蜗杆传动优化设计

机械最优化设计大作业三——蜗杆传动优化设计 蜗杆传动优化设计 班 级 08 工机 1 班 姓 名 罗 红 兵 学 号 20087587 作 业 西南交通大学峨眉校区 机械最优化设计大作业三——蜗杆传动优化设计 - 1 - 已知某普通圆柱蜗杆传动的输出轴扭矩 T2＝546550Nmm，工作平稳（载荷系 数 K＝1.1），齿数比 u=26.39，蜗轮齿圈材料为 ZQSn10-1，许用接触应力[σH] ＝180MPa，传动效率η＝0.85。试按照蜗轮齿圈体积最小的要求进行优化设计。 【提示】 1、蜗杆头数在 2～4之间； 2、蜗轮齿数在 30～80之间； 3、模数应满足 2≤m≤18 的要求； 4、蜗杆直径系数应满足 8≤q≤16 的要求； 5、蜗轮齿面接触强度计算公式为： 2 2 2 3 ][ 500        Hz KTqm  6、此例中蜗杆齿根弯曲强度可不予考虑； 7、蜗杆刚度校核公式： 5048 2 1 2 1 m L EJ FF y rt    其中：蜗杆支撑跨度 L=0.9d2=0.9muz1; 贯性矩 44 )4.2( 64  qmJ  ； 蜗杆圆周力 umq T Ft 2 1 2  ； 蜗杆径向力 muz T Fr 1 2 1 20tan2   弹性模量 E＝2.1×105MPa 【要求】 1、详细写出建模过程； 2、编写计算机程序求解，并将程序附在打印纸上。 3、要求独立完成，不得抄袭，一经发现，本次作业以零分记。 机械最优化设计大作业三——蜗杆传动优化设计 - 1 - 1. 建立数学模型 这是一个多变量约束的最优化问题，其数学模型用设计变量、目标函数和约 束条件来描述。 1.1 选取设计变量 取 3个独立的设计变量 1 2 3 1[ , , ] [ , , ] T TX x x x z m q  。 其中， 1z 为蜗杆的齿数；m为模数；q为直径系数。 1.2 建立目标函数 如右图所示，蜗轮齿圈的结构尺寸包括：齿顶圆直径 ad ，齿根圆直径 fd ， 齿圈的外径 ed ，内径 0d 和齿宽b。 蜗轮齿圈的体积为 2 2 0( ) 4 eb d dV    式中： 2 1 1 6 6 2 2 2 e a m m d d mz m z z        ； 0 22 6.4fd d m mz m    ； 蜗轮齿数 2 1z uz ； 蜗轮的齿宽 1 ( 2)ab d m q    ，式中； 1ad 为蜗杆的顶圆直径； 为齿宽系数；当 1 1~ 2z  时， 0.75;  当 1 3 ~ 4z  时， 0.67  。 将上述关系代入蜗轮的齿圈体积计算式中，经过整理后的目标函数为 2 2 3 2 20 1 1 1 ( ) ( 2) 6 ( ) [( 2 ) ( 6.4) ] 4 4 2 eb d d m qF X V uz uz z             ， 由上式知，蜗轮齿圈的体积与蜗杆的齿数 1z ，模数m，直径系数q和传动 比u有关，由于传动比u已知，所以取 1, ,z m q为设计变量，目标函数为 3 2 22 3 1 1 1 ( 2) 6 ( ) [( 2 ) ( 6.4) ] 4 2 x x F X ux ux x          机械最优化设计大作业三——蜗杆传动优化设计 - 2 - 1.3 确定约束条件 1.31 蜗杆齿数的限制 对动力传动要求 1 2 ~ 4z  ， 因此有 1 1 2 1 ( ) 4 0 ( ) 2 0 g X x g X x        1.32 蜗轮齿数的限制 一般要求 2 1 30 ~ 80z uz  ， 因此有 3 1 4 1 ( ) 80 0 ( ) 30 0 g X ux g X ux        1.33 模数的限制 对于动力传动，要求2 18m  ， 因此有 5 1 6 1 ( ) 18 0 ( ) 2 0 g X x g X x        1.34 蜗杆直径系数的限制 对应上述模数范围，要求8 16q  ， 因此有 7 3 8 3 ( ) 16 0 ( ) 8 0 g X x g X x        1.35 蜗轮齿面接触强度的限制 根据蜗轮齿面接触强度条件有 3 2 2 2 500 ( ) [ ]H m q KT x   ，得 2 3 9 2 2 3 2 500 ( ) ( ) 0 [ ]H g X KT x x x     ， 式中，K为载荷系数； 2T 为蜗轮传递的转矩；[ ]H 为蜗轮齿圈材料的许 用接触应力。 1.36 蜗轮齿根弯曲强度的限制 由于蜗轮轮齿的齿根是圆弧形，抗弯 能力较高，很少发生蜗轮齿折断。所以，对闭式蜗杆传动，通常不再进行 蜗轮齿根弯曲强度计算。 1.37 蜗杆刚度的限制 要求蜗杆工作时最大挠度不大于 / 50m ，即 机械最优化设计大作业三——蜗杆传动优化设计 - 3 - 2 2 1 1 48 50 t rF F m y L EJ    ， 式中，蜗杆支承跨度 2 10.9 0.9L d muz  ； 惯性矩 4 4( 2.4) 64 J m q    ； 蜗杆的圆周力 21 2 t T F umq  ； 蜗杆的径向力 21 1 2 tan 20 r T F uz m   ； 材料的弹性模量 5E 2.1 10 MPa＝ 。 将上述关系式代入上式整理得 2 2 5 41 10 2 2 3 3 ( ) ( ) tan 20 5498 ( 2.4) 0 x g X T x x x      以上共有 8个边界约束条件和两个性能约束条件。 2. 求解 2.1 求解的基本思路 此模型为典型的非线性约束的最优化模型，所以采用 Matlab软件中求解约 束极小值的优化工具箱函数 fmincon 求解。在主程序中输入有关数据：初 始点 * * * * 1 2 3[ , , ] TX x x x 、设计变量的边界条件、线性不等式约束的设计 变量系数矩阵和常数向量，编制关于目标函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式的程序模块和 2 个非 线性不等式函数表达式的程序模块，用优化工具箱函数 fmincon 进行迭代 计算求得最优值。 2.2 优化求解 将题目已知的数据代入目标函数和约束不等式，得 3 2 2 2 3 1 1 1 6 min ( ) 0.589 ( 2) [(26.39 2 ) (26.39 6.4) ] 2 F X x x x x x         机械最优化设计大作业三——蜗杆传动优化设计 - 4 - 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 6 2 7 3 8 3 3 9 2 32 1 2 5 41 10 2 2 2 ( ) 4 0; ( ) 2 0; ( ) 26.39 80 0; ( ) 30 26.39 0; ( ) 18 0; ( ) 2 0; ( ) 16 0; ( ) 8 0; 6661 ( ) 0; ( ) 546550 1.3841 ( ) 0.132474 5498 ( 2.4) 0 g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x x x x g X x x x                                   经过分析，约束条件 1.31 和 1.32中有相互消极之处，故取两不等式中 1z 的交集，从而可将约束条件 1( ) 0g X  和 4 ( ) 0g X  去掉。最后得到三 维 8个不等式的非线性最小化问题。 2.3 优化计算 2.3.1编写目标函数 myfunction和非线性约束函数 myfunction的 M文件： function f=myfunction(x) f=0.589*x(2)^3*(x(3)+2)*((26.39*x(1)+2+6/(x(1)+2))^2-(26.39*x(1) -6.4)^2); function[c,ceq] = myfunctionb(x) c=[6661/x(1)^2-x(2)^3*x(3);546550*sqrt(1.3841*x(1)^2/x(3)^2+0.13 2474)-5498*x(2)^5*(x(3)-2.4)^4]; ceq=[]; 2.32 运行 将其余边界不等式写为向量形式表达，然后在命令窗口中调用 进行优化。 clc; clear all; x0=[2 7 11]; lb=[2 2 8]; ub=[80/26.39 18 16]; 机械最优化设计大作业三——蜗杆传动优化设计 - 5 - [x,f]=fmincon('myfunction',x0,[],[],[],[],lb,ub,'myfunctionb') 运行得到结果 x = 3.0315 3.5648 16.0000 f = 7.2238e+005 所以得 * * * * 1 2 3 * 5 3 [ , , ] [3.0315,3.5648,16.000] ( ) 7.2238 10 T TX x x x F X mm     对优化结果进行圆整，取离散最优解：蜗杆头数 1 3z  ，模数 4m  ，直 径系数 16q  ，则蜗轮齿圈的体积 * 6 31.010 10V mm  。经过检验， 离散最优解在可行域内。 3.总结 使用 Matlab 软件软件中求解非线性约束最小值的工具函数 fmincon， 对蜗杆传动进行优化，更容易能得到比较理想的设计尺寸。在保证性能不 降低的前提下降低传动装置的质量，对降低生产成本有很大的好处。 4.参考文献 【1】濮良贵．机械设计[M]．第八版．北京：高等教育出版社．2006． 【2】陈立德.机械设计基础[M].北京.：高等教育出版社，2006.