第06章+Garch模型分析与应用

181 第六章 GARCH 模型 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与应用 [学习目标] ¾ 了解金融市场序列的 ARCH过程； ¾ 掌握 GARCH模型、EGARCH模型和 TGARCH模型的形式及其含义； ¾ 熟悉 GARCH类模型的检验与估计； ¾ 掌握 GARCH模型在金融数据分析中的应用。 本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 第二章至第五章讨论的所有模型在本质上都是线性模型，即模型的参数是线性 的。然而，经典的线性模型往往假设是时间序列是同方差的，而在现实的金融数据的时间序 列中， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出在不同的时间段，方差是不同的，也就是方差具有时变的特点，另外时间序列 之间具有一定的自相关性，这显然不能不能通过经典线性模型进行建模分析。 在本章中，我们主要讨论非线性模型，主要介绍自回归条件异方差（ARCH）模型和 金融市场波动性建模。ARCH 模型（autoregessive conditonally heteroscedastic，ARCH），即 自回归条件异方差模型，它是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。1982 年，R.Engle 在研究英国通货膨胀率序列规律时提出 ARCH 模型，ARCH 模型的核心思想是残差项的条 件方差依赖于它的前期值的大小。①1986 年，Bollerslev 在 Engle 的 ARCH 模型基础上对方 差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的 GARCH 模型。后来，该类模型也得到 了很大的发展，形成了如 EGARCH, IGARCH,GARCH-M 等模型。由于 GARCH 类模型能够 较好地描述时间序列的金融时间序列的异方差性问题，并成为金融市场分析中广泛应用的模 型。正是 Engle 提出 ARCH 模型的巨大贡献，他在 2003 年获得诺贝尔经济学奖的殊荣。 第一节 ARCH 过程 一、金融时间序列的异方差性特征 对时间序列而言，常使用 ARMA 模型拟合其真实数据的生成过程，通过 ACF、PACF、 信息准则或似然比检验确定 ARMA 模型的滞后阶数，得到适合的模型。在此有必要指出的， ARMA 模型所涉及的时间序列方差不变，也即设定投资者者所面临的市场风险是相同的。 然而，在现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大多数序列在呈现出阶段 性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性。 在金融市场中，波动率（volatility）是金融时间序列最重要的特征之一，因而模拟和 预测股票市场的波动性已经成为众多理论和实证研究的重要领域。当前，许多计量经济学研 究都用扩展的 Box—Jenkins 来分析此类时间序列行为。然而，金融市场时间序列存在非平 稳性，样本均值并不恒定，有明显的异方差性特征。因此，传统线性结构模型（以及时间序 列模型）并不能很好地解释金融数据的重要特征，这包括： （1） 尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat tails）和在均值处呈现 过度波峰，即出现过度峰度分布的倾向； （2）波动丛聚性（clustering）或波动集中性（pooling）：金融市场波动往往呈现簇状 倾向，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关关系。波动丛聚性是金融 资产收益率序列运用 ARCH 模型的一个重要特征。 ① Robert F. Engle,1982,” autoregessive conditonally heteroscedastic with Estimates of the Variance of U.K. Inflation”, Econometrica50,pp987-1008. 182 （3）杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上 升的倾向。 为解释金融时间序列数据的上述特性，在此我们应用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 普尔指数(S&P500)和上证指数 的日收益率数据进行说明。 图 6-1 说明，标准普尔指数(S&P500)1955-2004 年的日收益率分布。样本期内，S&P500 收益率 0.0318%，标准差为 0.9179%。偏度为-0.926286，即收益率呈现左偏特征。峰度为 28.00273，远远高于正态分布的峰度 3，这说明 S&P500 收益率序列呈现尖峰和厚尾的特征。 JB 的正态性检验也证实了这一点，JB 统计量为 326200.8，说明在极小的水平下，收益率分 布显著异于正态分布。 图 6-2 说明，上证指数 2000 年至 2004 年的日收益率分布。无论是 S&P500 还是上证指 数，收益率的波动都呈现明显非均质的丛聚性特征。例如 S&P500 在 1974-1976 年、1987 年、1999-2001 年的波动幅度都明显大于其他时期；上证指数在 2001 年上半年的波动幅度 明显大于其他时期。 这种现象常见于金融资产收益序列，如何将其参数化（即如何建模？） 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 之一就是 利用 ARCH 建模。 （a）日收益率的波动 -.20 -.16 -.12 -.08 -.04 .00 .04 .08 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 183 (b)日收益率的统计性描述 图 6-1：S&P 500 日收益率波动情况 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 2000 2001 2002 2003 2004 Residual Actual Fitted (a)上证指数残差图 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Series: RETUSSP Sample 1/4/1955 TO 6/25/2004 Observations 12455 Mean 0.000318 Median 0.000375 Maximum 0.090994 Minimum -0.204669 Std. Dev. 0.009179 Skewness -0.926286 Kurtosis 28.00273 Jarque-Bera 326200.8 Probability 0.000000 HISTOGRAM OF S&P500 DAILY RETURNS 184 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 C o nd i tio na l S ta nd a rd D e via tio n （（bb））条件方差 图图 66--22：：上上证证指指数数日日收收益益率率波波动动情情况况 二、ARCH 过程 经典的模型往往假设为同方差的，由于在时间序列，特别是金融数据的时间序列中，表 现出在不同的时间段，方差是不同的，也就是方差具有时变的特点，另外时间序列之间具有 一定的自相关性。在金融时间序列出现阶段性的大波动时候，假定同方差显然是不恰当的。 预测方差的一种是引入一个独立的变量来估计波动性。首先考察最简单的情况： 1 1t t ty xε+ += （6.1） 其中， 1ty + 表示金融时间序列变量； 1tε + 表示方差为 2σ 的白噪音干扰项； tx 表示在 t 期 观测到的独立变量。 如果 1 2t t tx x x− −= = ="常数，则序列{ }ty 就是方差恒定的白噪声过程。但是，如果序 列{ }tx 不完全相等，则基于可观测值 tx 的 1ty + 的条件方差为 2 2 1var( )t t ty x x σ+ = （6.2） 这里， 1ty + 的条件方差取决于 tx 的观测值。也就是说，序列{ }tx 的引入可以解释序列{ }ty 波动状况。为应用方便，我们需要将模型（6.2）进行修正，引入系数 0a 和 1a ，并估计其对 数形式的回归方程： 0 1 1ln( ) ln( )t t ty a a x e−= + + （6.3） 式中， ln( )t te ε= 。 经对数变换后的线性方程（6.3），可以直接用 OLS 进行估计 0a 和 1a 。但是，这种方法 185 得主要难点在于要为变化的方差假设一个具体的原因，此外，这种方法还使得{ }tx 会影响 到 ln( )ty 的均值。例如，20 世纪 70 年代的 PPI 的大幅度上涨究竟是石油危机的冲击，货币 政策的变动，还是布雷顿森林体系的崩溃？此外，这种方法需要对数据进行转换，使得变换 后的数据有恒定的方差。在上述例子中，我们假设序列{ }te 有恒定的方差，但是若这种假 设不成立，则需要对数据进行其它转换。 Engle(1982)提出的 ARCH 模型，正是在不使用特定变量 tx 或数据转换的情况下，同时 对序列的均值和方差进行建模。要理解 Engle 的方法，首先我们要估计平稳 ARCH 模型 0 1 1t t ty a a y ε−= + + 并预测 1ty + ，则 1ty + 的条件均值为 1 0 1t t tE y a a y+ = + ，若我们用这个条 件均值去预测 1ty + ，则预测误差方差为 2 2 21 0 1 1[( ) ]t t t t tE y a a y E ε σ+ +− − = = 。 若序列{ }tε 的方差不定，就可以用 ARMA 模型来估计方差持续变动的趋势。例如，若 用{ }tˆε 表示模型 0 1 1t t ty a a y ε−= + + 的残差估计值，那么 1ty + 的条件方差为： 2 2 1 1 0 1 1var( ) [( ) ] ( )t t t t t t ty y E y a a y E ε+ + += − − = （6.4） 现在假设条件方差不定，一个简单的处理方法就是用残差估计值的平方将条件方差建模 为 AR(q)过程为： 2 tˆε 20 1 1tˆa a ε −= + 22 2tˆa ε −+ 2ˆq t q ta vε −+ + +" （6.5） 其中， tv 为白噪声过程。 如果 1a 、 2a 、 qa 都等于零，说明残差项的条件方差不存在自相关，则方差估计值就等 于常数 0a ，即 2 0var( )t aε σ= = ，从而得到误差的条件方差同方差的情形。否则， ty 的条 件方差会依照公式（6.5）所示的自回归过程而变化。同样，我们可以用公式（6.5）把 1t + 期的条件方差预测为： 2 1tˆEε + 20 1 tˆa a ε= + 22 1tˆa ε −+ 2 1ˆq t qa ε + −+ +" （6.6） 因此，类似于式（6.5）的式被称为自回归条件异常差（ARCH）模型。因为公式（3.1） 中的残差可用来自一个自回归、一个 ARMA 模型，或者一个标准回归模型。 实际上，公式（6.5）的线性表达式并非最简洁的，因为{ }ty 的模型和条件方差可以采 用最大似然法一起估计出来。 其中，Engle(1982)提出的乘法条件异方差模型中最简单的一例为 ARCH(1) 模型，即： 2 0 1 1t t tv a aε ε −= + （6.7） 其中， tv 为白噪声过程，满足 2 1vσ = ； tv 和 1tε − 相互独立； 0a 、 1a 为常数，且 0 0a > ， 186 10 1a< < 。可见，ARCH(1)模型就是在时刻 t 的 tε 的条件方差 2tσ 依赖于时刻 t -1 的残差平 方的大小，即依赖于 2 1tε − 。 更一般地，Engle(1982)提出的 ARCH 模型的高阶 ARCH（q）过程为： 2 0 1 q t t i t i i v a aε ε − = = +∑ （6.8） 上式中，从 1tε − 到 t qε − 的所有冲击都对 tε 直接起作用，以至于条件方差就像一个 q 阶自 回归过程。在 ARCH（q）模型中，若 ( 1,2, , )ia i q= " 中至少有一个显著的不为零，则称误 差项存在着 ARCH 效应。 在 ARCH（q）过程中，由于 tε 是随机的， 2tε 不可能为负，所以对于{ }tε 得所有实现 值，要求 2var( )tε σ= 20 1 1ta a ε −= + 22 2ta ε −+ 2q t qa ε −+ +" 为正。为使得协方差平稳。进一步 要求方程： 2 1 21 0 q qa z a z a z− − − − =" （6.9） 的 根 全 部 位 于 单 位 圆 之 外 。 若 ( 1,2, , )ia i q= " 都 非 负 ， 则 式 （ 6.9 ） 等 价 于 1 2 1qa a a+ + + <" 。 可见，Engle(1982)提出 ARCH 模型的核心思想是：残差项 tε 的条件方差依赖于它的前 期值的大小 1tε − 。 三、GRACH 模型 Bollerslev（1986）广义自回归条件异方差（Generalized ARCH ,GARCH）模型。 GARCH类模型最早是Engle（1982）提出的ARCH模型，即自回归条件异方差模型。 设标的资产时间序列为 }{ ty , Engle 年建立了回归模型 ARCH(q)， t t ty xβ ε= + (6.10) 其中，yt 是因变量，xt 是解释变量的向量，β 是未知参数的向量, 假设ε t的在给定 )1( −t 时间内的信息 1−Ω t 满足正态分布，ε t t tN h| ~ ( , )Ω −1 0 ，但其条件方差为： 2 1 0 1 var( ) q t t t i t i i h aε α ε− − = = Ω = +∑ (6.11) 方程（6.11）表示两部分：一个常数项和前q个时刻关于变化量的信息，用前q个时刻的残差 平方表示（ARCH项）。同时，在这个模型中，残差 tε 存在是以 1tε − , 2tε − ,…, t qε − 为条件的 187 异方差。 Bollerslev(1986)扩展了 Engle（1982）的原始模型，引入了一种允许条件方差转化为一 个 ARMA 过程的方法。在此，假定误差过程为： t t tv hε = 其中 2 1vσ = ，且 h ht i t i i t i i p i q = + +− − == ∑∑α α ε β0 2 11 (6.12) 其中， p ≥ 0，q > 0，α0 0> ，α i ≥ 0， βi ≥ 0。 由于{ }tv 是白噪声过程，因此， tε 的条件和无条件均值都等于零。对 tε 取期望，存在： 1/ 2( ) [ ( )] 0t t tE E v hε = = 上式中，由于 tε 的条件方差是由 21( )t tE ε− 给出，因此 tε 的条件方差就是模型（6.12） 中 th 给出的 ARMA 过程。 在 GARCH 模型中，要考虑两个不同的假设：一个是条件均值；一个是条件方差。 标准的 GARCH(1,1)模型为： t t ty xβ ε= + （6.13） 2 1 0 1 1 1var( )t t t t th a hε α ε β− − −= Ω = + + （6.14） 其中，方程（6.13）是均值方程，它是一个带有残差项的外生变量的函数；方程（6.14） 是条件方差方程，它是根据前期信息为基础向前预测方差，因此 th 又称条件方差。同时， 0α 、 1α 和β 是待估参数，可以由历史数据估计出。这个模型的优点在于模型简洁，参数较少， 且对于数据的拟合效果相当好。 从公式（6.14）看，条件方差的结构由三部分组成： （1）常数项： 0α ； （2）用均值方程的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性信息： 2 1tε − （ARCH 项）； （3）上一期的预测方差： 1th − （GARCH 项）。 GARCH(1,1)模型中的（1，1）是指阶数为 1 的自回归项。普通的 ARCH 模型是 GARCH 模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说明，也就是一个GARCH(0,1) 模型。 进一步扩展，可以得到高阶 GARCH（p,q）模型。高阶 GARCH 模型可以包含多个 ARCH 项和 GARCH 项，它的条件方差表示为： 188 2 1 0 1 1 var( ) q p t t t i t i j t j i j h a hε α ε β− − − = = = Ω = + +∑ ∑ （6.15） 其中，参数q是ARCH项的阶数，p是自回归GARCH项的阶数， 0 0a > ， 0ia ≥ ， 0jβ ≥ 。 [实证案例 6-1]上证指数的 GARCH（1，1）模型 为说明GARCH（1，1）模型，在此我们以上证指数为例，时间区间为1990年12月19 日至2006年8月31日，共3855个观测数据。其中，图6-3、图6-4为上证指数收益率序列和残 差序列波动图，表6-1是该指数的GARCH（1，1）检验结果。 -.2 .0 .2 .4 .6 .8 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 RETURN 图6-3 上证指数收益率波动序列 -.2 .0 .2 .4 .6 .8 -.2 .0 .2 .4 .6 .8 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Residual Actual Fitted 图6-4： 上证指数收益率的残差序列 表6-1： 上证指数的GARCH（1，1）检验结果 189 Dependent Variable: RETURN Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 11/17/06 Time: 13:29 Sample: 1 3855 Included observations: 3855 GARCH = C(1) + C(2)*RESID(-1)^2 + C(3)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. Variance Equation C 6.95E-06 4.15E-07 16.76943 0.0000 RESID(-1)^2 0.347209 0.004992 69.54689 0.0000 GARCH(-1) 0.754265 0.003213 234.7292 0.0000 R-squared -0.000742 Mean dependent var 0.000729 Adjusted R-squared -0.001262 S.D. dependent var 0.026752 S.E. of regression 0.026768 Akaike info criterion -5.135317 Sum squared resid 2.760139 Schwarz criterion -5.130447 Log likelihood 9901.323 Durbin-Watson stat 1.886620 从检验结果看，Eviews 软件提供了 GARCH（1，1）的三个组成部分： （1）常数项：C（1） （2）用均值方程的残差平方的滞后项来度量从前期得到的波动率的信息：RESID(-1)^2， 即 ARCH 项。 （3）上一期的预测方差：GARCH(-1)，即 GARCH 项。 四、GACRCH—M 模型 除了刻画残差项 tε 的方差方程之外，还可以将残差项的条件方差特征作为影响序列 { }ty 本身的解释变量之一，引入序列的{ }ty 的均值方差，并利用条件方差预测风险，我们 将这类模型称为 ARCH 均值（GARCH-in-mean)模型，即 GARCH-M 模型。 GARCH-M 模型最先是 Engle 等人在 1987 年引入的，以此模型来描述风险溢价随时间 的变化。例如，在解释股票或债券等金融资产的收益时，由于金融资产的收益应当与其风险 成正比，如果利用随机误差项的条件方差来反映风险的大小，则模型可以表示成为 GARCH-M 的形式。 GARCH-M(1,1)模型如下： t t t ty h xλ β ε= + + 2 0 1 1 1 1t t th h aα λ ε− −= + + （6.16） 当风险（波动性）增加时，收益水平增加，方程中对应的条件方差的系数λ >0；当风 190 险增加时，收益水平减少时，对应的条件方差系数λ <0。 GARCH-M 模型有两种变形，即将条件方差转变为条件标准差或对数形式： （1）用条件标准差替代条件方差； （2）将条件方差转变为对数形式。 在 Eviews 中，提供这两种变形的 GARCH-M 估计（见图 6-12 中的 GARCH-M 对话窗 口）。 第二节 GARCH 类模型的检验与估计 一、ARCH 效应检验 检验一个模型是否存在一个 ARCH 效应，通常有两种方法：ARCH LM 检验和残差平 方相关图检验。 1、ARCH_LM 检验 1982 年，Engle 提出检验残差序列是否存在 ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即 ARCH LM 检验。 ARCH LM 检验统计量是一个辅助检验统计量，即 ARCH 效应是通过一个辅助的回归 检验计算出来的。为检验原假设 0H ：残差序列中直到 q 阶不存在 ARCH 效应，即 1β = 2β = ┅= qβ =0。 为此，我们需要进行如下检验： 2 2 0 1 q t s t s t s σ β β σ ε− = = + +∑ （6.17） 从检验结果，我们会得到两个统计量： （1）F 统计量：对所有残差滞后的联合检验，用于检验所有滞后残差平方项都联合显 著； （2）T×R2 统计量：观测样本个数 T 乘以回归检验的拟合优度 R2。 在原假设下，F 统计量的准确有限分布是未知的，但 LM 检验统计量在一般条件下渐 进地服从 2 ( )qχ 分布。ARCH LM 检验对最小二乘法、非线性最小二乘法都是适用的。 2、残差平方相关图 残差平方相关图显示残差平方 2tˆε 序列任意指定滞后阶数的自相关（AC）和偏自相关 （PAC）系数，并且计算相应滞后阶数的 Ljung-Box Q 统计量。残差平方相关图可用于检验 残差序列中是否存在效应。如果残差序列存在ＡＲＣＨ效应，自相关和偏自相关系数在所有 的滞后阶数都为０，并且Ｑ统计量也不显著；否则，就说明序列中存在ＡＲＣＨ效应。 下面，我们以上证指数（2000.1-2006.8）为例，说明 ARCH 的检验步骤： 首先，进行 OLS 对股票价格指数进行回归。 在处理过程，对原价格序列{ }tindex 进行取自然对数，即{ }ln tindex 。应用ＯＬＳ进 行股票价格指数估计的方程为： ln ln ( 1) tindex indexα ε= − +i 191 检验结果如下： Dependent Variable: LNINDEX Method: Least Squares Date: 11/17/06 Time: 21:29 Sample (adjusted): 2 1601 Included observations: 1600 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LNINDEX(-1) 0.997362 0.001806 552.3553 0.0000 C 0.019474 0.013263 1.468332 0.1422 R-squared 0.994790 Mean dependent var 7.342878 Adjusted R-squared 0.994786 S.D. dependent var 0.188318 S.E. of regression 0.013598 Akaike info criterion -5.756592 Sum squared resid 0.295463 Schwarz criterion -5.749870 Log likelihood 4607.274 F-statistic 305096.3 Durbin-Watson stat 1.936658 Prob(F-statistic) 0.000000 从检验结果看，统计量很显著，拟合程度也很好。但残差存在“集聚性”，这说明误差 项可能存在条件异方差。我们从上证指数回归方程的残差序列和条件方差序列图中，也都能 直观地观测到这一点（见图 6-5、图 6-6）。 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12 250 500 750 1000 1250 1500 图 6-5：指数回归方程的残差序列 192 .0000 .0002 .0004 .0006 .0008 .0010 .0012 .0014 250 500 750 1000 1250 1500 图 6-6：上证指数的条件方差波动图 第二步，检验 ARCH 效应。 在此，先应用 ARCH LM 方法进行检验。在 Eviews 软件中，打开“Residual Tests”-“ARCH LM Test…”菜单，选择滞后 1 阶的 ARCH LM 检验结果见下表。由于 p 值为 0.000006，拒绝 原假设，说明 OLS 方程的残差序列存在 ARCH 效应。 ARCH Test: F统计量 6.438324 Probability 0.000006 T×R2统计量 31.67154 Probability 0.000007 当然，除了利用 ARCH LM 方法进行 ARCH 效应检验外，我们还可以利用残差平方相关 图进行 ARCH 效应检验。从检验结果看，自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数显著不为 零，Q 统计量显著，这说明残差序列存在 ARCH 效应。 第三步：再利用 GARCH（1，1）进行重新估计。 GARCH 估计结果如下： 193 Dependent Variable: LNINDEX Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 11/17/06 Time: 22:03 Sample (adjusted): 2 1601 Included observations: 1600 after adjustments Convergence achieved after 19 iterations Variance backcast: ON GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. LNINDEX(-1) 0.998453 0.001256 795.0037 0.0000 C 0.011515 0.009214 1.249640 0.2114 Variance Equation C 5.94E-06 9.59E-07 6.186881 0.0000 RESID(-1)^2 0.103730 0.009574 10.83405 0.0000 GARCH(-1) 0.867715 0.009892 87.71775 0.0000 R-squared 0.994788 Mean dependent var 7.342878 Adjusted R-squared 0.994775 S.D. dependent var 0.188318 S.E1. of regression 0.013612 Akaike info criterion -5.885764 Sum squared resid 0.295536 Schwarz criterion -5.868959 Log likelihood 4713.611 F-statistic 76112.03 Durbin-Watson stat 1.938301 Prob(F-statistic) 0.000000 选择 ARCH LM Test…，得到相应的 ARCH LM 检验结果。该检验结果无法拒绝原假设， 说明并不存在 ARCH 效应。GARCH(1,1)能够消除残差序列的条件异方差。 ARCH Test: F统计量 0.633293 Probability 0.426268 T×R2统计量 0.633835 Probability 0.425952 同时，残差平方相关图的检验结果也验证了这一点。自相关和偏自相关系数近似为０， Ｑ统计量也变得不显著，这一结果表明残差序列已经不存在 ARCH 效应。 194 二、使用 Eviews 软件进行 GARCH 估计 由于 ARCH 类模型是非线性的，不能应用 OLS 进行估计。原因在于 OLS 可使得残差 平方和（RSS）最小化，而 RSS 仅取决于条件均值方程的参数，而不是条件方差。 为估计 GARCH 类模型，为此应用极大似然法（maximum likelihood）的技术方法。极 大似然估计法是一种估计回归参数的常用方法，它既可以用来估计线性模型，又可以用来估 计非线性模型。从本质上而言，这种方法是通过在给定的实际数据中寻找最有可能的参数值 进行的，更确切地说，要形成一个对数似然方程和寻找最大化的参数值，对线性和非线性模 型运用极大似然估计来寻找参数。 下面，我们 Eviews 软件，对上证指数收益率进行 GRACH 建模。时间区间为 2000 年 1 月４日至 2006 年 8 月３１日。 应用 Eviews 软件，在 Equation Specification 窗口中选择“Method-ARCH”，可得到如图 6-7 所示的对话窗。 , 图 6-7：Equation Specification 窗口 应用 Eviews 软件估计 GARCH-M 模型，GARCH-M(1,1)估计结果如下：： Dependent Variable: RETURN Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 11/17/06 Time: 19:46 Sample: 1 1602 Included observations: 1602 Convergence achieved after 26 iterations Variance backcast: OFF GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1) 195 Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. @SQRT(GARCH) 0.205286 0.096146 2.135141 0.0327 C -0.002291 0.001123 -2.040703 0.0413 Variance Equation C 6.76E-06 1.20E-06 5.653637 0.0000 RESID(-1)^2 0.118234 0.012528 9.437537 0.0000 GARCH(-1) 0.852146 0.014011 60.81819 0.0000 R-squared 0.003684 Mean dependent var 0.000121 Adjusted R-squared 0.001188 S.D. dependent var 0.013613 S.E. of regression 0.013605 Akaike info criterion -5.880556 Sum squared resid 0.295588 Schwarz criterion -5.863768 Log likelihood 4715.326 F-statistic 1.476166 Durbin-Watson stat 1.950159 Prob(F-statistic) 0.206938 从 GARCH（1，1）检验结果看，估计结果的所有系数都很显著，估计系数之和小于 1，满足平稳性条件。均值方程的系数为 0.2052，说明收益有正的风险溢价，表明市场中的 风险增加 1 个点时，导致收益也相应增加 0.2052 个百分点。 三、使用 SAS 软件进行 GARCH 估计 选择 1990 年 12 月 19 日到 2006 年 8 月 31 日上证指数，共 3856 个交易日，在此，应 用 SAS 软件对上证指数日收益率进行 GARCH 估计。以下分别是 SAS 的 GARCH 估计程序 和估计结果： SAS 的 GARCH 程序如下： data szindex; set szindex; rename VAR1=name VAR2=code VAR3=date VAR4=openprice VAR5=highprice VAR6=lowprice VAR7=closeprice; run; /*日收益率计算*/ data r_day (keep=date closeprice r_pct r_log label="日收益率"); set szindex; r_log=log(closeprice)-log(lag(closeprice)); /*计算对数收益率*/ run; proc sort data=r_day; by date; run; 196 /*garch model*1990-2006*/ data GARCH;set R_day; proc autoreg data=r_day; model r_log= /nlag=1 garch=(q=1,p=1,tr); output out=out cev=cev; run; goptions reset=all; symbol i=join; proc gplot data=out; plot cev*date ; symbol v=none i=join r=1 c=red; run; 从 1990-1996 年上证指数波动率的估计看，在 1996 年之前，我国股票市场的波动率较 大；2002 年之后，上证指数波动率显著降低（见图 6-）。 cev 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 date 1990-01-01 1992-01-01 1994-01-01 1996-01-01 1998-01-01 2000-01-01 2002-01-01 2004-01-01 2006-01-01 2008-01-01 图 6-8：上证指数的 GARCH（1，1）估计结果 第三节 GRACH 类模型的扩展 自从 GARCH 模型提出以来，就出现了非常多的模型加以扩展和变化。这些扩展模型 大多数是对 GARCH 有关条件的改变，从而产生了不同的条件异方差的表达方式，因而产生 了不同的 GARCH 类扩展模型。在此，我们仅对几种常用的扩展模型进行介绍。 一、非对称 GARCH 模型 GARCH 模型的一个主要约束是它们对正的或负的冲击做出对称反应。然而，对于金融 时间序列而言，负的冲击往往比相同程度的正的冲击引起更大的波动。这种非对称性，是受 197 到杠杆效应（leverage effects）的影响。因为较低的股价减少了股东权益，从而引起公司债 务对股权比率的上升，这会导致承受公司剩余风险的公司股东觉察到它们未来的现金流具有 更大的风险。为解释这一现象，Engle 和 Ng(1993)绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线， 认为资本市场的冲击是一种非对称性冲击。② 在此，我们重点介绍两种非对称 GARCH 模型：TGARCH 和ＥGARCH 模型。 1、TGARCH TARCH 或者门限（Threshold）ARCH 模型由 Zakoian(1990)③和 Glosten，Jafanathan， Runkle(1993)独立的引入，因此又称为 GJR 模型。作为 GARCH 模型的简单扩展，TGARCH 模型加入了解释可能的非对称性的附加项。 TGARCH 的方差方程为： 2 2 1 1 1 q p t i t i j t j t t i j h h Dβ φ ε ϕ ω ε− − − = = = + + +∑ ∑ （6.18） 其中， tD 表示绝对残差变化方向的哑变量，当 1 0tε − < 时， 1tD = ；否则， 0tD = 。 在模型中，好消息 ( )1 0tε − > 和坏消息 ( )1 0tε − < 对条件方差有不同的影响：好消息有一个 iφ∑ 的冲击；坏消息有一个 iφ∑ +ω 的冲击。如果 0ω > ，我们说存在杠杆效应；如果 0ω ≠ ，则信息是非对称的。 下面，我们应用 2000 年 1 月至 2006 年 8 月的上证指数数据，估计 TARCH 的冲击效 果。估计结果如下： Dependent Variable: RETURN Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 11/17/06 Time: 16:17 Sample (adjusted): 2 1602 Included observations: 1601 after adjustments Convergence achieved after 20 iterations Variance backcast: ON GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) + C(5)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. RETURN(-1) 0.027323 0.026835 1.018186 0.3086 Variance Equation ②Robert F.Engle,and Victor K.Ng,1993,Measuring and Testing the Impact of News on Volatility. The Journal of Finance,48,pp1749-1778. ③ 198 C 4.92E-06 7.76E-07 6.339122 0.0000 RESID(-1)^2 0.058743 0.009963 5.896295 0.0000 RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) 0.069496 0.013369 5.198196 0.0000 GARCH(-1) 0.883355 0.009145 96.58990 0.0000 R-squared 0.000755 Mean dependent var 0.000103 Adjusted R-squared -0.001749 S.D. dependent var 0.013598 S.E. of regression 0.013610 Akaike info criterion -5.891602 Sum squared resid 0.295640 Schwarz criterion -5.874805 Log likelihood 4721.228 Durbin-Watson stat 1.997147 相应的方差方程为： 2 21 1 14.92E-06 0.0587 0.0695 0.8834t t t th hε ε− − −= + + + （6.20） [7.76E-07] [0.0099] [0.0134] [0.009] （6.34） （5.90） （5.19） （96.59） 利好消息冲击， 0ε > ，0.0587 利空信息冲击， 0ε < ，0.0587+0.0695=0.1282 根据 TGARCH 的估计结果，可以绘制出相应的信息冲击曲线（见图 6-9）。信息冲击 小于 0 时，冲击曲线比较陡峭；相反，信息冲击大于 0 时，冲击曲线比较平坦。 图 6-9：非对称信息冲击 [实证案例 6-2]应用 TGARCH 模型对中国上海与英国伦敦期货市场的杠杆效应进行检验 高辉（2005）应用 TGARCH 模型对中国上海与英国伦敦期货市场的杠杆效应进行估 计，估计区间为 1998 年 2 月 4 日至 2004 年 12 月 31 日。 两市铜期货市场的 TARCH 模型估计结果为（括号中为 Z 统计量值）： 波动性 信息 0 199 2 2 2 2 1 1 1 1t 1 1 1 2.22E-06 0.022911Dt i t i j t j t l i j h hφ ε ϕ ε− − − = = = + + −∑ ∑ （6.21） （-0.637932） 2 2 2 2 2 2 2 2t 2 1 1 1.78E-06 0.02681Dt i t i j t j t l i j h hφ ε ϕ ε− − − = = = + + −∑ ∑ （6.22） （-0.936440） 两市铝期货市场的 TARCH 模型估计结果为： 2 2 2 2 1 1 1 1t 1 1 1 6.77E-07 0.05775Dt i t i j t j t l i j h hφ ε ϕ ε− − − = = = + + −∑ ∑ （6.23） （-0.971599） 2 2 2 2 2 2 2 2t 2 1 1 4.89E-06 0.015524Dt i t i j t j t l i j h hφ ε ϕ ε− − − = = = + + −∑ ∑ （6.24） （-1.411095） 从上述估计结果中可以看出，哑变量前的系数均为负值，但是均不够显著，说明两市存 在的“杠杆效应”均不显著，市场利好消息的影响不能明显强于利空消息的影响。这是中国上 海期货交易所金属期货市场的波动性的重要特征。由于对于金属铜来说，两市的影响因素的 来源相似，因此，两市波动性的非对称性程度基本一致（由哑变量的系数大小可以看出）， 表示两市的投资者在对待消息面的冲击的反应上具有基本相同的应变态度，但是对于金属铝 来说，两市的影响因素存在一定的差异，两市波动性的非对称性程度存在一定的差异。以下 作出铜、铝期货市场的消息曲线。 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 -2 -1 0 1 2 3 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 图 6-10 上海铜期货市场消息影响曲线 图 6-11 伦敦铜期货市场消息影响曲线 200 .00 .04 .08 .12 .16 .20 .24 .00 .04 .08 .12 .16 .20 .24 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 图 6-12 上海铝期货市场消息影响曲线 图 6-13 伦敦铝期货市场消息影响曲线 上图给出了两市的消息影响曲线，从图中可以看到市场消息对波动性的非对称性影 响，比如，在上海铜期货市场，当利好消息 1ε ＝0.8 和利空消息 1ε ＝-0.8 时，对应的市场波 动性（条件方差）分别为 0.6 和 1.3；上海铝期货市场，当利好消息 1ε ＝0.8 和利空消息 1ε ＝ -0.8 时，对应的市场波动性分别为 0.09 和 0.18。而在伦敦期铜市场，当利好消息 1ε ＝0.8 和 利空消息 1ε ＝-0.8 时，对应的市场波动性分别为-0.