nullnull线性代数昆明理工大学
2011.1null*第四节
实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的对角化 相关示例null一. 实对称矩阵的对角化变换矩阵可取为正交矩阵。本节将
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
实对称矩阵总是可以对角化的，且相似
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
5.4.1.实对称矩阵的特征值为实数。定理5.4.2.null定理5.4.3.本定理不证。null定理5.4.4.P，使得设A是n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵实的）。null如下： 由定理4的证明可知，将实对称矩阵A对角化的步骤对角线元素。，得到对角阵的向量，将其单位化。（2）对于单重特征值，求出相应的1个线性无关特征相互正交的单位特征向量， 对于k重特征值，求其k个线性无关特征向量，再按斯密特方法，将其规范正交化，得到k个最后得到n个规范正交特征向nullnull二. 相关示例例5.4.1.设例5.4.2.设三阶实对称矩阵A的特征值为null例5.4.3.A，B不都是实对称矩阵，则充分性不成立。设A，B为n阶实对称矩阵，证明A与B相似的充分必要条件为A与B有相同的特征值。并举例说明若null证明：设A为n阶实对称矩阵，则A的共轭矩阵A的转置矩阵则有null移项得null证明：由
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
设有上式左端于是得到，故null证明：设A的全部特征值为相互正交。对于其中单重特征值，有1个特征向量，将其单位化。对于其中的k重特征值，由定理3，有k个线性无关的特征向量，用斯密特方法将其规范正交化，就有k个相互正交的单位特征向量，又由定理2，对应不同特征值的特征向量定理，A可对角化。令 ，因为规范正交组是线性无关的，故A有n个线性无关的特征向量。由§3的null则P为正交矩阵，且有（证毕）null解：存在。A为实对称矩阵，由定理4，所求的正交矩阵Pnullnull按斯密特方法正交化，得再单位化，得规范正交特征向量：nullnull同解方程组为基础解系为单位化得令则P为正交矩阵，使得null解：。因为A是实对称矩阵，相应于不同特征值求得基础解系为null正交矩阵P：，以它们为列向量，组成null，故有null证明：证充分性。 必要性已在证明相似矩阵的性质时证过。现实对称矩阵，由定理4，存在正交矩阵P、Q，使 ，因为A，B为由此得故A与B相似。（证毕） null若A，B不都是实对称矩阵，例如则有相同的特征值0，0，似则应有相同的秩，但但A与B不相似。这是因为若相故A与B不相似。
浙公网安备 33021202002483