对称性在三重积分计算中的应用

2003 年 12 月 第 15 卷 　第 4 期 　　　　　　　　 沈阳大学学报 JOURNAL OF SHENYANG UNIVERSITY　　　　　　　　 Dec . 2003 Vol . 15 　№. 4 对称性在三重积分计算中的应用Ξ 梁应仙1 ,辛兰芬2 (1. 沈阳大学 基础课部 ,辽宁 沈阳 　110044 ;2. 大连商务职业学院 ,辽宁 大连 　116039) 〔摘 　要〕将空间区域的对称性应用于三重积分的计算之中 ,归纳出了利用对称性计 算三重积分的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。 〔关键词〕对称性 ;奇函数 ;偶函数 ;多重积分 〔中图分类号〕O 241. 83 　　〔文献标识码〕A 　　〔文章编号〕1008 - 9225 (2003) 04 - 0100 - 02 　　重积分 ,尤其是三重积分的计算 ,有时候是相 当烦琐的 ,如果能够像将对称性应用于定积分的 计算之中一样 ,将对称性应用于重积分的计算之 中 ,就可以大大地简化其计算。本文通过对空间 区域中对称性及其多元函数的奇偶性的定义 ,归 纳出了利用对称性计算三重积分的方法。 1 　空间对称区域 (1)若对 Π ( x , y , z) ∈Ω , ϖ ( x , y , - z) ∈Ω , 则称空间区域Ω关于 xOy 面对称 ;利用相同的方 法 ,可以定义关于另外两个坐标面的对称性。 (2)若对 Π ( x , y , z) ∈Ω , ϖ ( - x , - y , z) ∈ Ω ,则称空间区域Ω关于 z 轴对称 ;利用相同的方 法 ,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性。 (3)若对 Π ( x , y , z) ∈Ω , ϖ ( - x , - y , - z) ∈Ω ,则称空间区域Ω关于坐标原点对称。 (4)若对 Π ( x , y , z) ∈Ω , ϖ ( y , z , x) , ( z , x , y) ∈Ω ,则称空间区域Ω关于 x , y , z 具有轮换对 称性。 2 　空间对称区域上的奇偶函数 设 f ( x , y , z)是定义在空间区域Ω上的三元 函数。 (1)若满足关系式 f ( x , y , - z) = - f ( x , y , z) ,则称 f ( x , y , z) 是关于 z 的奇函数 ;满足关系 式 f ( x , y , - z) = f ( x , y , z) ,则称 f ( x , y , z) 是关 于 z 的偶函数。利用相同的方法 ,可以定义关于 x 或 y 的奇、偶函数的定义。 (2) 若满足关系式 f ( - x , - y , z) = - f ( x , y , z) ,则称 f ( x , y , z) 是关于 x , y 的奇函数 ;满足 关系式 f ( - x , - y , z) = f ( x , y , z) ,则称 f ( x , y , z)是关于 x , y 的偶函数。利用相同的方法 ,可以 定义关于 y , z 或 z , x 的奇、偶函数的定义。 (3)若满足关系式 f ( - x , - y , - z) = - f ( x , y , z) ,则称 f ( x , y , z) 是关于 x , y , z 的奇函数 ;满 足关系式 f ( - x , - y , - z) = f ( x , y , z) ,则称 f ( x , y , z)是关于 x , y , z 的偶函数。 (4) 满足关系式 f ( x , y , z) = f ( y , z , x ) = f ( z , x , y) ,则称 f ( x , y , z)具有轮换对称性。 3 　奇偶函数在空间对称区域上的积分 (1)若空间区域 Ω关于 xOy 面对称 ,则当 f ( x , y , z)在Ω上是 z 的奇函数时 ,µΩ f ( x , y , z) d v = 0 ; 　　　　　　　　 当 f ( x , y , z)在Ω上是 z 的偶函数时 ,µΩ f ( x , y , z) d v = 2 　µΩ1 f ( x , y , z) d v , 其中 Ω1 是在 xOy 面上侧的部分。 (2) 若空间区域Ω关于 z 轴对称 ,则当 f ( x , y , z)在Ω上是 x , y 的奇函数时 ,µΩ f ( x , y , z) d v = 0 ; 当 f ( x , y , z)在Ω上是 x , y 的偶函数时 ,µΩ f ( x , y , z) d v = 2 　µΩ1 f ( x , y , z) d v , 其中 Ω1 是Ω位于过 z 轴的平面一侧的部分。 (3)若空间区域 Ω关于坐标原点 O 对称 ,则 当 f ( x , y , z)在Ω上是 x , y , z 的奇函数时 ,µΩ f ( x , y , z) d v = 0 ; 当 f ( x , y , z)在Ω上是 x , y , z 的偶函数时 , 001 Ξ 〔收稿日期〕2003 - 03 - 21 　　〔作者简介〕梁应仙 (1963 - ) ,男 ,黑龙江尚志人 ,沈阳大学讲师。 µΩ f ( x , y , z) d v = 2 　µΩ1 f ( x , y , z) d v , 其中Ω1 是Ω位于过原点 O 的平面一侧的部分。 (4)若空间区域 Ω具有轮换对称性 , f ( x , y , z) = f 1 ( x , y , z) + f 1 ( y , z , x) + f 1 ( z , x , y) 则 µΩ f ( x , y , z) d v = 3µΩ f 1 ( x , y , z) d v 范例 1 　计算三重积分 µΩ zln ( x2 , y2 , z2 ) d v , 其中Ω是由平面 x + y2 - z 3 = 1与三个坐标 面所围成的四面体。 [解 ]积分区域Ω关于 xOy 面对称 ,被积函数 zln ( x2 + y2 + z2 )是 z 的奇函数 ,所以µΩ zln ( x2 , y2 , z2 ) d v = 0 范例 2 　计算三重积分 µΩ xyz2 d v ,其中 Ω是 由曲面 y = x3 及平面 x = 0 , y = ±1 , z = 0 和 z = 1 所围成的空间闭区域。 [解 ]积分区域 Ω关于 z 轴对称 ,被积函数 xyz2 是 x , y 的偶函数 ,将Ω在第一卦限中的部分 记作Ω1 ,则µΩ xyz2 d v = 2µΩ1 xyz2 d v = 2∫1Od z∫1Od x∫1 x 3 xyz2 d y = 2∫ 1 O z 2 d z∫ 1 O x y2 2 1 x 3　d x = 2∫ 1 O z 2 d z∫ 1 O x ( 12 - x 6 2 ) d x = 2∫ 1 O ( x 2 4 - x 8 16) 1 0　z 2 dz = 2∫ 1 O 3 16 z 2 dz = 216 z 3 1 0　 = 1 8 范例 3 　计算三重积分µΩ xyzd v ,其中Ω是由 平面 x3 + y 2 + z = 1 , x = 0 , y = 0 , z = 0 所围成 的四面体。 [解 ]积分区域Ω关于坐标原点对称 ,被积函 数 xyz 是 x , y , z 的奇函数 ,所以 µΩ xyzd v = 0 范例 4 　计算三重积分µΩ zln ( x2 + y2 + z2 + 1)x2 + y2 + z2 + 1 d v ,其中Ω是由球面 x2 + y2 + z2 = 1 所围成的空间闭区域。 [解 ] 积分区域Ω关于 xOy 面对称 ,被积函数 zln ( x2 + y2 + z2 + 1) x 2 + y2 + z2 + 1 是 z 的奇函数 , 所以 µΩ zln ( x2 + y2 + z2 + 1)x2 + y2 + z2 + 1 d v = 0 范例 5 　计算三重积分 µΩ xzd v ,其中Ω是由 曲面 y = x2 及平面 z = y , z = 0 和 y = 1 所围成 的空间闭区域。 [解 ]积分区域Ω关于 yOz 面对称 ,被积函数 xz 是 x 的奇函数 ,所以 µΩ xzd v = 0 上述方法还可用于曲线积分和曲面积分的计 算之中 ,由于篇幅的关系 ,这里不再叙述。 〔参考文献〕 [1 ]同济大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 教研室. 高等数学 (2) 第四版 [M] . 北京 : 高等教育出版社 ,1998. 128 - 140. [2 ]李梅 ,王福忠 ,郝一凡. 高等数学学习指导 [M] . 沈阳 : 辽宁大学出版社 ,1998. 300 - 312. [3 ]王文涛 ,车向凯. 高等数学 [M] . 沈阳 :东北大学出版 社 ,1999. 264 - 275. [4 ]赵树源. 微积分 [ M] . 北京 :中国人民大学出版社 , 1987. 347 - 362. [5 ]教育部高等教育司. 高等数学 (2) [M]. 北京 :高等教育 出版社 ,1998. 231 - 239. The application of symmetry in the calculation of triple integral LIANG Ying2xian1 ,XIN Lan2fen2 (1. Department of Basic Courses ,Shenyang University ,Shenyang 110044 ,China ;2. Dalian Business Vocation Col2 lege ,Dalian 116039 ,China) 〔Abstract〕This essay deduces a way of calculating triple integral by the use of symmetry ,by defining the symmetry of 32degree area ,and applying it to the triple integral computation. 〔Key words〕symmetry ;odd2function ;even2function ;triple integral 【责任编辑 　刘晓鸥】 101 　　　　　　　　　　　梁应仙 　对称性在三重积分计算中的应用 　　　　　　　　　　第 4 期