高二数学不等式

课题: § 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组） 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是： 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 问题1：设点A与平面 的距离为d,B为平面 上的任意一点，则 。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本P82的练习1、2 4.课时小结 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 5.评价 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 课本P83习题3.1[A组]第4、5题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 第2课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】 1.课题导入 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若 （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若 （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若 2.讲授新课 1、不等式的基本性质： 师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？ 证明： 1）∵(a＋c)－(b＋c) ＝a－b＞0， ∴a＋c＞b＋c 2） ， ∴ ． 实际上，我们还有 ，（证明：∵a＞b，b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得 (a－b)＋(b－c)＞0， 即a－c＞0， ∴a＞c． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1） （2） （3） （4） 2、探索研究 思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1） ； （2） ； （3） 。 证明： 1）∵a＞b， ∴a＋c＞b＋c．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① ∵c＞d， ∴b＋c＞b＋d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ② 由①、②得　 a＋c＞b＋d． 2） 3）反证法）假设 ， 则：若 这都与 矛盾， ∴ ． [范例讲解]： 例1、已知 求证 。 证明：以为 ，所以ab>0, 。 于是 ，即 由c<0 ，得 3.随堂练习1 1、课本P82的练习3 2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（ ＋ ）2 ６＋2 ； （2）（ － ）2 （ －1）2； （3） ； (4)当a＞b＞0时，log a log b 答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜ [补充例题] 例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： （a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4） ＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８） ＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4） 随堂练习2 1、​ 比较大小： （1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2 （2） 4.课时小结 本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论 5.评价设计 课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.2一元二次不等式及其解法 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型： …………………………(1) 2.讲授新课 1）一元二次不等式的定义 象 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式 的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根： 二次函数有两个零点： 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数 的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即 ； 当00与 <0的解集呢？ 组织讨论： 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点： (1)抛物线 与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 =0的根的情况 (2)抛物线 的开口方向，也就是a的符号 总结讨论结果： （l）抛物线  （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式 三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式 >0与 <0的解集 一元二次不等式 的解集： 设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R [范例讲解] 例2 (课本第87页)求不等式 的解集. 解：因为 . 所以，原不等式的解集是 例3 (课本第88页)解不等式 . 解：整理，得 . 因为 无实数解， 所以不等式 的解集是 . 从而，原不等式的解集是 . 3.随堂练习 课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7） 4.课时小结 解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“+”：A= >0(或<0)(a>0) ② 计算判别式 ，分析不等式的解的情况： ⅰ. >0时，求根 < ， ⅱ. =0时，求根 ＝ ＝ ， ⅲ. <0时，方程无解， ③ 写出解集. 5.评价设计 课本第89页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.2一元二次不等式及其解法 第2课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法； 2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想 【教学重点】 熟练掌握一元二次不等式的解法 【教学难点】 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】 1.课题导入 1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格 2.讲授新课 [范例讲解] 例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系： 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h） 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到 移项整理得： 显然 ，方程 有两个实数根，即 。所以不等式的解集为 在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h. 例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系： 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到 移项整理，得 因为 ，所以方程 有两个实数根 由二次函数的图象，得不等式的解为：506表示直线x-y=6右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论： 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点( )，把它的坐标（ )代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 【应用举例】 例1 画出不等式 表示的平面区域。 解：先画直线 （画成虚线）. 取原点（0，0），代入 +4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0, ∴原点在 表示的平面区域内，不等式 表示的区域如图： 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当 时，常把原点作为此特殊点。 变式1、画出不等式 所表示的平面区域。 变式2、画出不等式 所表示的平面区域。 例2 用平面区域表示.不等式组 的解集。 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 解：不等式 表示直线 右下方的区域， 表示直线 右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。 归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 变式1、画出不等式 表示的平面区域。 变式2、由直线 ， 和 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。 3.随堂练习 1、课本第97页的练习1、2、3 4.课时小结 1．二元一次不等式表示的平面区域． 2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域． 5.评价设计 课本第105页习题3.3[A]组的第1题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 第2课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件； 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入] 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。 随堂练习1 1、画出不等式2 +y-6＜0表示的平面区域. 2、画出不等式组 表示的平面区域。 2.讲授新课 【应用举例】 例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有 考虑到所投资金的限制，得到 即 另外，开设的班数不能为负，则 把上面的四个不等式合在一起，得到： 用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分） 例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设x,y分别为 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。 [补充例题] 例1、画出下列不等式表示的区域 (1) ； (2) 分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由 ，得 ，又用 代 ，不等式仍成立，区域关于 轴对称。 解：(1) 或 矛盾无解，故点 在一带形区域内（含边界）。 (2) 由 ，得 ；当 时，有 点 在一条形区域内(边界)；当 ，由对称性得出。 指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 例2、利用区域求不等式组 的整数解 分析：不等式组的实数解集为三条直线 ， ， 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 ， ， ，求得区域内点横坐标范围，取出 的所有整数值，再代回原不等式组转化为 的一元不等式组得出相应的 的整数值。 解：设 ， ， ， ， ， ，∴ ， ， 。于是看出区域内点的横坐标在 内，取 ＝1，2，3，当 ＝1时，代入原不等式组有 ⇒ ，得 ＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。 指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定 的所有整数值，再代回原不等式组，得出 的一元一次不等式组，再确定 的所有整数值，即先固定 ，再用 制约 。 3.随堂练习2 1．（1） ； （2）． ； （3）． 2．画出不等式组 表示的平面区域 3．课本第97页的练习4 4.课时小结 进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。 5.评价设计 1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.3.2简单的线性规划 第3课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示什么图形？ 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？ 把z=2x+3y变形为 ，这是斜率为 ，在y轴上的截距为 的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（ ），这说明，截距 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线 与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距 最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线 与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距 最大。 （5）获得结果： 由上图可以看出，当实现 金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距 的值最大，最大值为 ，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。 2、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 3、​ 变换条件，加深理解 探究：课本第100页的探究活动 （1）​ 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。 （2）​ 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？ 3.随堂练习 1．请同学们结合课本P103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题. （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件 解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x=0,y=0时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线 :2x+y=0上. 作一组与直线 平行的直线 :2x+y=t,t∈R. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大. 所以zmax=2×2-1=3. （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 解：不等式组所表示的平面区域如图所示： 从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（ ）的直线所对应的t最大. 所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11. zmax=3× +5× =14 4.课时小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 5.评价设计 课本第105页习题[A]组的第2题. 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.3.2简单的线性规划 第4课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解； 【教学难点】 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线） 2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 2.讲授新课 线性规划在实际中的应用： 　　线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： [范例讲解] 例5​ 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？ 指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一. 例6​ 在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？ 指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法： 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 3.随堂练习 课本第103页练习2 4.课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。 5.评价设计 课本第105页习题3.3[A]组的第3题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.3.2简单的线性规划 第5课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解； 【教学难点】 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线） 2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 2.讲授新课 1．线性规划在实际中的应用： 例7​ 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 2．课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？ 若实数 ， 满足 求4 +2 的取值范围． 错解：由①、②同向相加可求得： 0≤2 ≤4 即 0≤4 ≤8 ③ 由②得 —1≤ — ≤1 将上式与①同向相加得0≤2 ≤4 ④ ③十④得 0≤4 十2 ≤12 以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析． (2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4 ≤8及0≤2 ≤4是对的，但用 的最大(小)值及 的最大(小)值来确定4 十2 的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确． (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解： 因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y) 且由已有条件有： （5） （6） 将（5）（6）两式相加得 所以 3.随堂练习1 1、求 的最大值、最小值，使 、 满足条件 2、设 ，式中变量 、 满足 4.课时小结 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. [结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个． 5.评价设计 课本第105页习题3.3[A]组的第4题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4基本不等式 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程； 【教学难点】 基本不等式 等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。 2．得到结论：一般的，如果 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 所以， ，即 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得 ， 通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要证 (1) 只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3） 要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式 的几何意义 探究：课本第110页的“探究” 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ . 这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x、y都是正数，求证： (1) ≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y都是正数 ∴ ＞0， ＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1) ＝2即 ≥2. (2)x＋y≥2 ＞0 x2＋y2≥2 ＞0 x3＋y3≥2 ＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2 ·2 ·2 ＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 ＞0 b＋c≥2 ＞0 c＋a≥2 ＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ·2 ·2 ＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ ，ab≤（ ）2. 5.评价设计 课本第113页习题[A]组的第1题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4基本不等式 第2课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式 ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式 的应用 【教学难点】 利用基本不等式 求最大值、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正数，那么 我们称 的算术平均数，称 的几何平均数 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。 2.讲授新课 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由 ， 可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜ ，其面积S＝x（36－2x）＝ ·2x（36－2x）≤ 当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2 解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m 。由 ，可得 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 ，等号当且仅当a＝b时成立. 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 3.随堂练习 1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 2．课本第113页的练习1、2、3、4 4.课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 5.评价设计 课本第113页习题[A]组的第2、4题 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4基本不等式 第3课时 授课类型：习题课 【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式 ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 掌握基本不等式 ，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．基本不等式：如果a,b是正数，那么 2．用基本不等式 求最大（小）值的步骤。 2.讲授新课 1）利用基本不等式证明不等式 例1 已知m>0,求证 。 [思维切入]因为m>0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。 [证明]因为 m>0,，由基本不等式得 当且仅当 = ，即m=2时，取等号。 规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和 =144为定值的前提条件。 3.随堂练习1 [思维拓展1] 已知a,b,c,d都是正数，求证 . [思维拓展2] 求证 . 例2 求证: . [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明] 当且仅当 =a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值 例3 (1) 若x>0,求 的最小值; (2)若x<0,求 的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和 =36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解1) 因为 x>0 由基本不等式得 ,当且仅当 即x= 时, 取最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得: , 所以 . 当且仅当 即x=- 时, 取得最大-12. 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2 [思维拓展1] 求 (x>5)的最小值. [思维拓展2] 若x>0,y>0,且 ,求xy的最小值. 4.课时小结 用基本不等式 证明不等式和求函数的最大、最小值。 5.评价设计 １．证明： ２．若 ，则 为何值时 有最小值，最小值为几？ 【板书设计】 【授后记】 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: 《不等式》复习小结 授课类型：复习课 【教学目标】 1．会用不等式（组）表示不等关系； 2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 【教学重点】 不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。 【教学难点】 利用不等式加法法则及 乘法 99乘法表99乘法表打印九九乘法表a4打印九九乘法表免费下载大九九乘法表免费打印 法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。 【教学过程】 1.本章知识结构 2.知识梳理 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则： ； (4)乘法法则： ； (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法 3、应用不等式性质证明 （二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法 一元二次不等式 的解集： 设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点( )，把它的坐标（ )代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 （四）基本不等式 1、如果a,b是正数，那么 2、基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦” 3.典型例题 1、用不等式表示不等关系 例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。 例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分