨论 例 1．(原始数据取 自 【文 6]) 初始振动 V0=[54 135；35 250；49 342]； 注 ：向量(振动，配重 ，影响系数)皆以 【幅值 相位角 ⋯]表示，下同。 影响系数为 ： kmp=[O．04．65-34．2073 O．2174-69．8201 0．1242 -60．0261； 0．1409 43．3638 0．0629 88．4537 0．0145 79．5470； 0．1 158 —150．9254 0．2106 167．8399 0．1325 151．0246]； 3平面配重计算，结果如下 程序 phenl 3平面 配重 284．64 27．97 261．09 161．84 783．42 一】3．84 总加重 1329．1 残余振动 0．0 程序 phen2 3平面 配 重 1 12．7737 —12．6696 60．1237 7．8714 246．53O0 12．2163 总加重 419．4273 最大残余振 动 17．4854 —86．1752 程序 phen3 3平面 允许残余 振动 10．0 配 重 133．801 1 18．5701 61．0069 32．2466 269．7069 —8．8229 总加重 464．5149 最大残余振动 10．0 程序 phen3 3平面 允许残余 振动 0．10 配 重 283．1013 27．9329 258．0648 161．7374 778．2828 -13．8276 总加重 1319．4 最大残余振动 0．10 2平面配重计算 程序 phenl 2平面 【1 3] 配重 158．2437 34．4429 381．2378 一 O．8446 总加 重 539．4814 最 大残余 振 动 8．3892 程序 phen2 2平面 【1，3] 配重 123．i —12．6696 338．8000 12．2163 总加重 461．9979 最大残余振 动 19．3228 -81．6536 程序 phen3 2平面 【1 3] 允许 残余振动 8．4 配 重 156．3198 33．0531 376．6039 - 0．5681 总加重 532．9238 最大残余振动 8．4O 比较计算结果，可以看出： 对例 1的 3平面计算，最小二乘法 (phen1)算出的总配重 1329．1克较大。定 相位角最佳算法(phen2)得到 419．4克，但 由于残余振动较大也不好用。影响系数余 维普资讯 http://www.cqvip.com 10 东方汽轮机 2003年第 1期 量法(phen3)可以按实际情况指定允许的残 余振动，求出一个合理的配重。当允许残余 振动为 10微米时，得到总配重 464．5克， 当允许残余振动为0．1微米时，得到总配 重 1319．4克。由此可以看出，影响系数余 量法给平衡工作提供了“可控性”；当允许 的残余振动值趋近于零时，余量法求出的 配重与最小二乘法得到的各平面配重的幅 值和相位都趋近一致，这也说明了phen3 程序的计算无误。 例 2．(原始数据取 自 [文 2]) 初始振动 v0=[1．98 2；1．55 38]； 影响系数 Kmp=[0．99 227 1．16 41 1．94 80 1．52 44 1．73 228 3．6 210]； 程序 phenl 3平面 配 重 7039．1 80．0 4014．1 105．8 1919．2 47．8 影响系数矩阵接近奇异， 计算结果不正确 总加重 12972．4 最大残余振动 0．0 程序 phenl 2平面 [1 2] 配 重 16521．0 —130．0 14040．0 — 130．0 总加重 30561 最大残余振动 0．0 程序 phen2 3平面 配 重 14999．0 —130 —12943．0 49 128 44 总加重 28070 残余振动 0．0 程序 phen2 2平面 [1 2] 配重 16502 —130 —14024 49 总加重 30527 残余振动 0．07 程序 phen3 3平面 允许残余 振动 [0．9 1．o] 配重 341．8101 21．6547 540．5056 — 151．50o1 705．6046 44．9258 总加重 1587．9 最大残余振动 [0．9 1．0] 程序 phen3 3平面 允许残余 振动 【0．1 0．1】 配 重 885．5 29．7 146．1 1379．0 38．3 总加重 3636．8 最大残余 振动 [0．1 0．1] 程序 phen3 2平 面 [1 2] 允许残余振动 [1．0 1．0] 配重 7116．4 —129．0 5877．8 — 131．2 总加重 12994．0 最大残 余振动 [1．0 1．0] 例 2是一个带有初始弯曲的转子的数 据，其影响系数矩阵接近奇异。3平面计 算，phenl得不出正确结果，因而平衡无法 进行。phen2得到的配重的幅值中有负，从 物理意义上讲是“去重”，但从数学意义上 讲幅值不应该为负，这个结果也不好用。 Phen3允许残余振动 0．9和 1．0微米时， 得总配重 1587．9克，允许残余振动 0．1和 0．1微米时，得总配重 3636．8克 ，这个结 果就很合理，使带有初始弯曲的转子的平 衡问题得以解决。 例 3．已知对称(kdemp)和反对称(kfd— emp)影响系数及初始振动(v0)，求对称和反 对称配重。其中，测点数为 2，修正平面一 个，平衡转速是 3个。 kdcmp=[0．54 220；1．3 0．3 205；0．04 60]； kfdcmp=[0．1 185；0．3 0．9 40；0．54 195]； 1 85；0．1 45；0．4 250； 220；1．8·210；2．3 65； v0=[1．64 305；2．65 313．5；8 233；13．5 37； 5．95 242．5；4．3 1 87．5】； 程序 phenl 2平面 [1 2] 对称配重 4．35 308．5 最大残余振 动 11．86 反对称配重 4．04 164．7 最大残余振 维普资讯 http://www.cqvip.com 2003年第 1期 东方汽轮机 动 9．1 对称与反对称联合配重 4．595 258．8+ 3．225 170．7 最大残余振动 7．77 程序 phen3 2平面 [1 2] 允许残余振动 [10 10] 对称配重 8．75 327 计算最大残余振动 10 耗时 0．98秒 允许残余振动 [9．1 9．1] 对称配重 9．96 314．2 计算最大残余振动 9．65 耗时 297 秒 允许残余振动 [7．5 7．5] 反对称配重 2．65 144．9 计 算 最 大 残 余 振 动 7．50 耗时 0．99秒 允许残余振动 [7．2 7．2] 反对称配重 2．75 137．3 计算最大残余振动 7．65 耗时 1．00秒 允许残余振动 [7．0 7．0] 对称与反对称 联合配重 3．16 229．1+3．02 147．2 计算最大残余振动 7．0 耗时 1．32 秒 允许残余振动 [6．5 6．5] 对称与反对 称联合配重 6．11 238．6+3．0 153．1 计算最大残余振动 8．24 耗时 665-3 1秒 这个例子的计算很有意思，至少可以 看出这样几点： 1)Phenl和 phen3都可以计算对称 与反对称配重平衡问题； 2) phen3比phenl的计算结果好一 些，因为前者得到的残余振动要小一些，如 反对称配重情况，前者为7．5，后者为9．1， 联合配重情况，前者为7．0，后者为 7．77； 3)用 phen3计算时，允许残余振动 不能随意取得很小，这是某些转子平衡问 题本身造成的，说明这根转子的平衡用现 在使用的加重平面组合达不到那么高的精 度；同时，计算过程对此也有反映：一是计 算出来的残余振动比指定的允许值大，二 是耗费的机时特别长 (几十秒到几百秒)。 这时，要么增大允许残余振动值，要么改变 加重平面的组合。 用 MATLAB 自行编制的几个程序都 可以任意组合施加配重的平面，使用很方 便。对其它两个程序，限于篇幅及它们特定 的适用范围，我们就不给出算例了。 3结论和建议 (1)影响系数余量法程序(phen3)计 算结果合理、能适用多种转子情况、使用方 便，且使动平衡计算具有了可控性，是平衡 工作者 的得力工具。 (2)影响系数的准确与否直接影响配 重计算的结果，需要注意积累各型转子的 影响系数并择优使用。在优化影响系数的 平衡算法中，若用余量法代替最小二乘法 去求配重，一定能得到更好的结果，值得研 究。 (3)通过 MATLAB 的编程实践，深深 体会到 MATLAB及其工具箱，用作 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 数 学计算，包括平衡工作常用的复数和幅值 相位的加减乘除，功能很是强大；用作程序 语言，编程工作化繁为简，化难为易；用于 数值可视化，非常方便直观，值得广泛应用。 参考文献 1．钟一谔 等．转子动力学．北京：清华大学出版 社 。1987 2．刘荣祥 等．影响系数余量平衡法及其在初始弯 曲转 子动平衡 中的应用．汽轮机技术 ，1994，4 3．张厚生．汽轮发电机组的现场最佳动平衡计算 方法 ．动力工程 ，1983，5 4．徐云冬译．燃机转子最佳配重的搜索算法．东方 汽轮机 ，2002，增刊 5． 顾晃 等．减少转子动平衡启动次数的优化方 法．动力工程 ，1985，2 6．张厚生．汽轮机组配重平衡重量的合理性．动力 工程．1984 维普资讯 http://www.cqvip.com