牛顿迭代的埃特金加 摘要:牛顿迭代法是求解非线性方程的一种有效的方法,在通常情况下至少有平方收敛。运用牛顿迭代法不仅关心它的收敛与否,同时还要关心它的收敛速度。现存的关于牛顿迭代加速收敛的文献有很多。参阅本文试图通过用埃特金算法,来加速牛顿迭代的收敛速度。 关键词:牛顿迭代、加速收敛 、特金加速 相关知识 1. 埃特金算法 对于一般的方程 ,将它改写成: 的形式,式中 称为迭代函数。由此得到的迭代
公式
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: 埃特金算法是将迭代 值再一次进行迭代,即 。最后得到的公式: 。 2. 牛顿迭代法 对于一般的方程f(x)=0,在近似根 附近用一阶泰勒多项式 来近似代替 ;取 的根作为 的新的近似根,记着 ;可以得到: ;这就是牛顿迭代公式。 牛顿迭代的埃特金加速 在这里用 来代替埃特金算法中的 ,即可得到 (1) (2) (3) 分别把(1)、(2)式代入(3)式中,这样就得到了牛顿迭代的埃特金加速格式: 数值验证 求方程 我们知道此方程的精确解为3。分别用经典牛顿迭代和你顿埃特金加速格式计算结果如下表1。 表1 两种迭代法的计算结果 n 0 1 2 3 经典牛顿迭代 2.000000 3.583333 3.089808 3.002585 改进后的迭代 2.000000 3.207084 2.999118 3.000000 从表1的表现从改进的迭代收敛速度有了明显的提高。 参考文献: (1) 王能超 数值
分析
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简明教程(第二版):高等教育出版社 2003.08 (2) 吕勇 刘兴国。牛顿迭代法加速收敛的一种修正 武汉科技学院学报2006.02 第19卷 第二期 (3) 方超昆 c++程序设计教程 :北京邮电大学出版社 2009.01 附件:程序代码 附件2程序框图