第二节 向量组的线性相关性nullnull§2 向量组的线性相关性一、线性组合的概念二、向量组的线性相关性三、小 结一、线性组合的概念向量组:
m个n维向量.四维以上无直观几何意义.两个向量之间最简单的关系是成比例.线性表示.一、线性组合的概念null一般地, 就有定义6. 对于n 维向量若null例1. 任一 n 维向量都可由向量组线性表示.解:null所以任一 n 维向量线性表示.称为 n 维单位向量组.例2.解:显然换句话说,存在一组不全为0的数0,3,-1,使null例3.解:null(改写):变形例4. 若其中任一个均不能由...
nullnull§2 向量组的线性相关性一、线性组合的概念二、向量组的线性相关性三、小 结一、线性组合的概念向量组:
m个n维向量.四维以上无直观几何意义.两个向量之间最简单的关系是成比例.线性表示.一、线性组合的概念null一般地, 就有定义6. 对于n 维向量若null例1. 任一 n 维向量都可由向量组线性表示.解:null所以任一 n 维向量线性表示.称为 n 维单位向量组.例2.解:显然换句话说,存在一组不全为0的数0,3,-1,使null例3.解:null(改写):变形例4. 若其中任一个均不能由其余向量线性表示.null二、向量组的线性相关性定义7.若存在否则称为线性无关,即只有当二、向量组的线性相关性null理解:共性.特性: 有不全为零的数 0,1,2,-1,使向量组合为零向量.null例5. n 维单位向量组 是线性无关的.解:null例6. 判断向量组是否线性相关?解:null其系数行列式于是有null例7. 讨论向量组的线性相关性,若线性相关,试写出其中一向量能由其余向量线性表示的表达式.解:null代入(2)、(3),有于是有null说明: 此例是一个三元的,三个未知数的方程组.只须看行列式是否为0.null［注］: 设n个n维向量所组成的向量为且则..null例8.证明:则由定义知null而其系数行列式证毕.null定理一.A线性相关A中至少有一个可由其余向量线性表示.证明:∴ A线性相关.null即有不全为零的数则证毕. 性质1. 任意一个包含零向量的向量组必线性相关.证明:null证毕.性质2. 两个向量线性相关它们的各对应分量成比例.证明:null证毕.null性质3.部分组相关,则全组相关.证明:证毕.null［注］:部分组线性相关整个向量组线性相关.性质4.整个向量组线性无关部分组线性无关.证明:反证.若部分组线性相关,则由性质3知,整个组也线性相关.矛盾！证毕.null性质５．null定理二.证明:∴ 有不全为零的数null证毕.null例9. 判别下列各向量组的线性相关性:解:由性质1知,解:又由性质3可知,null例10. 判断向量组解:由性质3可知,null定理三.也线性无关.证明:反证.即有不全为零的数即null从前r个等式可得矛盾!证毕.null 推论: 在r维向量组的每个向量上添加n-r个分量,使之成为n维向量组.如果r维向量组线性无关,则n维向量组也线性无关.［注］:定理三表明:添加分量后仍线性无关.添加分量后线性相关原向量组线性相关.定理四.任意n+1个n维向量都是线性相关的.原向量组线性无关证明:null构造向量组：设n+1个n维向量为:null定理四表明:当m>n时,相关(由定理四)则相关[注]:null推论: 简言之: 个数大于维数的向量组是线性相关的.事实上,三、小 结（一）.概念.三、小 结null例. 单位坐标向量A线性相关null（二）. 充要条件(1). 若n个n维向量行列式为则null(2).向量组A线性相关A中至少有一个向量可由其余向量线性表示.（三）. 判断法(1).null(2).部分组线性相关整个向量组线性相关.整个向量组线性无关部分组线性无关.(3).原向量组线性无关添加分量后仍线性无关.添加分量后线性相关原向量组线性相关.null思考题
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