高考数学压轴题集锦

高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点 （ ）的准线 与x轴相交于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 ，求直线 的方程； （3）设 （ ），过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明 . (14分) 2． 已知函数 对任意实数x都有 ，且当 时， 。 （1） 时，求 的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。 （2） 证明 是偶函数。 （3） 试问方程 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C： 。 （1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； （2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； （3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。 4.以椭圆 ＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0. （Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围. 6 已知过函数f（x）= 的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。 （1） 求a、b的值； （2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立； （3） 令 。是否存在一个实数t，使得当 时，g（x）有最大值1？ 7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱ ︱是2和 的等比中项。 （1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。 8．已知数列{an}满足 （1）求数列{bn}的通项公式； （2）设数列{bn}的前项和为S​n，试比较Sn与 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在 轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线 对称． （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线 与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线 经过M（-2，0）及AB的中点，求直线 在 轴上的截距b的取值范围； （Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点， 为双曲线C的左，右两个焦点，从 引 的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程． 10. 对任意 都有 （Ⅰ）求 和 的值． （Ⅱ）数列 满足： = + ，数列 是等差数列吗？请给予证明； （Ⅲ）令 试比较 与 的大小． 11. ：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且 12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋ 13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为 函数f(x)= (1). 求f( 的值。 （2）。证明：f(x)在[ 上是增函数。 （3）。对任意正数x1、x2,求证： 14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的 ，都有 . I、求数列 的通项公式. II、若 对于任意的 恒成立，求实数 的最大值. 15.( 12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 · =0， =－ EMBED Equation.3 ， （1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； （2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值. 16.（14分）设f1(x)= ,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an= ,其中n∈N*. (1) 求数列｛an｝的通项公式； (2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn= ,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小. 17． 已知 =（x,0）， =（1，y），（ + EMBED Equation.3 ） （ – EMBED Equation.3 ）． （I） 求点 （x，y）的轨迹C的方程； （II） 若直线L：y=kx+m(m 0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围． 18．已知函数 对任意实数p、q都满足 EMBED Equation.DSMT4 （1）当 时，求 的表达式； （2）设 求证： （3）设 试比较 与6的大小． 19．已知函数 若数列： …， 成等差数列. （1）求数列 的通项 ； （2）若 的前n项和为Sn，求 ； （3）若 ，对任意 ,求实数t的取值范围. 20．已知△OFQ的面积为 （1）设 正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， ， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动 点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 21、已知函数 是偶函数， 是奇函数，正数数列 满足 1 求 的通项公式； ②若 的前 项和为 ，求 . 22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝ ，BC＝ ．椭圆C以A、B为焦点且经过点D． （1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程； （2）若点E满足 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且 ，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由． 23、．设函数 （1）求证：对一切 为定值； （2）记 求数列 的通项公式及前n项和. 24. 已知函数 是定义在R上的偶函数.当X 0时, = . (I) 求当X<0时, 的解析式; (II) 试确定函数 = (X 0)在 的单调性，并证明你的结论. (III) 若 且 ，证明：| － |<2. 25、已知抛物线 的准线与 轴交于 点，过 作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0) ⑴求X0的取值范围。 ⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。 26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2 ⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。 ⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣= ，MN的中点到Y轴的距离为 ，求椭圆的方程。 ⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。 27．（14分）（理）已知椭圆 ，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta） （t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.（1）用a，t表示△AMN的面积S； （2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值. 28．已知函数f(x)= （1）求函数f(x)的解析式； （2）若数列{an}（n∈N*）满足：an>0，a1=1，an+1= [f( 30、已知点集 其中 点列 在 中， 为 与 轴的交点，等差数列 的公差为1， 。 （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若 求 ； （3）若 是否存在 使得 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 21．经过抛物线 的焦点F的直线 与该抛物线交于 、 两点. (12分) （1）若线段 的中点为 ,直线的斜率为 ,试求点 的坐标,并求点 的轨迹方程 （2）若直线 的斜率 ,且点 到直线 的距离为 ,试确定 的取值范围. 1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 。 由已知得 解得 所以椭圆的方程为 ，离心率 。 （2）解：由（1）可得A（3，0）。 设直线PQ的方程为 。由方程组 得 ，依题意 ，得 。 设 ，则 ， ① 。 ② 由直线PQ的方程得 。于是 。 ③ ∵ ，∴ 。 ④ 由①②③④得 ，从而 。 所以直线PQ的方程为 或 （3，理工类考生做）证明： 。由已知得方程组 注意 ，解得 因 ，故 EMBED Equation.3 。 而 ，所以 。 2 ①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根 3 ①x2=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN= 4 .解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1） 设BC∶y＝kx＋1（k＞0） 则AB∶y＝－ x＋1 把BC方程代入椭圆， 是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0 ∴|BC|＝ ，同理|AB|＝ 由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0 （k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0 ∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0 当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4 由Δ＜0，得1＜a＜ 由Δ＝0，得a＝ ，此时，k＝1 故，由Δ≤0，即1＜a≤ 时有一解 由Δ＞0即a＞ 时有三解 5 解：依题意，知a、b≠0 ∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0 ∴a＞0且c＜0 （Ⅰ）令f（x）＝g（x）， 得ax2＋2bx＋c＝0.（*） Δ＝4（b2－ac） ∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0 ∴f（x）、g（x）相交于相异两点  （Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标 则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知 |A1B1|2＝ ∵ ，而a＞0，∴ ∵ ，∴ ∴ ∴4［（ ）2＋ ＋1］∈（3，12） ∴|A1B1|∈（ ，2 ） 6、解：（1） = 依题意得k= =3+2a=－3， ∴a=－3 ，把B（1，b）代入得b= ∴a=－3，b=－1 （2）令 =3x2－6x=0得x=0或x=2 ∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3 f（－1）=－3，f（4）=17 ∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17 要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987 ∴A≥2004。 （1） 已知g（x）=－ ∴ ∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0， 1 当t＞3时，t－3x2＞0， ∴g（x）在 上为增函数， g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去） 2 当0≤t≤3时, 令 =0,得x= 列表如下: x （0, ） ＋ 0 g（x） ↗ 极大值 ↘ g（x）在x= 处取最大值－ ＋t =1 ∴t= = ＜ 3 ∴x= ＜1 ③当t＜0时， ＜0，∴g（x）在 上为减函数， ∴g（x）在 上为增函数， ∴存在一个a= ，使g（x）在 上有最大值1。 7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）, , =（－2－x,－y） =（2－x,－y） ∴ · =（－2－x,－y）·（2－x,－y）= 由题意得∣PH∣2=2· · 即 即 ，所求点P的轨迹为椭圆 （2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣ 双曲线的C实轴长2a= （当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为 所以，双曲线C的实半轴长a= 又 ∴双曲线C的方程式为 8.（1） （2） 9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0 ∵该直线与圆 相切， ∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分 故设双曲线C的方程为 ． 又双曲线C的一个焦点为 ∴ ， ． ∴双曲线C的方程为 ．………………………………………………4分 （Ⅱ）由 得 ． 令 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在 上有两个不等实根． 因此 　 解得 ． 又AB中点为 ， ∴直线l的方程为 ．………………………………6分 令x=0，得 ． ∵ ， ∴ ∴ ．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长 到T，使 ， 若Q在双曲线的左支上，则在 上取一点T，使 ． 根据双曲线的定义 ，所以点T在以 为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 　　 ①…………………………………………10分 由于点N是线段 的中点，设 ， ． 则 ，即 ． 代入①并整理得点N的轨迹方程为 ． ………………12分 10 解：（Ⅰ）因为 ．所以 ．……2分 令 ，得 ，即 ．……………4分 （Ⅱ） 又 ………………5分 两式相加 ． 所以 ，………………7分 又 ．故数列 是等差数列．………………9分 （Ⅲ） ………………10分 ………………12分 所以 ……………………………………………………………………14分 11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0 则OA的方程为y＝kx 由 12．(1)由题意，有x2－2mx＋2m2＋ 13．解析：（1）。，由根与系数的关系得， 同法得f( (2).证明： f/(x)= 而当x 时， 2x2-tx-2=2(x- 故当x 时, f/(x)≥0, 函数f(x)在[ 上是增函数。 （3）。证明： , 同理 . 又f( 两式相加得: 即 而由（1），f( 且f( , . 14(I) 当 时, , ,又{an}各项均为正数, .数列 是等差数列, (II) ,若 对于任意的 恒成立,则 .令 ,.当 时, .又 ， EMBED Equation.DSMT4 . 的最大值是 . 15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由 =－ EMBED Equation.3 ,得P(0,－ ),Q( ,0), 2分 由 · =0，得（3，－ ）(x, )=0,又得y2=4x, 5分 由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0, 所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分 （2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,① 7分 设A（x1,y1）,B(x2,y2), 则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－ ,x1x2=1, 所以，线段AB的中点坐标为( , ), 8分 线段AB的垂直平分线方程为y－ =－ (x－ ), 9分 令y=0,x0= +1,所以点E的坐标为( +1,0) 因为△ABE为正三角形，所以点E（ +1,0）到直线AB的距离等于 ｜AB｜, 而｜AB｜= = · , 10分 所以， = , 11分 解得k=± ,得x0= . 12分 16.（1）f1(0)=2,a1= = ,fn+1(0)=f1［fn(0)］= , an+1= = = =－ EMBED Equation.3 =－ an, 4分 ∴数列｛an｝是首项为 ,公比为－ 的等比数列，∴an= (－ )n－1. 6分 （2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n－1)a2n－1+2na2n, － T2n=(－ a1)+(－ )2a2+(－ )3a3+…+(－ )(2n－1)a2n－1+(－ )·2na2n =a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n, 8分 两式相减得 T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n, 所以， T2n= +n× (－ )2n－1= － (－ )2n+ (－ )2n－1, 10分 T2n= － (－ )2n+ (－ )2n－1= (1－ ). ∴9T2n=1－ , Qn=1－ , 12分 当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn; 当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn; 13分 当n≥3时，22n=［（1+1）n］2 =(C +C +C +…+C )2＞(2n+1)2,∴9T2n＞Qn. 14分 17．解（I） + EMBED Equation.3 =（x,0）+ (1,y)=(x+ , y), – EMBED Equation.3 =（x, 0） EMBED Equation.3 (1,y)= (x EMBED Equation.3 ,– y). ( + EMBED Equation.3 ) ( EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ), ( + EMBED Equation.3 )·( EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )=0, (x+ )( x EMBED Equation.3 )+ y·( EMBED Equation.3 y)=0, 故P点的轨迹方程为 ．　　　　　　　（６分） （II）考虑方程组 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*) 显然1-3k2 0, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0. 设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2= ，x0= , y0=kx0+m= , 故AB中点M的坐标为（ ， ）, 线段AB的垂直平分线方程为y EMBED Equation.3 =（ EMBED Equation.3 ） , 将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k2 1, 故m、k满足 消去k2得 m2 4m>0, 解得 m<0或m>4. 又 4m=3k2 1> 1, 故m ( EMBED Equation.3 ,0) (4,+ )．　　（１２分） 18．(1)解　由已知得 ．　　　(4分) (2)证明　　由(1)可　知　 设 EMBED Equation.DSMT4 则 ． 两式相减得 +…+ EMBED Equation.DSMT4 ． （9分） （3）解　由（1）可知 则 = 　　 故有 =6 ． （１４分） 19．（1） （2） （3） 为递增数列 中最小项为 20．（1） （2）设所求的双曲线方程为 又由 当且仅当c=4时， 最小，此时Q的坐标为 所求方程为 （3）设 的方程为 的方程为 则有 ① ② ③ 设 由①②得 EMBED Equation.3 ， 代入③得 的轨迹为 焦点在y轴上的椭圆. 21、解：（1） 为偶函数　 　 　 为奇函数 　 　 　 是以 为首项，公比为 的等比数列. （2） EMBED Equation.3 22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系， A（-1，0），B（1，0） 　　设椭圆方程为： 　　令 　∴ 　　∴　椭圆C的方程是： 　 　　（2） ， ，l⊥AB时不符， 　　设l：y＝kx＋m（k≠0） 　　由　 　　M、N存在  EMBED Equation.3 　　设M（ ， ），N（ ， ），MN的中点F（ ， ） 　　∴　 ， 　　 ∴ 　∴ ∴ ∴ 且 　　∴　l与AB的夹角的范围是 ， ． 23、（1） 24、（1）当X<0时, EMBED Equation.3 （3分） （2）函数 = (X 0)在 是增函数；（证明略） （9分） （3）因为函数 = (X 0)在 是增函数，由x 得 ； 又因为 ，所以 ，所以 ； 因为 ，所以 ，且 ，即 ， 所以，-2≤f(x1) – f(x2) ≤2即| － |<2. （14分） 25、解：⑴由题意易得M(-1,0) 设过点M的直线方程为 代入 得 ………………………………………（１） 再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２） 则ｘ１＋x2= ，ｘ１·x2=１ y１＋y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(ｘ１＋x2)+2k= ∴ＡＢ的中点坐标为（ ） 那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为 ，令 得 ，即 又方程（１）中△＝ ⑵若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于 点到AB的距离d= 据 得： ∴ ，∴ ，满足 ∴△ABD可以为正△，此时 26、解：⑴设E（x，y），D（x0，y0） ∵ABCD是平行四边形，∴ ， ∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y) ∴ 又 即： ∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为 ⑵设过A的直线方程为 以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2 设椭圆方程为 ， 即 …………………（*） 将 代入（*）得 即 设M（x1，y1），N（x2，y2）则 ∵MN中点到Y轴的距离为 ，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。 ∴ ，∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ， ，∵ ，∴ ∴ ∴所求椭圆方程为 ⑶由⑴可知点E的轨迹是圆 设 是圆上的任一点，则过 点的切线方程是 ①当 时， 代入椭圆方程得： ，又 ∴ ∴ = 令 则 ， ∵ ∴当t=15时， 取最大值为15 ， 的最大值为 。 此时 ，∴直线l的方程为 ②当 时，容易求得 故：所求 的最大值为 ，此时l的方程为 27．解（理）（1）易得l的方程为 …1分 由 ，得（a2t2+4）y2－4aty=0…2分 解得y=0或 即点M的纵坐标 ………………4分 S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM= …7分 （2）由（1）得， 令 …………9分 由 当 时， …10分 若1≤a≤2，则 ，故当 时，Smax=a11分 若a＞2，则 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时, 13分 综上可得 …………14分 28. (1) ∵函数f(x)= 又函数f(x)= ∴数列{ 29、解：（1）由 ，得 …………2分 ，则 …………4分 （2）当 时，， …………6分 …………8分 （3）假设存在符合条件的 使命题成立 当 是偶数时， 是奇数，则 由 得 …………11分 当 是奇数时， 是偶数，则 由 得 无解 综上存在 ，使得 …………14分 30.解：（1）设 ， ，直线AB的方程为： 把 代入 得： ∴ ∴ ∴ ∴点M的坐标为 ； 消去 可得点M的轨迹方程为： ； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∴ ∴ 或 ∴ 或 ∴ ∴ 的取值范围为 。 Y D C E A O B X y P x B O A 高考资源网版权所有，侵权必究！www.ks5u.com 高考资源网版权所有，侵权必究！www.ks5u.com 高考资源网版权所有，侵权必究！www.ks5u.com _1234568146.unknown _1234568274.unknown _1234568402.unknown _1234568466.unknown _1234568530.unknown _1234568562.unknown _1234568594.unknown _1234568610.unknown _1234568626.unknown _1234568634.unknown _1234568642.unknown _1234568646.unknown _1234568650.unknown _1234568652.unknown _1234568654.unknown _1234568655.unknown _1234568656.unknown _1234568653.unknown _1234568651.unknown _1234568648.unknown _1234568649.unknown _1234568647.unknown _1234568644.unknown _1234568645.unknown _1234568643.unknown _1234568638.unknown _1234568640.unknown _1234568641.unknown _1234568639.unknown _1234568636.unknown _1234568637.unknown 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