nullnull 所围成的曲边梯形的面积 A 须经过以下四个步骤：
（2）近似代替： （4）取极限： （3）求和： 定积分的元素法3-5 定积分的若干应用null（2）A对于区间[a,b]具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于
所有小曲边梯形面积的和。在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：（1）A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量；null求A的积分表达式的步骤可简化如下： （1）确定积分变量x及积分区间[a，b]；null具体步骤是：
那么这个量就可以用积分来表示。（1）根据具体问题，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定 它的变化区间[a,b]；这种方法叫做 定积分的元素法.一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量；（2）U对于区间[a，b]具有可加性；null1.平面曲线的弧长当折线段的最大边长 →0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即并称此曲线弧为可求长的.定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称null(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长积分区间为null(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(3) 曲线弧由极坐标方程给出:null 平面极坐标系：或直角坐标系圆的方程：极坐标系圆的方程：直角坐标与极坐标的关系:null(3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)null例1 计算旋轮线一拱的弧长 .解null解上半椭圆周的方程为弧微分为则null椭圆积分.它无论在应用上还是在数学基础理论研究中，椭圆积分都有重
要价值.null 旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2. 旋转体的体积null积分区间为nullnull解分别绕y轴旋转所形成的旋转体体积之差.nullnull 补例 计算下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：解null解null 3. 旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .积分区间为[a,b],则侧面积元素为：null侧面积元素的线性主部 .若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S 的 注意:侧面积为nullnull例4 计算圆周x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解 对曲线弧应用公式得当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式null４. 曲线弧的质心与转动惯量nullnull因此，整个弧对x 轴与y轴的转动惯量分别是null5.平面图形的面积平面直角坐标下图形的面积(1)由曲线与直线及 x 轴所围曲边梯形面积为 A . 其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素,它表示高为f(x)、底为dx的一个矩形面积.null(3)求下列曲线所围成的面积null例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解: 由得交点null例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有null 平面极坐标系：极坐标与直角坐标的关系：或直角坐标系圆的方程：极坐标系圆的方程：null曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式 平面极坐标下图形的面积null例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解:(利用对称性)null 变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为null补例1体, 求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 null补例2为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为( KJ )设水的密度为(KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为null面积为 A 的平板 液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为••null小窄条上各点的压强补例3 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 null说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数null习题3-5 1,3,6,89,11,15,16,19,22,28,32.第三章总
练习题
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3,5,(提示:令x+ht=u；应用积分中值定理）,7,8.(2),(4),10,13,20,21,23.27.
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