中考数学压轴题大集合[1]

2008年5月24-25日辅导试题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1)​ 求证：E点在y轴上； (2)​ 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3)​ 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴ 又∵DO′+BO′=DB ∴ ∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵ ，∴ ∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上 方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2① 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ② 联立①②得 ∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上 （2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3） E（0，-2）三点，得方程组 解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。 同（1）可得： 得：E′F=2 方法一：又∵E′F∥AB ，∴ S△AE′C= S△ADC- S△E′DC= = =DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′ ∴S=3+k为所求函数解析式. 证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2 同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴ ∴S=3+k为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为 的圆与y轴交于A、D两点. （1）求点A的坐标； （2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ； （3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若 ，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到 轴的距离为 .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM＝ ，OM＝1， 在Rt△AOM中，AO＝ ， ∴点A的坐标为A（0，1） （2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1　　∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1　　　　∴B（—1，0）， AB＝ 在△ABM中，AB＝ ，AM＝ ，BM＝2 ∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB是⊙M的切线 （3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝ ，AC＝2 ， ∴BC＝ ∵∠BAC＝90°　∴△ABC的外接圆的直径为BC， ∴ 而 　 　 ， 设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5 由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5） ∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5 又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5 因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 由已知得 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5. 3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线 过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧 的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. [解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M. 　在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° 的长＝ （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝ . 又OM=1，∴A（1－ ，0），B（1＋ ，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上， 则C(1，－3). 点A、B、C在抛物线上，则 　　解之得 抛物线解析式为 （3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD. 又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）. 又点D（0，－2）在抛物线 上，故存在点D（0，－2）， 使线段OC与PD互相平分. 4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0， ）在 轴的正半轴上，A、B是 轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在 轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. [解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB， ∴△AOC≌△COB. ∴OC2＝OA·OB. ∵OA∶OB＝3∶1,C(0, ), ∴ ∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 则 解之，得 ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 (2)EF与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF. ∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切. (3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO. ∴ ∴ 解之，得 此时，四边形OPMN是正方形. ∴ ∴ 考虑到四边形PMNO此时为正方形， ∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故 轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且 或 5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E( ， )，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上； (2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 参考用) [解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y= x+1. 将点E的坐标E( ， )代入y= x+1中，左边= ，右边= × +1= ， ∵左边=右边，∴点E在直线y= x+1上，即点A、C、E 在一条直线上. （2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为 ，且P在矩形ABCD内部，∴1＜ ＜3，由1＜1— 得— ＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下. （3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴ GO·AO— FO·AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2= ＜0，∴x1＜0＜x2， ∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， 即x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴— =6， ∴b= —6a, ∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴— ＜a＜0. ∴x=0或x= =6+ . 当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交 点，则有：0＜6+ ≤ ，解得：— ≤a＜— 综合得：— ＜a＜— ∵b= —6a，∴ ＜b＜ 6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求⊙A的半径； （2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式； （3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标； （4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式. [解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º 再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝ (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx 任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45º可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝ ，易得C(2，0)或C(－2，0) 由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分 (3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2， 又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2) (4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝ 同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m； ∴S＝ 又若C(－2，0)， 此时l为y＝x，同理可得；S＝ 7.（2006江苏连云港）如图，直线 与函数 的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点． （1）若 的面积是 的面积的 倍，求 与 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在 和 ，使得以 为直径的圆经过点 ．若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由． [解]（1）设 ， (其中 )， 由 ，得 ∴ · · ( · · · · )， ， 又 ，∴ ，即 ， 由 可得 ，代入 可得 ① ∴ ， ， 　　　　　　 ∴ ，即 ． 又方程①的判别式 ， ∴所求的函数关系式为 ． （2）假设存在 , ，使得以 为直径的圆经过点 ． 则 ，过 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ． ∵ 与 都与 互余，∴ ． ∴Rt ∽Rt ，∴ ． ∴ ，∴ ， ∴ ， 即 ② 由（1）知 ， ，代入②得 ， ∴ 或 ，又 ，∴ 或 ， ∴存在 , ，使得以 为直径的圆经过点 ，且 或 ． 8.（2004江苏镇江）已知抛物线 与x轴交于两点 、 ，与y轴交于点C，且AB=6. （1）求抛物线和直线BC的解析式. （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若 过A、B、C三点，求 的半径. （4）抛物线上是否存在点M，过点M作 轴于点N，使 被直线BC分成面积比为 的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. [解]（1）由题意得： 解得 经检验m=1，∴抛物线的解析式为： 或：由 得， 或 抛物线的解析式为 由 得 ∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）. 设直线BC的解析式为 则 ∴直线BC的解析式为 (2)图象略. （3）法一：在 中， . 又 ∴ 的半径 法二： 由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线 的对称轴直线 上，设P（－2，－h）（h＞0）， 连结PB、PC，则 ， 由 ，即 ，解得h=2. 的半径 . 法三： 延长CP交 于点F. 为 的直径， 又 又 的半径为 （4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为 则点E的坐标为 若 则 解得 （不合题意舍去）， 若 则 解得 （不合题意舍去）， 存在点M，点M的坐标为 或（15，280）. 9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为 、 ，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3. (1)​ 若抛物线 经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标. (2)​ 求直线DF的解析式. (3)​ 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. [解] (1) ∵抛物线过A、B两点， ∴ ，m=3. ∴抛物线为 . 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. ∴D点坐标为 . (2) 由题意知：AB=4. ∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C点坐标为 . 设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC、GF是切线， ∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得CP=8. ∴P点坐标为 设直线DF的解析式为 则 解得 ∴直线DF的解析式为： (3) 假设存在过点G的直线为 ， 则 ，∴ . 由方程组 得 由题意得 ，∴ . 当 时， ， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在. 10.（2004山西）已知二次函数 的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. [解] （1）解：∵二次函数 的图象过点A（－3，6），B（－1，0） 得 　　　　　　　　　解得 ∴这个二次函数的解析式为： 由解析式可求P（1，－2），C（3，0） 画出二次函数的图像 （2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45° 又已知：∠DPC＝∠BAC　　　∴△DPC∽△BAC ∴ 　　易求 ∴ ∴ 　　　∴ 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD、 ∴ .　　　　　　易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2 ∴ ∴ 　　∴ （3）存在. （1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T ∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG＝MH＝OM 又∵ 且OM＋MC＝OC ∴ ∴ （2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′＋OC＝M′C， 得 　　　　∴M′ 即在x轴上存在满足条件的两个点. 11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）. （1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式. [解] （1） ，顶点坐标为（1，－4）. （2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3）， 即y＝ax2－2ax－3a， ∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a）， M（1，－4a）， ∴ S△ACB＝ ×4× ＝6 ， 而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、 作MD⊥x轴于D， 又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝ ·1·3a＋ （3a＋4a）－ ·2·4a＝a， ∴ S△ACM：S△ACB＝1：6. （3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k， 有菱形可知 ＝ ，a＋k＞0，k＜0， ∴ k＝ ， ∴ y＝ax2－2ax＋ ， ∴ . 记l与x轴交点为D， 若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝ ， ∴ k＝－ ，a＝ ， ∴ 抛物线的解析式为 . 若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝ ， ∴ k＝－ ，a＝ ， ∴ 抛物线的解析式为 . ②当抛物线开口向下时，同理可得 ， . 12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示b； （2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 [解] （1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线经过O、A两点 解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线 （2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为 ∴点D的坐标为（） ①当时， 如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为 ，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点 ∴D'O⊥OD ∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形 ∴点D的纵坐标为 ∴抛物线的解析式为 ②当时， 同理可得： 抛物线的解析式为 综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或 （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点P在抛物线上时（如图2） ∵点B是⊙D的优弧上的一点 过点P作PE⊥x轴于点E 由解得：（舍去） ∴点P的坐标为 ②当点P在抛物线上时（如图3） 同理可得， 由解得：（舍去） ∴点P的坐标为 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 或 13.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。 （1）如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为 ，求直线AC的解析式； （2）若⊙经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。 [解] （1）如图1，过O作于G，则 设 （3，0） AB是⊙的直径 切⊙于A， 在中 设直线AC的解析式为，则 直线AC的解析式为 （2）结论：的值不会发生变化 设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示 图2 则 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN 平分 的值不会发生变化，其值为4。 14.（2005福建厦门）已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝1＋. （1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值； (3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值. [解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m (1)​ 当n＝1时， s＝ ∴ a＝＝ (2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n＝ ∴ 1＋＝·an 即n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2 解2：∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n 设△OPQ的面积为s1 则：s1＝ ∴ ·mn＝(1＋) 即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2 (3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP 设：△OPQ的面积为s1，则 ＝ 即： eq \f(k,1＋) ＝ eq \f(n2＋, eq \f(4 (1＋), n2)) 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝(舍去) ∴当n是小于20的整数时，k＝2. ∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋ 又m＞0，k＝2， ∴ n是大于0且小于20的整数 当n＝1时，OP2＝5 当n＝2时，OP2＝5 当n＝3时，OP2＝32＋＝9＋＝ 当n是大于3且小于20的整数时， 即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是： 42＋、52＋、62＋、…、192＋ ∵192＋＞182＋＞…＞32＋＞5 ∴ OP2的最小值是5. 解2： ∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋ ＝n2＋ ＝(n－)＋4 当n＝ 时，即当n＝时，OP2最小； 又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5 ∴ OP2的最小值是5. 解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ ＝ ＝ 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝(舍去) 解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ ＝ 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝(舍去) 解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP ∴ ＝ ∴ OP2＝OQ·OA 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝(舍去) 15.（2005湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。 （3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。 （4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。 [解] （1）∵O、C两点的坐标分别为O ，C 　　　设OC的解析式为 ，将两点坐标代入得： 　　　 ， ，∴ 　　　　∵A，O是 轴上两点，故可设抛物线的解析式为 　　　再将C 代入得： ∴ （2）D （3）当Q在OC上运动时，可设Q ，依题意有： ∴ ，∴Q ， 当Q在CB上时，Q点所走过的路程为 ，∵OC＝10，∴CQ＝ ∴Q点的横坐标为 ，∴Q ， （4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为 ，则Q运动的路程为 △OPQ中，OP边上的高为： 梯形OABC的面积＝ ，依题意有： 整理得： 　　∵△＝ ，∴这样的 不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为 ，∴CQ的长为： ∴梯形OCQP的面积＝ ＝36≠84× ∴这样的 值不存在 综上所述，不存在这样的 值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积 16.（2005湖北荆门）已知：如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°， （1）求m的值及抛物线顶点坐标； （2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式； （3）在（2）条件下，设P为 上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由. [解] （1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0. 　　设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m　 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB　∴ ∴ ，即x1·x2＝－m2　 ∴－m2＝3m，解得　m＝0　或m＝－3　 而m＜0，故只能取m＝－3 这时， 故抛物线的顶点坐标为（ ，－4） （2）解法一：由已知可得：M（ ，0），A（－ ，0），B（3 ，0）， C（0,－3），D（0， 3） ∵抛物线的对称轴是x＝ ，也是⊙M的对称轴，连结CE ∵DE是⊙M的直径， ∴∠DCE＝90°，∴直线x＝ ，垂直平分CE， ∴E点的坐标为（2 ，－3） ∵ ，∠AOC＝∠DOM＝90°， ∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE，　　∴FG∥CB 由B（3 ，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为： y＝ －3　 可设直线FG的解析式为y＝ ＋n，把（2 ，－3）代入求得n＝－5 故直线FG的解析式为y＝ －5　 解法二：令y＝0，解 －3＝0得 x1＝－ ，x2＝3 即A（－ ，0），B（3 ，0） 根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2 ，　 M（ ，0） 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3 ，，OC＝3 ∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ∵DE⊥FG，　∴BC∥FG ∴∠EFM＝∠CBO＝30° 在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2 ，∠FEM＝30°， ∴MF＝4 ，∴OF＝OM＋MF＝5 ， ∴F点的坐标为（5 ，0） 在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5 × ＝5 ∴G点的坐标为（0，－5） ∴直线　FG的解析式为y＝ －5　 （3）解法一： 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12　 连结CP 由垂径定理可知 ， ∴∠P＝∠ACH （或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO） 又∵∠CAH＝∠PAC， ∴△ACH∽△APC ∴ 　即AC2＝AH·AP　 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（ ）2＋32＝12 （或利用AC2＝AO·AB＝ ×4 ＝12 ∴AH·AP＝12　 解法二： 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 设AH＝x，AP＝y 由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即 化简得：xy＝12 即　AH·AP＝12