(最新最全）2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第26章矩形菱形与正方形

2011年全国各地100份中考数学 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 分类汇编 第26章 矩形、菱形与正方形 一、选择题 1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　） （A）48cm （B）36cm （C）24cm （D）18cm 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】A 2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为 A.17 B.17 C.18 D.19 【答案】B 4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 A.2 eq \r(3) B. eq \f(3,2) C. eq \r(3) D.6 【答案】A 5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别 为 ．现给出下列命题：（ ） ①若 ，则 ．②若 则 ． 则: A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题[来源:学.科.网Z.X.X.K] C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题 【答案】A 6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡 分别架在墙体的点 、点 处，且 ,侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 ( )[来源:Zxxk.Com] A. 35° B. 40° C. 55° D. 70° 【答案】C 7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】D 8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) [来源:学科网ZXXK] A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　） （A）48cm （B）36cm （C）24cm （D）18cm [来源:Z#xx#k.Com] 【答案】A 10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD中，E为 中点，作 的角平分线交 于F点。 若 ＝6， ＝16，则 的长度为何？ A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 11. （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示， 中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（） A.AC⊥BD B.AB＝CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD 【答案】A.提示：当且仅当 为菱形时，AC⊥BD。 12. （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 13. （2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2 【答案】B 14. （2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 15. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) ①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形; ③四边形A5B5C5D5的周长 ; ④四边形AnBnCnDn的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 【答案】C· 16. （2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ） A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 【答案】C 17. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（ ） A．2 B．3 C．4 D．4 【答案】A 18. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是 A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 19. （2011四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④ .其中正确的序号是 A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④ 【答案】D 20．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 【答案】A 21. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：   ①△AED≌△DFB；  ②S四边形 BCDG=  CG2； ③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论 A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③． [来源:学_科_网Z_X_X_K] 【答案】D 22. （2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路 、 相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路 的距离为4公里，则村庄C到公路 的距离是 A．3公里 B．4公里 C．5公里 D．6公里 【答案】B 23. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是 A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形 【答案】D 24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 【答案】B 25. 26. 27. 28. 二、填空题 1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______. 【答案】62° 2. （2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（ ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为 正方形，则操作终止．当n=3时， a的值为​​​​_______​​​​______． 【答案】 或 3. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______． 【答案】28 4. （2011山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2 5. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形． 【答案】4 6. (2011浙江绍兴，15，5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】 7. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。 【答案】 8. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是 平方单位． 【答案】5或9 9. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________________. 【答案】 10．（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________. 【答案】 11. （2011四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形． 【答案】AB=CD 12. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ． 【答案】： 13. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD(答案不唯一，写出一种即可) 14. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2． 【答案】 15. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且 AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点 重合，则AC＝ ▲ cm. 【答案】4 16. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm. 【答案】2 EQ \r(,5) 17. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则 的值是 。 【答案】 或 18. （2011湖北黄冈，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______． 【答案】28 19. （2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 。 【答案】AB=2BC 20．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大． 【答案】2; 21. （2011河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=__． 【答案】5 22. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 . 【答案】15°或75° 23. 24. 25. 26. 27. 28. 三、解答题 1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH． （1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC= （0°＜ ＜90°）， ① 试用含 的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． 【答案】（1）四边形EFGH是正方形． 　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE= AB，DG= CD， 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．[来源:学科网ZXXK] ③四边形EFGH是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形． 2. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、 、 （ ＞0， ＞0， ＞0）． （1）求证： = ； （2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S= ； （3）若 ，当 变化时，说明正方形ABCD的面积S随 的变化情况． 【答案】（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G， ∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即 = ； （2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S= ； (3)由题意，得 ， 所以 ， 又 ，解得0＜h1＜ ∴当0＜h1＜ 时，S随h1的增大而减小； 当h1= 时，S取得最小值 ； 当 ＜h1＜ 时，S随h1的增大而增大. 3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形 中, , , 的垂直平分线 分别交 、 于点 、 ,垂足为 . (1)如图10-1,连接 、 .求证四边形 为菱形,并求 的长； (2)如图10-2,动点 、 分别从 、 两点同时出发,沿 和 各边匀速运动一周.即点 自 → → → 停止,点 自 → → → 停止.在运动过程中, ①已知点 的速度为每秒5 ,点 的速度为每秒4 ,运动时间为 秒,当 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 的值. ②若点 、 的运动路程分别为 、 (单位: , ),已知 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形,求 与 满足的数量关系式. 【答案】(1)证明:①∵四边形 是矩形 ∴ ∥ ∴ , ∵ 垂直平分 ,垂足为 ∴ ∴ ≌ ∴ ∴四边形 为平行四边形 又∵ ∴四边形 为菱形 ②设菱形的边长 ,则 在 中, 由勾股定理得 ,解得 ∴ (2)①显然当 点在 上时, 点在 上,此时 、 、 、 四点不可能构成平行四边形;同理 点在 上时, 点在 或 上,也不能构成平行四边形.因此只有当 点在 上、 点在 上时,才能构成平行四边形 ∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时, ∵点 的速度为每秒5 ,点 的速度为每秒4 ,运动时间为 秒 ∴ , ∴ ,解得 ∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒. ②由题意得,以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 、 在互相平行的对应边上. 分三种情况: i)如图1,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得 ii)如图2,当 点在 上、 点在 上时, , 即 ,得 iii)如图3,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得 综上所述, 与 满足的数量关系式是 EMBED Equation.DSMT4 4. （2011广东广州市，18，9分） 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF． 求证：△ACE≌△ACF． 【答案】∵四边形ABCD为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF，AC=AC ∴△ACE≌△ACF（SAS） 5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。 【答案】 当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形………………2分 证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，FO=CO………………6分 ∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF是矩形………………10分 6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形 的边长为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分线交边 于 ，交边 的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分别于 ， ，如图 ，则可得： ，因为 ，所以 .可求出 和 的值，进而可求得 与 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. （1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ， 则 ， ， . ∵ ，∴ . 2分 ∴ ， . ∴ . 4分 （2）证明：作 ∥ 交 于点 ， 5分 则 ， . ∵ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ .∴ . 7分 ∴ . 8分 7. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK． （1）若∠1=70°，求∠MNK的度数． （2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值． （备用图） 【答案】 解：∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN， ∴∠KNM=∠1． ∵∠KMN=∠1， ∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=70°． ∴∠MNK=40°．[来源:Z&xx&k.Com] （2）不能． 过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1, 由（1）知∠KNM=∠KMN． ∴MK=NK． 又MK≥ME, ∴NK≥1． ∴ ． ∴△MNK的面积最小值为 ，不可能小于 ． （3）分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合． 设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得 , 解得， ． 即 ． ∴ ． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC． 设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得 即 ． ∴ ． ∴△MNK的面积最大值为1.3． （情况二） 8. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求证：AB＝BC； （2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD． 【答案】（1）证明：连接AC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， ∴AB＝BC. （2）证明：过C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形. ∴CD＝EF. ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.[来源:学,科,网] ∴AE＝BF. ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD. 9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF． (1) 求证：四边形AECF是平行四边形； (2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF， ∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形. （2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝ BC＝5. 10．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G． （1）求证：DE∥BF； （2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形． 解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD ∵E、F分别为AB、CD的中点 ∴DF＝ eq \f(1,2)DC，BE＝ eq \f(1,2)AB ∴DF∥BE，DF＝BE ∴四边形DEBF为平行四边形 ∴DE∥BF (2)证明：∵AG∥BD ∴∠G＝∠DBC＝90° ∴ DBC 为直角三角形 又∵F为边CD的中点． ∴BF＝ eq \f(1,2)DC＝DF 又∵四边形DEBF为平行四边形 ∴四边形DEBF是菱形 11. （2011浙江衢州，22,10分）如图， 中， 是边 上的中线，过点 作 ，过点 作 与 分别交于点 、点 ，连接 求证： ; 当 时，求证：四边形 是菱形； 在（2）的条件下，若 ，求 的值. 【答案】.证明：(1) 解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形， 所以AE//BD且AE=BD，又因为AD是边 BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC. 解法2： 又 (2)解法1： 证明 是斜边 上的中线 又 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形 解法2 证明： 又 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形 解法3 证明： 四边形 是平行四边形 又 四边形 是菱形 解法1 解： 四边形 是菱形 的中位线，则 解法2 解： 四边形 是菱形 12. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH． （1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC= （0°＜ ＜90°）， ① 试用含 的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． 【答案】（1）四边形EFGH是正方形． 　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE= AB，DG= CD， 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四边形EFGH是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形． 13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1． (1)证明：△A1AD1≌△CC1B； (2)若∠ACB＝30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形. （直接写出答案） 【答案】 ∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB ∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1． ∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1 ∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。 ∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。……………6分 当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，……………9分 14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。 （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形AFCE是菱形。 （2）由（1）得AF=AE=10 设AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ①，ab=48 ② ①+2×②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去） ∴△ABF的周长为24cm （3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴ ，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP 又AC=2AO ∴2AE2=AC·AP 15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证： OP=OQ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形． 【答案】（1）证明： 四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB， ∴△POD≌△QOB， ∴OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°， ∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB， ∴△ODP∽△ADB， ∴ ，即 ， 解得 ,即运动时间为 秒时，四边形PBQD是菱形. 解法二：PD=8-t 当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm， ∴ ， ∴ ， 解得 ,即运动时间为 秒时，四边形PBQD是菱形. 16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 π？ 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3， ∴顶点O运动过程中经过的路程为 . 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 =1+π. 正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为 . 问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为 ∴ π=20× π+ π. ∴正方形纸片OABC经过了81次旋转. 17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F． （1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？ （2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由． 【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA． （2）四边形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形． 18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标; (2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由． 【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝ AB＝ ，在Rt⊿APB中，PA＝ AB＝ 。∴点P的坐标为（ ， ） （2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上； （3） ＜h≤ 。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为 ，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为 ，然后又逐渐减小到 ，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P到x轴的距离的取值范围是 ＜h≤ 。 19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OB=OD，…………………………………………1分 ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2分 ∴△OED≌△OFB， ∴DE=BF，………………………………………………………3分 又∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形，………………………………4分 ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形．………………………………………5分 20．（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）． （1）当t＝1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围． （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由S＝S梯形EGCG－SEBF－SFCG＝ (10＋2)×8－ ×10×4－ ×4×2＝24 (2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2） （3）如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＝8，解得t＝4，当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)， (3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若 ，即 ，解得t＝ ，又t＝ 满足0≤t≤2，所以当t＝ 时△EBF∽△GCF②若 ，即 ，解得t＝ ，又t＝ 满足0≤t≤2，所以当t＝ 时△EBF∽△GCF，综上知，当t＝ 或 时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似 21. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F. （1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值； （2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值. 【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD. ∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB= . （2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD. ∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE－PF=OF－BF= OB= . 22. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE= BE 【答案】证明：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60° ∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形 ∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE= BE 23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． ⑴求证：△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形． 【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC． 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴⊿ABF≌⊿ECF． （2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形． 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE． 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE， ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD． 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°． ∴口ABEC是矩形． 24. （2011江苏南通，26，10分）（本体满分10分） 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△ （如图2）. （1） 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形. 【答案】（1）AE′＝BF 证明：如图2， ∵在正方形ABCD中， AC⊥BD ∴∠ ＝∠AOD＝∠AOB＝90° 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′ ∴∠AOE′＝∠BOF′ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA ∴OE′＝OF′ ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′＝BF （2）作△AOE′的中线AM，如图3. 则OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM为等边三角形 ∴ MA＝MO＝ME′，∠ ＝∠ 又∵∠ ＋∠ ＝∠AMO 即2∠ ＝60° ∴∠ ＝30° ∴∠ ＋∠AOE′＝30°＋60°＝90° ∴△AOE′为直角三角形. 25. （2011山东临沂，22，7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F （1）求证：AC＝AD； （2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形； 【解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B， ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC，……………………………………………………………………（2分） ∴∠D＝∠DCE， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠D＝∠ACD，………………………………………………………………（3分） ∴AC＝AD；……………………………………………………………………（4分） （2）证明：∵∠B＝60°， ∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°， ∴∠DCE＝∠B＝60°，………………………………………………………（5分） ∴DC∥AB, ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形，……………………………………………（6分） 又由（1）知AC＝AD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形．……………………………………………………（7分） 26. （2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G． （1）求证：EF＝EG； （2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求 的值．[来源:学科网ZXXK] 图1 图2 图3 （1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°， ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1分） 又∵ED＝BE， ∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2分） ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3分） (2)成立．……………………………………………………………………（ 4分） 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I， 则EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5分） ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°， ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6分） ∴Rt△FEI≌Rt△GEH, ∴EF＝EG．………………………………………………………（7分） (3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ， 则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8分） ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ , …………………………………………（9分） ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°， ∴∠FEN＝∠GEM， ∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10分） ∴ ＝ ＝ ．…………………………………………（11分） 27. （2011上海，23，12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CF、AC． （1）求证：