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三次函数性态的五个要点

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三次函数性态的五个要点三次函数性态的七点思索 三次函数性态的五个要点 厦门六中 黄银旺 三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a>0,a、b、c、d∈R) ,近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具,有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态,凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念,本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。 要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数 简析:若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f...

三次函数性态的五个要点
三次函数性态的七点思索 三次函数性态的五个要点 厦门六中 黄银旺 三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a>0,a、b、c、d∈R) ,近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具,有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态,凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念,本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。 要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数 简析:若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x)),则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),称点x0为极大值点(或极小值点)。 据此有结论:三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点要么有两个,要么不存在极值点。 论证如下: 令f′(x)=3ax2+2bx+c,y=f(x)的极值点就是方程 f/(x)=0的实根。 ①当Δ=4b2-12ac>0时,方程f/(x)=0有两个不等的实根,记为x1、x2,则x1、x2是f(x)在(-∞,+∞)上的两个极值点; ②当Δ=4b2-12ac =0时,该方程有两个等根:x1=x2=x0,由下表可知y=f(x)在(-∞,+∞)上单调增,此时y=f(x)没有极值点; x (-∞,x0) x0 (x0,+∞) f/(x) + 0 + f(x) ↗ ↖ ③当Δ=4b2-12ac<0时,f/(x)=0无实根,f(x)没有极值点,结论得证。 [试题链接]:错解剖析 例1.(2004年湖北高考文考卷)已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c的图象相切,(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);(Ⅱ)设函数F(x)=f(x).g(x)在(-∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围。 解:(Ⅰ)依题意,函数f(x)=x+b的斜率为1, ∴g′(x)=1,得2x+b=1,故x=(1-b)/2为切点的横坐标, 将x=(1-b)/2分别代入f(x)、g(x)的函数解析式, 得 f[(1-b)/2]=g[(1-b)/2], 化简为(b+1)2=4c ∵b>-1,c>0, ∴b=-1+2c1/2 (Ⅱ)F(x)=f(x).g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc, F′(x)=3x2+4bx+b2+c=0, 令3x2+4bx+b2+c=0,Δ=16b2-12(b2+c)=4(b2-3c), 当Δ=0时,则F′(x)=0有两个等根x0; 当Δ>0时,F′(x)=0有两个不等的实根x1、x2( 设x1<x2), 综上所述,当且仅当Δ≥0时,函数F(x)在(-∞,+∞)上有极值点。 由Δ=4(b2-3c)≥0得b≤- 3c或b≥3c。 ∵b=-1+2c,∴-1+2c≤3c或-1+2c≥3c,解之得0<c≤7-4•31/2或c≥7+4•31/2,故所求c的范围是(0,7-4•31/2]∪ [7+4•31/2,+∞) 点评:第一小问解的好,但第二小问的解答却出了一点错误,错因剖析如下: 把函数有极值的问题转化为一元二次方程F/(x)= 3x2+4bx+b2+c=0有实根,即Δ≥0。忽略了极值存在必须检验F′(x)的符号这一重要细节, 若Δ=0,则F′(x)=0有一对等根x0,F/(x)的取值符号如下表: x (-∞,x0) x0 (x0,+∞) F/(x) + 0 + F(x) ↗ ↗ 可知x=x0不是函数F(x)的极值点。 (Ⅱ)正确解法如下: ∵F(x)=f(x).g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc, ∴ 令F′(x)=3x2+4bx+b2+c=0 ①当Δ=16b2-12(b2+c)>0时, F′(x)=0有两个不等的实根x1、x2( 令x1<x2), F′(x)的取值变化如下表: x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x1 (x1,+∞) F/(x) + 0 - 0 + F(x) ↗ ↘ ↗ ∴ x=x1是函数F(x)的极大值点,x=x2是它的极小值点。 由Δ=4(b2-3c)>0得b<- 3c或b>3c, b=-1+2c代入得0<c< 或c> 。 ②.当Δ=0时, F/(x)=0有一对等根x0,F/(x)的取值规律如下表: x (-∞,x0) x0 (x0,+∞) F/(x) + 0 + F(x) ↗ ↗ ∴函数F(x)此时不存在极值点。 综上所述可知,当且仅当 Δ>0时,F(x)在(-∞,+∞)上有极值点, ∴c的取值范围是(0, )∪( ,+∞) 点评与反思:洞察极值存在的细节,是成功解好本题的关键。 要点2.三次函数y=f(x)的图象与x 轴交点个数 交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d在实数集上怎样进行因式分解,记ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3), (ⅰ)若x1≠x2≠x3,则交点为3个; (ⅱ)若x1、x2、x3中有两个相等,不妨x1=x2≠x3,则交点为2个。 (ⅲ)若x1=x2=x3,则交点为1个; (ⅳ)若f(x)=a(x-x0)(x2+dx+e),且 有d2-4e<0,y=f(x)的图象与x轴只有一个交点。 [试题链接] 例2.(2000年春季高考题)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则( ) A .b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C .b∈(1,2) D. b∈(2,+∞) 略解:设f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x3-3x2+2x) ∴b=-3a,c=2a,d=0 ,又a>0,∴b<0,选(A ) 再看一题:如图,函数y=f(x)的图象如下,则函数f(x)的解析式可以为(   ) A)f(x)=(x-a)2(b-x) B)f(x)=(x-a)2(x+b) C)f(x)=-(x-a)2(x+b) D)f(x)=(x-b)2(x-a) 不难知,选(A) 又如运用“序轴法”解一元三次不等式x(x-1)(x-2)>0,易知x的范围是:(0,1)∪(2,+∞),我们都要先得出三次函数的图象与x轴的交点。 要点3.单调性问题 [试题链接] 例3.函数f(x)=x3/3+ax2/2+ax-2 (a∈R)在(-∞,+∞)上为单调增函数,求实数a的取值范围。 错解:令f´(x)=x2+ax+a>0在(-∞,+∞)上恒成立 ∴ =a2-4a<0得0<a<4 错因剖析:当f´(x)>0时,f(x)为增函数,但反之未必为真。 举一反例:函数f(x)=x3是实数集R上的增函数,但f′(0)=3x2∣x=0=0。 回过来看例3,Δ=a2-4a≤0,得a∈[0,4]为它的解。 说明1:设f(x)在区间D上可导,则f(x)在区间D上递增(或递减)的充要条件是:f´(x)≥0 (或f´(x)≤0)注释① 说明2:在本例题中,当a=0时,f(x)=x3显然在R 上单调增;当a=4时,f(x)=x3/3+2x2+4x-2=(x3+6x2+12x-8)/3+2/3=(x-2)3/3+2/3 不难知函数y=x3/3的图象按向量a=(2, )平移就可得到y=f(x)的图象。可见a=0、a=4也是解。 例4.已知函数f(x)=x3/3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在实数集R上是增函数,求实数m的取值范围。 解:∵y=f(x)在R上是单调增函数 ∴f´(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7≥0在R上恒成立, Δ=… =m2-6m+8≤0得2≤m≤4 小结:三次函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a>0,a、b、c、d∈R)为R上的增函数,图象可分为两种形式:其一是由y=ax3的图象平移而得;其二是由函数y=ax(x2+sx+t)(a>0,s,t∈R且t≠0,s2-3t≤0)的图象平移而得。 附注:y=ax(x2+sx+t)=ax3+asx2+atx      y´=3ax2+2asx+at≥0在R上恒成立,∴Δ≤0,   得 s2≤3t。而x2+sx+t>0在R上恒成立,得s2-4t<0。 s2≤3t比s2-4t<0更进一步。 这也就是为什么附属条件不是s2-4t<0而是s2≤3t的原因。 要点4.三次函数f(x)图象的切线条数 [试题链接] 例5.已知曲线y= x3/3+4/3,求曲线在点(2,4)处的切线方程 解:f´(x)=x2,f´(2)=4, 曲线在点(2,4)处的切线斜率为k=f´(2)=4 ∴代入直线方程的斜截式,得切线方程为:y-4=4(x-2),  即 y=4x-4 变式:已知曲线y=x3/3+4/3,则曲线过点(2,4)的切线方程——————。 错解:依上题,直接填上 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 4x-y-4=0 错因剖析:如下图所示,在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。 点(2,4)在曲线y=x3/3+4/3上,它可以是切点也可以不是。 正确解法:设过点(2,4)的切线对应的切点为(x0,x03/3+4/3), 斜率为k=x02,切线方程为y -(x03/3+4/3 )=x02(x-x0) 即y=x02x- 2x03/3+4/3 点(2,4)的坐标代入,得4=2x02- 2x03/3+ 4/3, 2 x03-6 x02+8=0 , ∴x03-3x02+4=0, 又∵x03+1-(3x02-3)=0 (x0+1)(x02-x0+1)-3(x0-1)(x0+1)=0 ∴(x0+1)(x02-4x0+4)=0 ∴x0=-1或x0=2 ∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0 点评:一个是“在点(2,4)”、一个是“过点(2,4)”,一字之差所得结果截然不同。 要点5.融合三次函数和不等式,创设情境求参数的范围. [试题链接]: 例6.已知函数f(x)= x3/3+ ax2/2+ax-2(a∈R),设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点,若直线AB的斜率不小于- 5/6 ,求实数a的取值范围。 解:kAB=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[(x13-x23)/3+a(x12-x22)/2+a(x1-x2)]/(x1-x2) =(x12+x1x2+x22)/3+a(x1+x2)/2+a≥-5/6在实数集上恒成立。 x12/3+(x2/3+a/2)x1+x22/3+ax2/2+a+5/6≥0在实数集上恒成立, 2x12+(2x2+3a)x1+2x22+3ax2+6a+5≥0 Δ=4x22+12ax2+9a2-8(2x22+3ax2+6a+5) =-12x22-12ax2+9a2-48a-40≤0在实数集上恒成立, 即12x22+12ax2-9a2+48a+40≥0在实数集上恒成立, Δ=144a2-48(-9a2+48a+40)≤0, 得实数a的取值范围是2-661/2/3≤a≤2+661/2/3。 类似的试题再来一道: 例7.已知函数f(x)=-x3+ax2+b,(a,b∈R)图象上任意两点的连线斜率小于1,求证:a2<3。 证明:对任意x1,x2∈R,k=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2) =-[x12+x1x2+x22-a(x1+x2)] <1, 即x12+(x2-a)x1+x22-ax2+1>0,对x1∈R恒成立, Δ=(x2-a)2-4(x22-ax2+1)<0对x2∈R恒成立, 即3x22-2ax2+(4-a2)>0对x2∈R恒成立, Δ=4a2-12(4-a2)<0,a2<3。得证。 本文结合有关试题探讨了三次函数的性态,分析了命题的规律,未尽之处敬请指教。 注①:函数单调性的充要条件引自华东师范大学数学系编 《数学分析》上册,第三版第123页 定理6.3)
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分类:高中数学
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