等差数列与等比数列解题技巧

等差数列与等比数列解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 技巧 等差数列与等比数列解题技巧 【摘要】在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧，在我们高中数学中是很有必要的. 引言：数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n项和公式和性质及常见的数列的求和方法. 求数列通向公式的方法 分析法 通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系，求出数列的通向公式. 例1、写出数列的一个通向公式 、0.7，0.77，0.777.0.7777，... （2）、2， 解：（1）原列各项可以写成有数列 故原数列的一个通向公式为 （2）、原数列可改写为 故其通向公式为 例2、根据下面各个数列的首项和递推公式，写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式 、 ； 解：分析:写出前4项，找出规律，然后归纳出通向公式. 、由已知，得 即 故数列的一个通向公式为 、由已知，得 即 故数列的一个通向公式为 注:上述题设给出，数列的前n项或给出递推公式和初始条件，分析数列的特征，找出规律，写出通向公式. 待定系数法 例1、已知数列 的通向公式是关于n的二次多项式，按照下列条件，写出数列 的一个通向公式. 、 （2）、 （3）、 分析：设出 然后将 代入求出系数 即得通向公式. 解：（1）、 依题意，得 解得 、设 依题意，得 解得 、 设 注：由n个独立条可确定n个参数的值，因此，当已知数列 中m项数值时，可设通项为（m-1）次多项式，并应用待定系数法，求出这一多项式个项系数的值，进而写出 的表达式。 换元法 换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式，构造出等差数列或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列便可求得原数列的通向公式. 例1、已知数列 求数列 的通向公式. 分析：将 变形为 换元后转化为求等差数列的通向公式. 解:将已知条件改写为 令 数列 是以 为首项，公差为 的等差数列， 将上述（n-1）个式子相加，得: 例2、数列 分析:将 转化为求等比数列的通向公式. 解： 数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列. 累加法 例1、求数列 ：6，9，14，21，30，...的通向公式. 分析:观察数列的特征，后面一项减去前面一项的差组成的数列 ：3，5，7，9，...是首项为3，公差为2的等差数列，故可先求出数列 的通向公式，再推出 的通向公式. 解：设原数列中相邻两项（后项减去前项）的差所组成的数列 ，则 ， 显然， 各式相加，得： 乘约法 例1、已知数列 满足 ，且 ，求通向公式 . 分析：由 得 ，当 1，2，3，...,（n-1）时得到n-1个关系式，将这n-1个关系式连乘可得 的通向公式. 解：由 得 ， 当 时，有 ， 将以上各式左右两端分别相乘得 ， 又 也满足上式， . 注:必须对 进行验证，若 满足关系式，则统一写成 的形式；若 不满足，要写成分段形式. 构造数列法 由已知递推公式进行变形，构造出新的等比数列，然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式. 例1、已知数列 满足 其中 证明这个数列的通向公式是 分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明. 证法1（累加法） ,两边同除以 得： ， 当 时，有: , 将以上各式分别相加，得 ， 证法2：（构造法）设 可化为 ， 由待定系数法可得: , 可知数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列， 递推法 例1、已知数列 中， ， ， 求 的通向公式； 解: , 简单的递推数列即处理策略 、对 型数列通项的求法可用累加法或乘约法. 、对 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法. 、对 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法. 对 型数列通项的求法两边同加上一个常数，这个常数是方程 的根，然后构造数列求解. 、对 型数列通项的求法由 代入原关系式中化只含有 或 的关系式，然后求解. 有关“ ， ”型数列通项公式的求法. 例1、数列 中，， （ 为常数， ）且 成公比不为1的等比数列. 、求 的值； 分析：（1）由 成等比数列可求出 ；（2）用累加法可求通向公式. 解（1） ， ， 因为 成等比数列， 所以 ， 解得 或， 当 时， 不符合题意，舍去，故 . 当 时，由于 ， 所以 . 又 ， 故 .当 =1时，上式也成立. 所以 . 有关“ ， ”型数列通项公式的求法. 例1、在数列 中， ， . 、设 ，证明：数列 是等差数列. 、求数列 的前 项和 . 分析:此题可先求出 ，也可通过变形直接证明，求出 ，再求出 ，进而求出 . 证明： ， ， ，即 ， ， 故数列 是首项为1，公差为1的等差数列。 解:由（1）知 ， ，则 ， ， 两式相减，得 . 有关“ , ”型数列通项公式的求法. 例1、已知数列 中， ，且 （ ， ）. 、设 ，证明 是等比数列； 、求数列 的通向公式； 分析:首先将原关系式变形为 ，构造出新的数列可证明 为等比数列，且 可求. 证明：由题设 （ ），得 ，即 。 由 首项为1，公比为 的等比数列。 解：由（1）， 将以上各式相加，得 ， 即 所以当 时， 上式对 显然成立. 有关“ （其中 为不同时为零的常数）”型数列通项公式的求法. 例1、已知数列 的首项 ， 证明：数列 是等比数列. 证明: 又 ， ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 有关“ ”型数列通项公式的求法. 例1、设数列 的前 项和 . 、求 、 ； 、证明： 是等比数列； 、求 的通向公式. 分析:可通过递推关系 求 ，由 得 可得出 、 、 要注意 的关系. 解（1） . 由 知 ，得 , (2)、由题意和（1）式知 ， 所以 是首项为2，公比为2的等比数列. 、 . 数列求和 对于数列的求和问题，一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点，在分析通项的基础上再来确定是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列，用分组法。若数列的每一项变为两数之差，可以使大部分项能“正、负抵消”，只剩下有限的几项，此时可用裂项法；若一个数列距首末等距离的和相等，可采用倒序相加法；若数列的各项是由一等差数列和一等比数列组成的，可用错位相减法；若数列的通项 中含 ，可分类讨论或错位相减法. 错位相减法:这是在推倒等比数列前 项和公式所用的方法，这种方法主要用于求数列 的前 项和，其中 、 分别是等差数列和等比数列. 例1、求和 解：当 时， ； 当 时， 两式相减得： 倒序相加法:将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，，若有公因式可提并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列求和公式 就是用倒序相加法推倒出来的. 例1、求和: 分析在：注意到 且相等项的系数之和都为 ，故可用“倒序相加法”求和。 解： 分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，然后再合并. 例1、求数列 的前 项和. 解: 裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 例1、 例2、求数列 的前 项和. 分析：变换通向公式，将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去一些项. 解： ， 注：将通项进行变换，构造两项之差，这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有 ； ； 并项法 例1、求 的值. 分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和，但运算量较大。若用并项求和法轻而易举就可以解决。 解： . 降次递推法 例1、求和 分析：可利用公式 令 分别代入上式，得 将以上各式分别相加，得: 参考文献： [1]张环、胡剑涛、杨玉蓉主编。《高中数学综合能力培养》上册1991年3月印刷。 [2]刘宗贤责任主编。《高中代数疑难解析》1984年8月第2次印刷。 [3]王兴旺主编。《高考完全解读》2007年7月湖北第1次印刷。 [4]欧阳维诚主编。《高中数学考试解题精典》1995年6月第2次印刷。 [5]袁桐、金立建主编《新编高中数学大观》1991年2月第1次印刷。 [6]彭士元、朱铁夫主编。《数列求和》1989年6月第一次印刷。