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题
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六 不等式解答题的解法你身边的高考专家考题剖析 >>考题剖析 >>试题特点 >>0315不等式解答题的解法应试策略 >>07试题特点 1.近三年高考各试卷不等式考查情况统计
2005年、2006年、2007年、 2008年高考卷的解答题中,每年都有不等式的题出现,但单独作为一个题的形式不是很多,2005年有3道,2007年的19套试卷中,也只有2道,是关于解不等式,处于第一个题的位置,属于容易题.而一般都是与其它知识综合,考查解不等式、证不等式,有一定的难度.不等式与数列、导数、解析几何、三角、函数等问题综合,其中与数列综合是最多的,但近两年出现了二项式的函数与不等式相结合的题.试题特点不等式解答题的解法试题特点 不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决
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,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯穿在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明.试题特点不等式解答题的解法试题特点 2.主要特点
不等式是中学数学的重要内容,在数学的各个分支中都有广泛的应用,是进一步学习高等数学的基础和重要工具,所以不等式一直是高考数学命题的重点和热点.历年高考试
题, 涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型:
①解不等式;
②证明不等式;
③取值范围问题;
④应用问题. 试题特点不等式解答题的解法试题特点试题特点 试题主要有如下特点:
(1)突出重点,综合考查.高考命题遵循在“知识与
方法
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的交汇点设计命题”,不等式能和所有的数学知识构成广泛的联系,因此高
考试题
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中不等式常与函数、数列、解析几何、三角等进行综合.
(2)高考突出主干知识和重要数学思想的考查,这是高考不变的立意.解含参数的不等式能较好地体现等价转化、分类整合、数形结合等数学思想.因此,含参数的不等式在历年高考中常考不衰.
(3)导数是解决不等式问题的强有力的工具,因此高考中加强了以导数为载体的导数、不等式、函数的综合.
(4)高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数、数列、立体几何、解析几何等试题中涉及不等式的知识,加强了不等式作为一种工具作用的考查.不等式解答题的解法应 试 策 略应 试 策 略应试策略 1.不等式的解法
在复习不等式的解法时,要加强等价转化思想的训练与复习.解不
等式的过程是一个等价转化的过程,通过等价转化可简化不等式(组),
以快速、准确求解.
(1)解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类
不等式的基础.必须熟练掌握,灵活应用.
(2)解高次不等式、分式不等式,首先使不等式一边是零,一边是
一次因式(一次项系数为正)或二次不完全平方式的积与商的形式(注
意二次因式恒正恒负的情况),然后用数轴标根法写出解集(尤其要
注意不等号中带等号的情形).应试策略不等式解答题的解法应试策略 (3)解绝对值不等式的常用方法:
①讨论法:讨论绝对值中的式子大于零还是小于零,然后去掉绝
对值符号,转化为一般不等式.
②等价变形:解绝对值不等式常用以下等价变形
|x|<a x2<a2 -a<x<a(a>0)
|x|>a x2>a2 x>a或x<-a(a>0)
一般地有:|f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)
|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
(4)对于解含参数不等式,要充分利用不等式性质.对参数的讨论,要不“重复”不“遗漏”.一要考虑参数总的取值范围,二要用同一
标准
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对参数进行划分,三要使得划分后,不等式的解集的表达式是确定的.应试策略不等式解答题的解法应试策略 2.掌握算术平均数与几何平均数定理
[定理] 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”).
[定理] 如果a,b是正数,那么 (当且仅当a=b时,取“=”)
(1)二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转
化为“和式”的放缩功能.
(2)创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解
题技巧,而拆与凑的成因在于使等号能够成立.应试策略不等式解答题的解法应试策略 (3)“和定积最大,积定和最小”,即2个正数的和为定值,则可求
其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.
应用此结论求值要注意三个条件:
①各项或因式非负;
②和或积为定值;
③各项或各因式都能取得相等的值.
必要时要作适当的变形,以满足上述前提.应试策略不等式解答题的解法应试策略 3.不等式证明
在不等式证明中,加强化归思想的复习.证明不等式的过程是一个把
已知条件向要证明的结论的一个转化过程,既可考查学生的基础知识,
又可考查学生分析问题和解决问题的能力.正因为证明不等式是高考考查
学生代数推理能力的重要素材,复习时应引起足够重视.
(1)证明不等式的常用方法有:比较法、综合法、分析法和数学归纳
法.其他方法如:放缩法、反证法、换元法、判别式法证明不等式在高考
中不作过高要求.应试策略不等式解答题的解法应试策略 (2)比较法有求差比较法和求商比较法两种模式.求差比较法中的变
形可以变成平方和、常数、因式的积;求商比较法要注意对分母的符号
进行讨论.比较法在符号确定的前提下,可以转化为乘方问题来解决:如
果a,b>0,则a2>b2 a>b.
(3)利用综合法、分析法证明不等式经常使用的基本不等式有:
①a2≥0,a∈R;
②a2+b2≥2ab,a,b∈R;
③ , a,b∈R+;应试策略不等式解答题的解法应试策略 ④a+b+c≥3 ,a,b,c∈R+;
利用基本不等式的变式:
①
② ,(其中a,b∈R+).
分析法是从要证的结论入手,寻找其充分条件,即执果索因;综合
法为分析法的逆过程,即由因导果;复杂的不等式证明要注意几种方法
的结合使用.
(4)涉及到数列或与自然数有关的不等式可考虑数学归纳法的运用,涉
及到函数的不等式可考虑构造函数,应用导数来解决.应试策略不等式解答题的解法考 题 剖 析考 题 剖 析考题剖析考题剖析1.(2007·石家庄质检题)解关于x的不等式:x|x-a|≤ (a>0). [解析]当x≥a时,不等式可化为
即 ∴a≤x≤
当x
. [分析] 因为x∈R,故|f(x)|的最小值若存在,则最小值由顶点确定,故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0). [证明] 由题意知,a≠0.设f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则f(x0)=
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根,故
Δ1=(b+1)2-4ac<0,Δ2=(b-1)2-4ac<0.
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即2b2+2-8ac<0,
即b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.
故不等式解答题的解法考题剖析由b2-4ac<-1<0可知当x∈R时,
|f(x)|≥|f(x0)|.所以|f(x)|>
即|ax2+bx+c|> 成立考题剖析 [点评] 从上述例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设条件,合理采取二次函数的不同形
式,那么我们就找到了一种有效的证明途径.不等式解答题的解法考题剖析考题剖析3. (2007·广东中山市模拟题)已知数列{an}中a1=2,
an+1=( -1)(an+2),n=1,2,3,….
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn+1= ,n=1,2,3,….
证明: 0,a≠1)是区间[a+2,a+3]上的两个函数.
(1)求a的取值范围;
(2)讨论f1(x)与f2(x)在区间[a+2,a+3]上是否是接近的.考题剖析不等式解答题的解法考题剖析 [解析] (1)∵a>0且a≠1,当x∈[a+2,a+3]时,
要使函数f1(x)=loga(x-3a)有意义, ∴a+2-3a>0,即a<1 ①
要使函数f2(x)=loga 有意义, ∴a+2-a>0,即a∈R ②
由①和②得0logag(x2).
设h(x)=loga(x2-4ax+3a2),
则h(x)在区间[a+2,a+3]上是减函数,
∴[h(x)]max=h(a+2)=loga(4-4a),
[h(x)]min=h(a+3)=loga(9-6a),不等式解答题的解法考题剖析∴③式成立的充要条件是:
∴当a∈(0, ]时,
f1(x)与f2(x)在区间[a+2,a+3]上是接近的;
当a∈( ,1)时,f1(x)与f2(x)在区间[a+2,a+3]上是非接近的.考题剖析 [点评]高考题中常常出现和高中知识有关的新的定义,本题中定义了两个函数在区间上接近的定义,解题时必须先搞懂两个函数在区间上接近的定义.对数的运算是学生的一个薄弱环节,本题涉及到对数的运算.二次函数的最值问题也是重点内容之一.不等式解答题的解法考题剖析 5.(2007·惠州市调研一)已知函数f(x)的导数f ′(x)满足
0α时,总有f(x)α,
则β-α=f(β)-f(α),
在α与β之间必存在一点c,α0,∴h(x)为增函数.
又∵h(α)=α-f(α)=0,∴当x>α时,h(x)>0,即x>f(x). (3) 不妨设x1≤x2,∵0
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