第一章复变函数与解析函数

第一章复变函数与解析函数¤ 第一章复变函数与解析函数¤ 目录 x1 复数3 一复数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 二复数的四则运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 三复数的各种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 四乘方与开方. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 五三角不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 六复球面与无穷远点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 x2 复变函数6 一复平面上的点集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 二复变函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 三复变函数的极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 四复变函数的连续性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 x3 解析函数8 一复变函数的导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 二解析函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 三奇点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 四求导法则. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 五Cauchy{Riemann 条件（CR 条件） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 六*极坐标下的CR 条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 x4 初等单值函数12 一常数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 二幂函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ¤ c° 1992{2004 林琼桂 本讲义是中山大学物理系学生学习“ 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 物理 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ”课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人 复制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售． 1 目录2 三多项式和有理分式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 四指数函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 五三角函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 六双曲函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 x5 初等多值函数14 一根式函数的支点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 二割线与单值分支. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 三Riemann 面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 四对数函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 五*多值函数函数值的确定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 六多值函数的解析性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 七对数函数的导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 八*一般幂函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 x6 解析函数的物理意义18 一调和函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 二解析函数与调和函数的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 三正交曲线族. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 x1 复数3 x1 复数 一复数的定义 形如 z = x + iy; x 2 R; y 2 R (1) 的数称为复数（complex number），其中R 表示实数的集合，i = p¡1（或i2 = ¡1）．x、y 分别称为z 的实部和虚部，记作 x = Re z; y = Im z: (2) 复数 z¤ = x ¡ iy (3) 称为z 的共轭（conjugate）复数，亦记作¹z． 二复数的四则运算 设z1 = x1 + iy1，z2 = x2 + iy2，复数的四则运算规则如下： z1 § z2 = (x1 § x2) + i(y1 § y2); (4a) z1z2 = (x1x2 ¡ y1y2) + i(x1y2 + x2y1); (4b) z1 z2 = x1x2 + y1y2 x2 2 + y2 2 + i x2y1 ¡ x1y2 x2 2 + y2 2 : (4c) 上式的结果可以从两个角度来理解： (1) 利用实数的四则运算规则和i2 = ¡1 即可得到这些结果． (2) 将以上结果当作运算的定义，则可以验证在这样的定义下，实数的四则运算规则如 交换律、结合律、分配律等均对复数成立，且i2 = ¡1．这正是我们所期望的，因为复数包含 了实数作为特殊情况，它的运算规则当然要与后者的运算规则相容． 注由上面的加法规则可见复数的加法和矢量的加法是一致的． 三复数的各种表示法 1. 代数表示．即上面式(1)． 2. 几何表示．如图1 所示，几何表示实际上有两种．其一是用xy 平面上的点P 来表 示复数z，P 的横坐标为x = Re z，纵坐标为y = Im z，这样复数与平面上的点是一一对 应的；其二是用矢量¡O!P 来表示复数z，该矢量在x 轴上的投影为x = Re z，在y 轴上的 投影为y = Im z，这样复数与平面上的矢量也是一一对应的．需要注意的是，起点不同，但 方向和长度相同的矢量是等价的，所以图1 上的矢量¡A!B 与矢量¡O!P 表示同一复数． x1 复数4 P O x y r A B 图1: 复数的几何表示 3. 三角表示．利用点P 的极坐标(r; µ)，以及关系x = r cos µ，y = r sin µ，可将式(1) 改写为 z = r cos µ + ir sin µ = r(cos µ + i sin µ); (5) 这就是三角表示． 4. 指数表示．定义 eiµ = cos µ + i sin µ; (6) 则式(5) 又可以写作 z = reiµ: (7) 这就是指数表示，其中r 称为复数z 的模（module），µ 称为辐角（argument），记作 r = jzj; µ = Arg z: (8) 应当指出，式(6) 只是一个定义或记号，因此，可以说式(7) 与式(5) 是一回事．但是，引 进这个记号是有意义的，因为根据定义，马上可以得到 eiµ1eiµ2 = (cos µ1 + i sin µ1)(cos µ2 + i sin µ2) = cos(µ1 + µ2) + i sin(µ1 + µ2) = ei(µ1+µ2): (9) 换句话说，宗量（argument，一个函数的自变量可以是一个复杂的对象，这时通常称为宗量） 为纯虚数的指数函数与实变的指数函数具有同样的运算性质．这样，我们就有以下的推论： 若µ 是z 的辐角，则µ + 2n¼ 亦是其辐角，其中n 2 Z，Z 是整数的集合．若限制 0 · µ < 2¼ 或¡¼ · µ < ¼，所得的单值分支称为主值分支，记作arg z． 在指数表示下，乘法和除法变得非常简单： z1z2 = r1eiµ1r2eiµ2 = r1r2ei(µ1+µ2); z1 z2 = r1eiµ1 r2eiµ2 = r1eiµ1e¡iµ2 r2eiµ2e¡iµ2 = r1 r2 ei(µ1¡µ2): x1 复数5 四乘方与开方 乘方就是一个复数与自身相乘若干次： zn = (reiµ)n = rneinµ; n 2 N: (10) 开方运算的结果是多值的，设z ¡ a = ½eiÁ，则 npz ¡ a = np½eiÁ = np½ei(Á+2k¼) = np½ei(Á+2k¼)=n; k = 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; n ¡ 1: (11) 这里需要注意两点：第一，当k 取其它整数时，所得结果与以上重复，比如k = n 的结果与 k = 0 一致，故一共有n 个不同的根；第二，根式函数的多值性源于宗量（此处为z ¡a）的 辐角多值性，而非自变量（此处即z）的辐角多值性． 五三角不等式 三角不等式有两条： jz1 + z2j · jz1j + jz2j; (12a) jz1 ¡ z2j ¸ jjz1j ¡ jz2jj: (12b) 由于复数的加法和矢量的加法一样，所以上面两式实际上就是关于三角形边长的不等式． 第一式的证明如下： jz1 + z2j2 = (¹z1 + ¹z2)(z1 + z2) = jz1j2 + jz2j2 + ¹z1z2 + z1¹z2 = jz1j2 + jz2j2 + 2Re(¹z1z2); 由于Re(¹z1z2) · j¹z1z2j = jz1z2j，故 jz1 + z2j2 · jz1j2 + jz2j2 + 2jz1z2j = (jz1j + jz2j)2: 开方即得第一式，易见其中等号成立的充要条件是Re(¹z1z2) = jz1z2j，也就是r1r2 cos(µ2 ¡ µ1) = r1r2．由此可见，等号成立的充要条件是两个复数中有一个为0，或两者方向相同．在 几何上，这一结论是非常直观的． 第二式等价于 ¡jz1 ¡ z2j · jz1j ¡ jz2j · jz1 ¡ z2j: 利用第一式，有jz1j = j(z1 ¡z2)+z2)j · jz1 ¡z2j+jz2j，也就是jz1j¡jz2j · jz1 ¡z2j，同理 有jz2j ¡ jz1j · jz2 ¡ z1j 或jz1j ¡ jz2j ¸ ¡jz1 ¡ z2j，合起来即得上式． 六复球面与无穷远点 作球面与复平面相切于原点O，过O 作直线OZ 垂直于复平面，与球面交于N，N 即 球的北极． 设z 为任一复数，连结Nz，与复球面交于P，易见z 与P 一一对应，故复数亦可用 球面上的点P 表示．该球面称为复球面． x2 复变函数6 X Y Z O N P P’ z z’ 图2: 复球面 由图2 可见，当z ! 1（沿Oz 方向）时，P ! N，当z0 ! 1（沿Oz0 方向）时，亦 有P0 ! N．因此，作为N 的对应点，我们把复平面上的无穷远点当作一点，记作1．包 括1 的复平面称为扩充复平面． 注1° 将无穷远点当作一点是一种规定；2° 以上复球面的作法不是唯一的，另一种常 见的作法是将球心放在原点O． 习题1 求z = x + iy 所对应的复球面上的点P 的坐标(x1; x2; x3)，设复球面的半径为R． 习题2* （选做）考虑多项式Pn(z) = (z+1)n¡1 的n¡1 个非零根的乘积，证明Qn¡1 k=1 sin(k¼=n) = n=2n¡1． x2 复变函数 一复平面上的点集 由于复变函数总是定义在点集上，所以下面介绍关于点集的几个基本概念． 1. 邻域（neighborhood）：由不等式jz ¡ z0j < " 所确定的点集，称为z0 的" 邻域，记 作N(z0; ")，即以z0 为中心，" 为半径的开圆（不包含圆周）． 注1° 易见这一定义是一维空间（实轴）的邻域概念的推广，后者是一个开区间．2° 我 们当然也可以等价地将邻域定义为以z0 为中心的某一正方形的内部，不过以上的定义是方 便的．3° 在以上的定义中并没有对" 的大小作任何规定，因此，邻域可以很大． 2. 内点（inner point）：设E 为点集，z0 2 E，若存在" > 0，使N(z0; ") ½ E，则z0 称为E 的内点． 粗略地说，内点就是该点及其周围全属于点集，所以这一定义是相当直观的．易见一个 邻域内的任意点均为内点． 3. 开集（open set）：若点集E 的点皆为内点，则称E 为开集． 显然，邻域就是开集． 4. 边界点（boundary point）：若点z0 的任一邻域内既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则z0 称为E 的边界点． x2 复变函数7 边界（boundary）：E 的全部边界点所组成的点集称为E 的边界，记作@E． 注1° 边界点z0 本身可以不属于E．2° 如果一点集由有限个点组成，或由一弧段组 成，则所有的点均为边界点．3° 开圆或闭圆的边界都是圆周．4° 若点集E 是由开圆（或闭 圆）内去掉若干点后所余部分构成，则去掉的点均为边界点． 5. 区域（region）：非空点集D 若满足以下两个条件，则称为区域：一、D 是开集；二、 D 是连通的，即D 中的任意两点均可用全属于D 的折线连接． 注1° 区域是一种特殊的点集，是复变函数论中最重要的几何概念．2° 显然，邻域或 开圆就是区域．3° 两个不相交的开圆的并集仍是开集，但不是区域，哪怕两个圆的圆周相 切． 6. 闭域（closed region）：区域D 加上其边界@D 称为闭域，记作¹D ：¹D = D + @D． 注1° 区域都是开的，不包括边界．2° 以后我们提到圆或环时总不包括边界，若包括 边界，则称为闭圆或闭环． 7. 单通与复通区域：在区域D 内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D，则D 称为 单通（simply connected）区域，否则称为复通（multiply connected）区域． 注圆是单通的，而环是复通的． 二复变函数 复变函数（function of a complex variable）就是以复数为自变量的函数，其函数值通常 也是复数．当然，它不必在整个复平面上有定义．严格的定义如下： 设E 是复平面上的点集，8 z 2 E，若按规则f 有唯一的复数w 与之对应，则称在点集 E 上确定了单值函数w = f(z)，若对z 2 E 有多个（可以无穷多）复数w 与之对应，则称 在点集E 上确定了多值函数w = f(z)．E 称为函数w = f(z) 的定义域，F = ff(z)jz 2 Eg 称为其值域． 记z = x + iy，w = u + iv，则 w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y): (13) 所以一个复变函数等价于两个二元实变函数，它给出了z 平面到w 平面的映射（map）或 变换（transform）． 三复变函数的极限 复变函数w = f(z) 定义在点集E 上，z0 是E 的聚点（若在z0 的任意小的邻域内均 有属于E 而异于z0 的点，则z0 称为E 的聚点，它本身可以不属于E．内点就是典型的聚 点），如果8 " > 0，都存在± > 0，使得当0 < jz ¡ z0j < ± 时，有jf(z) ¡ w0j < "，则称w0 为f(z) 当z ! z0 时的极限，记作 lim z!z0 f(z) = w0: 注1° 在复平面上，z ! z0 的方式有无穷多种，而在实轴上，x ! x0 的方式只有两 种，即x ! x+ 0 和x ! x¡0 ．2° 以上要求jf(z)¡w0j < " 成立的范围是0 < jz ¡z0j < ±，而 x3 解析函数8 不是jz ¡z0j < ±，这对于函数的要求是较弱而非较强，因为这允许f(z0) 与w0 相差甚大， 甚至允许f(z) 在z0 没有定义（因为z0 可以不在定义域E 内）． 四复变函数的连续性 复变函数w = f(z) 定义在点集E 上，z0 2 E 是聚点，如果 lim z!z0 f(z) = f(z0); 则称f(z) 在z0 处连续． 注1° 易见连续就是不仅要有极限，而且该极限要等于该点处的函数值．2° 显然，f(z) 在z0 = x0 + iy0 处连续的充要条件是u(x; y) 和v(x; y) 在(x0; y0) 处连续． 若f(z) 在点集E 上的各点连续，则称f(z) 在点集E 上连续． x3 解析函数 解析函数是复变函数中最重要的一类，它的特点是可导或可微．为了研究解析函数，需 要先定义复变函数的导数．今后我们研究的复变函数都定义在区域上． 一复变函数的导数 复变函数w = f(z) 定义在区域D 上，z0 2 D，如果极限 lim ¢z!0 ¢w ¢z = lim ¢z!0 f(z0 + ¢z) ¡ f(z0) ¢z ; 存在且有限，则称w = f(z) 在z0 处可导或可微（di®erentiable），且该极限称为w = f(z) 在z0 处的导数（derivative）或微商，记作 f0(z0) = dw dz¯¯¯¯z=z0 = df dz¯¯¯¯z=z0 = lim ¢z!0 ¢w ¢z = lim ¢z!0 f(z0 + ¢z) ¡ f(z0) ¢z : (14) 例1 f(z) = zn，n 2 N，N 表示自然数的集合． f(z + ¢z) ¡ f(z) ¢z = (z + ¢z)n ¡ zn ¢z = nzn¡1¢z + o(¢z) ¢z = nzn¡1 + o(¢z) ¢z ; ) f0(z) = lim ¢z!0 f(z + ¢z) ¡ f(z) ¢z = nzn¡1: 可见函数f(z) = zn 在z 平面上处处可导． 例2 函数f(z) = ¹z 显然处处连续，但处处不可导，因为¢f=¢z = ¢z=¢z 的极限不 存在（只要看看¢z = ¢x 和¢z = i¢y 两种情况下的结果，立得结论）． 若w = f(z) 在z0 处可导，则显然在z0 处连续． x3 解析函数9 二解析函数 若函数f(z) 在区域D 内可导，则称f(z) 是区域D 内的解析函数（analytic function， 亦称全纯函数，holomorphic function），或称f(z) 在区域D 内解析． 例3 f(z) = zn（n 2 N）在整个复平面上解析． 注1° 函数f(z) 在区域D 内解析与可导是一回事．2° 有时候我们说函数f(z) 在点 z0 解析，这指的是f(z) 在z0 的某一邻域内可导，而不仅仅是在z0 可导．所以函数在一点 解析与可导不是一回事．3° 函数f(z) 在闭域¹D 内解析，指的是在某区域D0 内解析，而 D0 ¾ ¹D． 三奇点 若函数f(z) 在某点z0 不解析，但在z0 的任一邻域内都有f(z) 的解析点，则z0 称为 f(z) 的奇点（singular point）． 例4 z = 0 是f(z) = 1=z 的奇点． 注1° 函数f(z) 在某点z0 不解析，可能是在该点没有定义，也可能是有定义但不连 续，也可能是连续但不可导，等等．2° 按上述定义，f(z) 在点z0 不解析，并不说明z0 就是 奇点．比如函数f(z) = ¹z 处处不可导，但所有的点都不是奇点． 四求导法则 1. 若函数f1(z) 和f2(z) 在区域D 内解析，则其和、差、积、商（分母不为零）均在D 内解析，且求导法则与实变函数一致．例如 [f1(z)f2(z)]0 = f01 (z)f2(z) + f1(z)f02(z): 2. 复合函数的求导法则．若函数» = f(z) 在z 平面上的区域D 内解析，函数w = g(») 在» 平面上的区域G 内解析，且F = ff(z)jz 2 Dg ½ G，则复合函数w = g[f(z)] 在D 内 解析，且 dg[f(z)] dz = dg(») d» df(z) dz : 注F ½ G 表示第一个函数的值域不能超出第二个函数的定义域． 例5 多项式Pn(z) = Pn k=0 akzk （n = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ）．由求导法则 P0n (z) = n Xk=0 (akzk)0 = n Xk=0 ak(zk)0 = n Xk=0 kakzk¡1 = n Xk=1 kakzk¡1: 可见Pn(z) 在整个复平面上解析． 五Cauchy{Riemann 条件（CR 条件） 由定义可以看出，复变函数的可微性是一个非常苛刻的要求，因为导数定义中¢z ! 0 的方式是任意的．一般来说，若式(13) 中的u(x; y) 和v(x; y) 相互独立，那么即使u(x; y) 和 v(x; y) 都具有良好的解析性质，f(z) 仍然不一定是可微的．例2 就是典型的例子．因此， 要使f(z) 可微，则u(x; y) 和v(x; y) 之间必须满足一定的关系． x3 解析函数10 事实上，由于 lim ¢z!0 f(z + ¢z) ¡ f(z) ¢z = f0(z) 与¢z ! 0 的方式无关，可先令¢y = 0，¢z = ¢x ! 0，此时上式成为 lim ¢x!0 [u(x + ¢x; y) + iv(x + ¢x; y)] ¡ [u(x; y) + iv(x; y)] ¢x = f0(z); 即 f0(z) = @u @x + i @v @x ; (15a) 然后令¢x = 0，¢z = i¢y ! 0，类似可得 f0(z) = @v @y ¡ i @u @y : (15b) 比较两式，可得 @u @x = @v @y ; @u @y = ¡ @v @x : (16) 这就是u(x; y) 和v(x; y) 之间必须满足的条件，称为Cauchy{Riemann 条件或简称为CR 条件．它是f(z) 在点z 可微的必要条件，但不是充分条件．注意式(15) 同时给出了导数 的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 ，即利用我们熟悉的实变函数的偏导数来计算复变函数的导数．以下定理给出 f(z) 在点z 可微的充要条件． 定理函数f(z) = u(x; y) + iv(x; y) 定义在区域D 内，z 2 D，f(z) 在点z 可微的充 要条件是：(1) 二元函数u(x; y)、v(x; y) 在点(x; y) 可微；(2) u(x; y)、v(x; y) 在点(x; y) 满 足CR 条件． 证明先证必要性．f(z) 在点z 可微，则 f(z + ¢z) ¡ f(z) = f0(z)¢z + ´¢z; 其中lim¢z!0 ´ = 0．记f0(z) = ®(x; y) + i¯(x; y)，则上式成为 ¢u + i¢v = (®¢x ¡ ¯¢y) + i(®¢y + ¯¢x) + ´¢z: 分开实部和虚部，得 ¢u = ®¢x ¡ ¯¢y + Re(´¢z); ¢v = ¯¢x + ®¢y + Im(´¢z): 记½ = p(¢x)2 + (¢y)2 = j¢zj，当¢z ! 0，j´¢z=½j = j´j ! 0，故´¢z=½ ! 0，从而Re(´¢z)=½ ! 0，Im(´¢z)=½ ! 0．这就是说，u(x; y)、v(x; y) 在点(x; y) 可微，并且 @u @x = @v @y = ®; @u @y = ¡ @v @x = ¡¯: (17) 即CR 条件在点(x; y) 成立． 再证充分性．由于CR 条件在点(x; y) 成立，可将@u=@x = @v=@y 记作®，@u=@y = ¡@v=@x 记 作¡¯，即式(17) 成立．又u(x; y)、v(x; y) 在点(x; y) 可微，故 ¢u = ®¢x ¡ ¯¢y + ´1; ¢v = ¯¢x + ®¢y + ´2; x3 解析函数11 其中´1 = o(½)，´2 = o(½)．于是 ¢f ¢z = ¢u + i¢v ¢z = ® + i¯ + ´1 + i´2 ¢z : 当½ ! 0，j´1=¢zj = j´1=½j ! 0，故´1=¢z ! 0，同理，´2=¢z ! 0，所以 lim ¢z!0 ¢f ¢z = ® + i¯: 即f(z) 在点z 可微．证毕． 将上述定理中的点z 和点(x; y) 同时换为区域D，立得另一定理．不过，在实用上，下 面的定理用来判断函数的解析性是最方便的． 定理函数f(z) = u(x; y) + iv(x; y) 在区域D 内解析的充要条件是：(1) 二元函数 u(x; y)、v(x; y) 在D 内具有连续的一阶偏导数；(2) u(x; y)、v(x; y) 在D 内满足CR 条件． 注1° 充分性是很明显的．根据微积分的定理，u(x; y)、v(x; y) 在D 内具有连续的一 阶偏导数，则在D 内可微．又已知两者在D 内满足CR 条件，由上面的定理，则f(z) 在D 内解析．2° 反过来，若f(z) 在D 内解析，则u(x; y)、v(x; y) 在D 内具有一阶偏导数，且满 足CR 条件．至于一阶偏导数连续，目前还未能论证．在下一章，我们将会看到，若f(z) 在 D 内解析（即一阶导数存在），则f(z) 在__________D 内具有任意阶导数，如此，则u(x; y)、v(x; y) 在D 内具有连续的一阶偏导数就不在话下了．但要注意，对于实变函数f(x)，类似的结论 是不可想象的，因为即使f(n)(x) 连续也不能保证f(n+1)(x) 存在． 例6 考虑函数f(z) = jzj2．易知u(x; y) = x2+y2，v(x; y) = 0，各偏导数为：@u=@x = 2x，@u=@y = 2y，@v=@x = 0，@v=@y = 0．可见，所有一阶偏导数连续（则u、v 处处可微）， 但CR 条件只在z = 0 处成立（则f(z) 在z = 0 处可微），故f(z) 处处不解析． 事实上，只要注意到f(z) = ¹zz，又已知¹z 处处不解析，则易得以上结论．如果一个函 数中包含¹z、jzj 等因子，则一般来说都是不解析的． 六*极坐标下的CR 条件 记 w = f(z) = u(r; µ) + iv(r; µ); 则CR 条件表为 @u @r = 1 r @v @µ ; 1 r @u @µ = ¡ @v @r : (18) 注°1 这里z 用的是三角表示，即用极坐标(r; µ) 代替直角坐标(x; y)，但w 用的是代数表示．°2 上 式与式(16) 类似，但多了因子1=r．在数学上，所有的变量都是纯数，没有量纲．但我们不妨认为x、 y、r 等代表长度，具有长度的量纲（这其实更符合客观情况），而µ 是没有量纲的，这样就不会放错1=r 的位置．°3 上式可以利用坐标变换x = r cos µ、y = r sin µ 与式(16) 来证明．也可以直接用导数的定 义来证明，证明时注意z = reiµ，因而¢z = eiµ¢r + ireiµ¢µ，分别令¢µ = 0 和¢r = 0，求出f0(z) 的形式，比较两个结果，即得上式，同时可得 f0(z) = e¡iµ µ@u @r + i@v @r¶: (19) x4 初等单值函数12 习题梁p. 18, 2 (4). （“梁”指“梁昆淼编，刘法、缪国庆修订，数学物理方法（第三版）（高等 教育出版社，北京，1998）”．下同） x4 初等单值函数 初等函数（elementary function）包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数、双曲函数、反双曲函数，以及由这些函数经过有限次的加减乘除和复合所构成 的函数．在复变函数中，三角函数定义为指数函数的线性组合，所以和双曲函数类似，它们 都不是最基本的，但它们很常用，所以下面会详细介绍．以上这些函数包括单值函数（single valued function）和多值函数（multivalued function），本节和下节分别介绍其中较简单的几 种． 一常数 f(z) = c，其中c 2 C，C 表示复数集合．由定义易证f0(z) = 0，故f(z) 在复平面上解 析． 二幂函数 f(z) = zn，其中n 2 N．前面已经证明，f0(z) = nzn¡1，故f(z) 在复平面上解析． 一般的幂函数f(z) = z®（® 2 C）是多值函数，本节暂不考虑． 三多项式和有理分式 多项式（polynomial）是幂函数的线性组合：Pn(z) = Pn k=0 akzk （n = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ），上 节例5 已证明P0n(z) = Pn k=1 kakzk¡1，可见Pn(z) 在整个复平面上解析． 令Qm(z) = Pm l=0 blzl（m = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ），则f(z) = Pn(z)=Qm(z) 称为有理分式（亦称 有理函数，rational function）．除去满足Qm(z) = 0 的点zi（i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m）之外，f(z) 在 复平面上处处解析，zi 是f(z) 的奇点（其中可能有相同的）． 四指数函数 指数函数（exponential function）定义为 ez = exeiy = ex(cos y + i sin y): (20) 注意，其中第一个等号是一般复变量的指数函数的定义（这里首次出现），第二个等号则引用 了前面关于自变量为纯虚数的指数函数的定义．易知u(x; y) = ex cos y，v(x; y) = ex sin y， 故得@u=@x = ex cos y = @v=@y，@u=@y = ¡ex sin y = ¡@v=@x．因此，u(x; y)、v(x; y) 的一 阶偏导数处处连续，CR 条件处处满足，从而ez 在整个复平面上解析，而且按式(15)，有 (ez)0 = ez: (21) 这一结果与实变的指数函数完全一样．指数函数还具有以下性质，它们都可以用定义直接验 证． x4 初等单值函数13 (1) ez1+z2 = ez1ez2． (2) jezj > 0． (3) ez 是周期函数，周期为2¼i．即ez+2¼i = ez． 五三角函数 复变量的三角函数（trigonometric function）是通过指数函数来定义的： cos z = eiz + e¡iz 2 ; sin z = eiz ¡ e¡iz 2i : (22) 由(eiz)0 = ieiz，(e¡iz)0 = ¡ie¡iz，易得 (cos z)0 = ¡sin z; (sin z)0 = cos z: (23) 所以它们在整个复平面上解析．三角函数还具有以下性质： (1) cos(¡z) = cos z; sin(¡z) = ¡sin z． (2) 满足三角恒等式，如 sin2 z + cos2 z = 1; sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2; cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 ¡ sin z1 sin z2: (3) sin z 和cos z 都是周期函数，周期为2¼． (4) j sin zj 和j cos zj 都可以大于1． 以上性质(1)(2)(3) 均可由定义直接验证，这些性质与实变情况一致．值得注意的是性 质(4)，这是与实变情况不同的．实际上，cos(iy) = (ey + e¡y)=2，显然可以大于任意数． 类似于实变函数，还可以定义tan z、cot z 等，这里就不详细讨论了． 注：由定义(22) 可以得到eiz = cos z + i sin z，但不能将该式误解为eiz 的定义． 六双曲函数 复变量的双曲函数（hyperbolic function）也是通过指数函数来定义的： cosh z = ez + e¡z 2 ; sinh z = ez ¡ e¡z 2 : (24) 这称为双曲余弦函数和双曲正弦函数．由指数函数的导数容易证明 (cosh z)0 = sinh z; (sinh z)0 = cosh z: (25) 所以它们在整个复平面上解析．双曲函数具有一系列与三角函数类似的性质．这里就不一一 列举了．由定义容易证明这两类函数之间存在着以下关系 cos(iz) = cosh z; cosh(iz) = cos z; sin(iz) = i sinh z; sinh(iz) = i sin z: (26) x5 初等多值函数14 有了这些关系，我们就可以由三角函数的性质得到双曲函数的类似性质，反之亦然．例如， cosh(z1 + z2) = cos(iz1 + iz2) = cos(iz1) cos(iz2) ¡ sin(iz1) sin(iz2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2: 但我们应该用定义先证明其中的一个，否则就变成循环论证了． 类似于实变函数，还可以定义tanh z、coth z 等，这里就不详细讨论了． 习题梁p. 9, 2 (1) (2) (4) (9). x5 初等多值函数 一根式函数的支点 考虑根式函数 w = pz ¡ a; (27) 不失一般性，设a 为实数，z = reiµ，记z ¡ a = ½eiÁ （其中Á 不必取主值，但需取定一分 支），则 w = p½eiÁ = p½ei(Á+2k¼) = p½ei(Á=2+k¼); 其中k 2 Z，对于每一给定的z，可能导致不同结果的k 值有0 和1 两种，所以有两个函数 值： w1 = p½eiÁ=2; w2 = p½ei(Á=2+¼) = ¡p½eiÁ=2 = ¡w1: (28) 我们在前面已经指出，根式函数的多值性源于宗量z ¡ a 的辐角（即Á）的多值性，而不是 自变量z 的辐角（即µ）的多值性． 如果让z 沿闭曲线C 绕a 点转一周回到z，则z ¡a 的辐角就从Á 变成Á§2¼（其中 + 号对应于逆时针绕行，¡ 号对应于顺时针绕行），函数值也就从w1 变成w2，参看图3． 在这一过程中，z 的辐角可能从µ 变成µ § 2¼（如果曲线C 包围原点，如图3），也可能仍 为µ （如果曲线C 不包围原点）．可见，影响函数值的是Á 的变化而不是µ 的变化．如果 z 绕其它点转一周，而所沿曲线不包围a 点，则z ¡ a 的辐角不变，因而函数值也不变．可 见a 点具有特殊地位，这样的点称为多值函数的支点（branch point）．函数(27) 只有一个 有限支点a． 如果让z 沿大圆jzj = R（所谓大，指的是它包围所有的有限支点，对函数(27) 来说就 是包围了a 点）转一周回到z，则z ¡ a 的辐角也从Á 变成Á § 2¼，函数值也从w1 变成 w2．由于绕大圆一周也可以看作绕1 点一周，所以1 点也是函数(27) 的支点．这样函数 (27) 在扩充复平面上共有两个支点． 如果让z 沿闭曲线绕a 点转两周回到z，则z ¡ a 的辐角就从Á 变成Á § 4¼，这时函 数(27) 的函数值不变，所以a 点称为函数(27) 的一阶支点．易知1 点也是一阶支点． 类似地，函数 w = npz ¡ a (29) x5 初等多值函数15 z plane w plane a z w -w C 图3: 支点 也具有两个支点，即a 和1．当z 沿闭曲线绕a 点转k（k = 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; n ¡ 1）周回到z，函数值就会 发生变化．当z 沿闭曲线绕a 点转n 周回到z，函数值才会复原．所以a 点称为n¡1 阶支点．同理， 1 点也是n ¡ 1 阶支点． 再看看函数 w = p(z ¡ a)(z ¡ b); (30) 令z ¡ a = ½1 exp(iÁ1)，z ¡ b = ½2 exp(iÁ2)，则 w = p½1½2 exp[i(Á1 + Á2) + i2k¼] = p½1½2 exp[i(Á1 + Á2)=2 + ik¼]: 和前面一样，对于给定的自变量z，有两个函数值，即 w1 = p½1½2 exp[i(Á1 + Á2)=2]; w2 = ¡p½1½2 exp[i(Á1 + Á2)=2]; 如所期望． 如果让z 沿闭曲线C 绕a 点转一周回到z，而闭曲线C 不包围b 点，则z ¡a 的辐角就从Á1 变 成Á1 §2¼，而z ¡b 的辐角不变，所以函数值也就从w1 变成w2．如果让z 沿闭曲线（不包围b 点）绕 a 点转两周回到z，则z ¡ a 的辐角就从Á 变成Á § 4¼，而z ¡ b 的辐角不变，这时函数值不变，所以 a 点是函数(30) 的一阶支点．同理b 点也是一阶支点．不难看出，该函数没有其它有限支点，所以它共 有两个有限支点a 和b． 如果让z 沿大圆jzj = R（这里的所谓大，指的是它同时包围了a 点和b 点）转一周回到z，则 z ¡ a 和z ¡ b 的辐角同时增加或减少2¼，因而函数值不变．所以1 点不是函数(30) 的支点． 二割线与单值分支 前面已经指出，根式函数的多值性源于宗量的辐角的多值性，也可以说，是因为自变量 z 可以绕支点转动，导致辐角的变化．如果以某种方式把z 平面割破，使得自变量z 不能绕 支点转动，这等价于对宗量的辐角的取值范围加以限制，则函数值就变成确定的，也就是得 到了一个单值分支．对宗量辐角取值范围加以不同的限制就得到不同的单值分支． x5 初等多值函数16 a x y 图4: 割线与单值分支 以函数(27) 来说，我们可以把割线取为由a 点出发沿x 轴正向至1 点的射线，如图 4．在这样割破的z 平面上，自变量z 再也不能绕支点a 转动，宗量的辐角就被限制在一定 的范围内，因而函数值也被限制在某个单值分支内．如果规定割线上岸的Á = 0，则在整个 割破的z 平面上，0 · Á < 2¼，我们就得到一个单值分支；如果规定割线上岸的Á = 2¼，则 在整个割破的z 平面上，2¼ · Á < 4¼，我们就得到另一个单值分支．实际上，任何由a 点 出发至1 点的射线甚至曲线都可以作为该函数的割线． 对于函数(29)，也可以取图4 的割线．分别取割线上岸的Á 为0; 2¼; ¢ ¢ ¢ ; 2(n ¡ 1)¼，可以得到n 个单值分支．对于函数(30)，割线可以取为a 至b 的线段，分别取割线上岸的Á1 + Á2 为¼ 和3¼，可 以得到两个单值分支． 三Riemann 面 还是以函数(27) 为例，如果规定割线上岸的Á = 0，则在所得的单值分支中，0 · arg w < ¼；如果规定割线上岸的Á = 2¼，则在所得的单值分支中，¼ · arg w < 2¼．可 见，两个分支的函数值合起来充满了整个w 平面，然而，自变量却要用两张z 平面来表示， 这显然是不太令人满意的．实际上，这两张z 平面是有联系的．易知第一张z 平面的下岸 与第二张z 平面的上岸都对应于Á = 2¼，而第二张z 平面的下岸对应于Á = 4¼，对于函 数(27) 来说，这与Á = 0 是等价的，换句话说，第二张z 平面的下岸与第一张z 平面的上 岸是一回事．于是，我们可以把第一张z 平面的下岸与第二张z 平面的上岸粘在一起，而 把第二张z 平面的下岸与第一张z 平面的上岸粘在一起，如图5．这样得到的具有两页的 z 平面就称为函数(27) 的Riemann 面．在Riemann 面上，函数(27) 是单值的． 对于函数(29)，如果取图4 的割线，则其Riemann 面类似于图5，但由n 页构成，其中第k 页的 下岸与第k + 1 页的上岸粘连（k = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; n ¡ 1），而第n 页的下岸与第一页的上岸粘连．对于函数 (30)，其Riemann 面也由两页构成，但不管割线怎么取，画起来都有一定的难度，需要有美术技巧．对 x5 初等多值函数17 a x 图5: Riemann 面 于更复杂的多值函数，比如 w = 3p(z ¡ a)(z ¡ b)2(z ¡ c)2; 其Riemann 面如何构造，实际上是一个相当困难的问题1． 四对数函数 对数函数（logarithmic function）定义为指数函数的反函数．如果w 满足 ew = z; (31) 我们就说 w = Lnz: (32) 令z = reiµ，w = u + iv，代入式(31)，得eueiv = reiµ，比较两边的模和辐角，得 u = ln r; v = µ + 2k¼; k 2 Z; 换句话说， w = ln r + i(µ + 2k¼); k 2 Z: (33) 由此可见，对数函数也是一个多值函数，且具有无穷多个单值分支．易知其支点为z = 0 和 z = 1．由于自变量绕z = 0 转动任意周回到出发点，函数值都不能复原，故z = 0 称为超 越支点．同样，z = 1 也是超越支点．割线可以取为由z = 0 出发沿x 轴正向至z = 1 的 射线，即x 轴的正半轴．Riemann 面具有无穷多页，类似于螺旋楼梯． 若µ 取为辐角主值并置k = 0，所得单值分支称为Lnz 的主值分支，记作ln z，即 ln z = ln r + iµ = ln jzj + i arg z: 五*多值函数函数值的确定 暂略2． 1这一问题由杨孔庆教授指出． 2由于初次制作电子文件，时间比较匆促，部分选读内容暂时未能输入． x6 解析函数的物理意义18 六多值函数的解析性 多值函数在其Riemann 面上变成单值的，所以可以象单值函数一样定义导数并讨论其 解析性． 但是，支点为Riemann 面各页所共有，在支点的邻域内，函数值是不确定的，因而支点 的导数没有定义，所以支点必为奇点． 七对数函数的导数 在多值函数的单值分支内，反函数存在，所以可用反函数求导法（与实变函数相同）来 计算导数．这一方法可以方便地用于根式函数和对数函数．以对数函数为例，由式(31)，有 dz=dw = ew，故dw=dz = e¡w，再由式(31)，e¡w = 1=z，所以 d dz Lnz = 1 z : (34) 注意，这是一个单值函数．这一结果也可由式(19) 求得． 八*一般幂函数 一般幂函数定义为 z® = e®Lnz; ® 2 C: 这可以写作 z® = e® ln zei®2k¼; k 2 Z: 若® 2 Z，这是单值函数．特别地，若® 2 N，它就是通常的乘方．其它情况下都是多值函数，支点为 z = 0 和z = 1．若® 为分数，它类似于前面讨论的根式函数．具体来说，若® = q=p，其中q、p 均 为整数且互素（即没有公约数），则两支点均为p ¡ 1 阶支点．若® 为无理数，或® 为复数且虚部不为 0，则两支点均为超越支点．由指数函数和对数函数的导数，不难得到 (z®)0 = ®z®¡1: x6 解析函数的物理意义 一调和函数 如果二元实变函数u(x; y) 在区域D 内具有连续的二阶偏导数，且满足二维Laplace 方 程 r2u = @2u @x2 + @2u @y2 = 0; (35) 则u(x; y) 称为区域D 内的调和函数．类似可以定义三维或更高维的调和函数． x6 解析函数的物理意义19 二解析函数与调和函数的关系 若w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y) 是区域D 内的解析函数，则u(x; y)、v(x; y) 均为D 内的调和函数． 注由此可以判断一个给定的二元实变函数是否可以作为解析函数的实部或虚部． 事实上，由于f(z) 在区域D 内解析，它就在D 内具有各阶导数（见下章），所以 u(x; y)、v(x; y) 在D 内具有连续的各阶偏导数．又u(x; y)、v(x; y) 在D 内满足CR 条件 (16)，将其中的第一式对x 求导，第二式对y 求导，可得 @2u @x2 = @2v @x@y ; @2u @y2 = ¡ @2v @x@y : 两式相加即得式(35)，所以u(x; y) 是D 内的调和函数．同理v(x; y) 也是D 内的调和函 数．由于u(x; y)、v(x; y) 并不是相互独立的，而是由CR 条件紧密联系着，所以它们称为共 轭调和函数． 若已知函数u(x; y)，则由 dv = @v @x dx + @v @y dy = ¡ @u @y dx + @u @x dy 积分即可求出v(x; y)，反之亦然． 由于u(x; y)、v(x; y) 满足二维Laplace 方程，所以它们可以表示无电荷区域的静电场． 当然，它们也可以用来描述其它满足二维Laplace 方程的物理量． 三正交曲线族 若w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y) 是区域D 内的解析函数，则曲线族u(x; y) = c1 和 v(x; y) = c2 相互正交． 事实上，曲线u(x; y) = c1 的法向矢量是（未归一化）nu = ru，曲线v(x; y) = c2 的法 向矢量是（未归一化）nv = rv．在交点处，其自变量相同，故 nu ¢ nv = ru ¢ rv = @u @x @v @x + @u @y @v @y = 0; 其中最后一步用到了CR 条件．所以两曲线在交点处是正交的．这一结论与c1、c2 的取值 无关，所以两个曲线族是正交曲线族． 由以上讨论可知，若u(x; y) = c1 表示某平面静电场的等势线族，则v(x; y) = c2 表示 其电力线族，反之亦然．因此，知道了等势线方程即可求电力线方程，反之亦然． 例已知某平面静电场的电力线方程为x2 ¡ y2 = c1，求等势线方程． 解令v(x; y) = x2 ¡ y2，它是调和函数，可以作为某解析函数的虚部，求出其实部 u(x; y)，则等势线方程为u(x; y) = constant．今 @u @x = @v @y