浅析柯西不等式的应用

浅析柯西不等式的应用 广州市育才中学 (510080) 邓军民 柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内 容，是高中数学的一个重要知识点；柯西不等式历史 悠久、形式优美、结构巧妙，是研究最值问题的一个 强有力的工具．笔者认为：学习柯西不等式，不应该 纯粹为了应付高考，主要目的是为了提高学生本身 的数学探究能力、创新能力、实践能力等，以进一步 开阔学生的数学视野、培养学生的创新思维、激发学 生的学习兴趣、提高学生的数学素质． 柯西不等式：设 a。，a ，⋯，a ；b ，b ，⋯，6 为两 组实数，约定 a ≠0(i=1，2，3，⋯， )，则 (a1bl+a2b2十⋯ +anb ) ≤ (a +a +⋯ + a：)(b +6 +⋯ +b ) 当且仅当 ：一b2 ： ⋯ ： 一 bn时取等号 ． a 1 a 3 Ⅱ 应用一．通过适当的配凑，直接套用柯西不等 式解题． 利用柯西不等式解决某些数学问题，快捷方便， 事半功倍．但众所周知，世上万物，均是有差异的，数 学题也一样，要准确识别这些差异，准确抓住问题的 个性化特征，通过形似问题研究，进行归纳、思辨，提 高学生的解决问题的能力，以激发学生的探究热情、 优化学生的认知结构．所以学生要学好柯西不等式， 必须先学好柯西不等式的基本应用，在有差异的数 学题中，去发现他们的共性，找到解决问题的通法． 例 1 函数 =3／x一1+4 一 的最大值 为— — ． 解析：依题意知Y>0且 ∈[1，5]，所以由柯西 不等式得 ： Y = (3 、 + 4 _= ) ≤ (3 + 4 )[(、 ) +( )]= 100，当且仅 当 — U — x - 一 1 = — ~／ 5--X即 = 61时取等号 ，所以函数 = 3 一1+4 5一 的最大值为 10． 点评：利用柯西不等式求最值，确实显得干净利 索，像这种直接套用柯西不等式即可解决的题目，难 度不大，在数学高考中很有可能出现，那么掌握好柯 西不等式的正确应用，就显得尤为重要了． 变式 1．函数Y=3 一1+~，／35—7x的最大 值为一 解析：依题意知Y=3~／ 一1+√7· 5一 > 0且 ∈[1，5]，所以由柯西不等式得： y2： 『3 + · ] ≤ [3 + ( ) ][( ) +( ) ]=64， 当且仅当 =—V／5 — -- ~即 = 时取等 号，所以Y=3 一1+,／35—7x的最大值为 8． 变式2．(2008年全国卷I理科)若直线 +÷ = 1通过点 M(COSO／，sina)，则( ) A．o +b ≤ 1 B．a2+b ≥ 1 c． 1 + 1 ≤ 1 D ． 1 + 1 a a o ≥ 1 D 解析：将点M的坐标代入直线 +÷ =1得： 1=(一COSO／+sm z a ，) =(COS · +sin ·÷) ≤ (。。 z + inZot)(_I_1 2 +苦)，所以． +去≥1． 点评：此题是一道很漂亮的和解析几何知识相 关的选择题，解法不止一种．命题者的初衷或许是想 考查直线和圆的位置关系，但是很多考生一时很难 发现点M(COSOt，sina)就是单位圆上的一个动点，很 难想到利用该直线和圆的位置关系是相交或相切 (圆心到直线的距离小于或等于半径)这个方法来 处理．但是如果我们灵活借助柯西不等式来进行处 理，很完美地避开了解析几何知识，轻车熟路的几步 代数推理，就使问题迎刃而解了． 应用二．巧用柯西不等式的变形公式解题． 很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、 基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而 如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低 问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟 悉的目的．我个人认为，学习柯西不等式，仅了解柯 西不等式的基本公式还是不够的，学生必须掌握下 面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和 不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过 程中更快更准地解决问题． 柯西不等式变形公式：约定 a >0(i=1，2， 3⋯，n)，则 堕+堕+堕+⋯+堡≥ 0 l o2 a 3 a L譬 ÷ ，当且仅当 ： ：⋯ 口1 + 口2 + 口3 + ⋯ + a 。 口1 口2 = 时取等号． an 例2 (2007年广州市一模理科)已知a，b>0， 且 a+b=1，则 1／2a+1／b的最小值为— —一 解析：‘．‘a，b>0，且 n+b=1，由柯西不等式 知 ： + = + ≥ = 3 2a b b b + ， 。 0 。 0 + 2 。 一’ 当且仅当 丝 ：了1 ，即 n： 一l，6：2一 时取 等号， 所以 1／2a+1／b的最小值为3／2+ ． 【点评】此题可以通过适当配凑，利用柯西不等 式的基本形式或均值不等式去处理，但是笔者个人 觉得比较繁琐，如果直接套用这个变形公式，解题速 度更快，准确率更高．毕竟高考考场时间有限，能够 在解题过程中节省时间并提高准确率，是最明智的 做法． 96137X 变式 1．(2009年广州市一 2010 ， ‘ ， 006 c ∈R，且 a+b+C：2，a +26 +3c =4，jJ{U a 取 值范围为— ． 解析：依题意知：b+c=2一a，2b +3c =4一 。 ，由柯西不等式得：4一a2=2b +3c = + ≥ = (2 2 9所以5(4_a2)I>6(2一 a) ， 化简得：1la 一24a+4≤0，解得：2／11≤a≤ 2，所以a的取值范围为[2／11，2]． 变式 2(2008年全国卷 II理科第 21题节选)设 椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，n(o，1)是它的两个 顶点，直线Y=kx(k>0)与A曰相交于点D，与椭圆 相交于E、F两点．求四边形 AEBF面积的最大值． 解：依题意知：椭圆的方 2 程为等+Y =1，I BD I=1， I AO I=2．由椭圆的对称性 易知四边形 AEBF的面积等 一 O ．q．-．--f／A一 ／ 于四边形 AOBF的两倍 ，设点 F( ，y)( >0)，所以 四边形AEBF的面积S=2(S△0口F+S△DA，)= +2y， 又因为 =等+y =等+ ≥ = ， ． ． ． +2y≤24Y，所以四边形 BF的面 积的最大值为2√ ，当且仅当 ／4=2y／4即 =√ 时取等号． 中系数 究 1955年2月创刊 1982年1月复刊 复刊第342期 2010年 6月 10日出版 主 办：华南师范大学数学科学学院 广东省数学会 主 管：华南师范大学 协 办：广东教育学会中学数学教学专业委员会 编辑出版者 ：华南师范大学数学科学学院 《中学数学研究》编辑部 杂志社社长 ：丁时进 主 编：林长好 印 刷：广东省农垦总局印刷厂 总 发 行 处 ：广东省发行局 发行：在全国范围内发行 订阅、零售处：全国各地邮局 (所 ) liiiiIi 电话：(020)85211343 传真：85216705 邮编：510631 地址：广州市天河区中山大道西华南师范大学数学科学学院 E—mail：zhongxueshuxueyanjiu@126．corn 邮发代号：46-82 统一刊号：CN44—1140／O1(国内)ISSN1671—4164(国际)定价：4．80~