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第一讲 空间向量及其运算
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重点难点
重点：①掌握空间向量加、减、数乘、数量积的运算和运算律．
②掌握共面向量定理和空间向量基本定理．
难点：①共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用
②空间线面位置关系的向量
表
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示null知识归纳
1．空间向量及其加减与数乘运算
(1)在空间,具有大小和方向的量叫做向量.方向 且模 的向量称为相等向量．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．长度为0的向量叫做零向量；模为 的向量叫做单位向量；与向量a长度相等，方向 的向量叫做a的相反向量．
(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广．相同相等相反1null(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：
加法交换律：a＋b＝b＋a.
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.null2．共线向量与共面向量
(1)如果表示向量的有向线段所在的直线
，则这些向量叫做共线向量或平行向量(零向量与任何一个向量都是共线向量)．
(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的，空间三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．互相平行或重合null(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 ＋ta，其中向量a叫做直线l的 ．
(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x、y)，使p＝ 方向向量xa＋yb.null3．空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z，使p＝ .其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的有序实数组x、y、z使
且P在平面ABC内⇔x＋y＋z＝ . xa＋yb＋zc1null4．空间向量的数量积
(1)向量a、b的数量积a·b＝ .
(2)向量数量积的性质
①a·e＝|a|cos
(e是单位向量)；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③|a|2＝a·a.
(3)向量的数量积满足如下运算律：
①(λ·a)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
(4)|a·b|≤|a|·|b|.|a||b|cosnull5．设i，j，k是单位正交基底，O为空间直角坐标系的原点i、j、k为x轴、y轴、z轴上的基向量，则对于空间任一点A，对应一个向量 ，于是存在惟一的有序实数组x、y、z，使 ＝xi＋yj＋zk，即点A的坐标为(x，y，z)． null(1)向量的直角坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)或 (b1，b2，b3均不为0)．
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； null(2)夹角和距离公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则null误区警示
1．零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免因对零向量的忽视致误．
2．空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合．
3．当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面内．null4．特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定．
(2)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0，因为其中cosθ有可能为0，即两向量垂直时a·b＝0.null(3)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，在向量数量积中a·b＝b·c(b≠0)并不一定有a＝c.
(4)在实数中，有(a·b)·c＝a(b·c)，但是在向量中(a·b)c≠a(b·c)．
(5)a、b同向时，a·b＝|a|·|b|；a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.
null
如何用空间向量解决立体几何问题
1．思考方向：
(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？null(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？null2．空间问题如何转化为向量问题
(1)平行问题⇒向量共线，注意重合；
(2)垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量；
(3)距离问题⇒向量的模；
(4)求角问题⇒向量的夹角，注意角范围的统一．
3．向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键．null[例1] 在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设
则下列向量与 相等的是 ( )null
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：Anull
[例2] 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足
(1)判断 三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．null分析：(1)判断三向量平面，即寻找实数x、y，使
(2)判断点M在平面ABC内，即证四点A、B、C、M共面，由(1)立得． null(2)由(1)知， 共面且过同一点M，∴四点M、A、B、C共面，从而点M在平面ABC内． null
已知非零向量e1，e2不共线，如果 ＝e1＋e2， ＝2e1＋8e2， ＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面． null证明：令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋υ(3e1－3e2)＝0
则(λ＋2μ＋3υ)e1＋(λ＋8μ－3υ)e2＝0null
由三向量有公共起点A知，A、B、C、D四点共面.null
解析：由条件a·b＝0，a·c＝ ，b·c＝3.
∴|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋12＋0＋6＋2
∴|a＋b＋c|＝ null点评：向量的模，即表示向量的有向线段的长度，也即向量的终点与始点两点间的距离，因此，求线段长度或两点间距离的问题，通常转化为求向量的模．null
如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．null＝b2＋a2＋a2－2bacos60°－2bacos60°＋2a2cos90°
＝2a2－2ab＋b2.nullnull
[例4] 已知a＝(2，－1,3)，b＝(1,0，－2)．
(1)计算a－2b；
(2)是否存在实数λ，使a＋λb与z轴垂直，若存在求之，若不存在，说明你的理由．null解析：(1)a－2b＝(2，－1,3)－2(1,0，－2)
＝(0，－1,7)．
(2)a＋λb＝(2，－1,3)＋λ(1,0，－2)＝(λ＋2，－1,3－2λ)，z轴的一个方向向量为e＝(0,0,1)，由(λ＋2，－1，3－2λ)·(0,0,1)＝3－2λ＝0得，λ＝ .
∴存在实数λ＝ ，使向量a＋λb与z轴垂直． null
a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b与a－b的夹角为 ( )
A．0° B．30°
C．60° D．90°
(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案：Dnull
[例5] 如图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC，求证PM⊥QN.nullnullnull 总结评述：向量a垂直于向量b的充要条件是a·b＝0，据此可以证明直线与直线垂直，在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为0.null
如图，在棱长为a的正方体OABC－O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF.
求证：A′F⊥C′E.null点评：用数量积证垂直时，关键是把两向量分别用一组含已知条件最多的基底表示出来．null
一、选择题
1．如图，空间四边形OABC中，OA＝a，
＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则
等于 ( )null[答案] Bnull2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为 则λ等于 ( )
[答案] Cnull3．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则 ( )
A．l1∥l2 B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2 D．不能确定
[答案] C
[解析] ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.null4．直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量n＝(－2，0，－4)，则 ( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
[答案] B
[解析] ∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.null5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则
的夹角为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] Cnull6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M分
的比为 ，点N为B1B的中点，则|MN|＝ ( )
[答案] Anullnull7．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是 ( )
[答案] D
[解析] ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，
∵两向量垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0，∴k＝ null8．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于 ( )
[答案] Anullnullnull10．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 
浙公网安备 33021202002483