nullnull线性代数昆明理工大学
2011.1null*第二节
方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 有关示例和性质null一. 方阵的特征值和特征向量定义5.2.1.成立，的特征向量。（1）式可写成这
表
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明齐次线性方程组null（2）即 方程组（2）是n个方程n个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于0，null（3）征方程。A的特征多项式。在复数范围内有n个特征值。n次方程有n个根（重根按重数计算）。因此，n阶矩阵的方法如下：由以上讨论，得到求n阶方阵A的特征值和特征向量，得到A的n个特征值nullnull二. 有关示例和性质例5.2.1.求下列矩阵的特征值和特征向量：相应地有两个线性无关的特征向量；对于矩阵B的三重特征向量， ，相应地却只有一个线性无关的的重数。即B的线性无关的特征向量个数少于特征值null例5.2.2.矩阵的特征值有以下性质：（1）A可逆 (i)（k为正整数）；(ii)null(iii)及相应的特（k重根重复k次） 则有注：当可逆时，由性质2(iii)可知，性质2(i)中的为成立。负整数时也成立，性质2(ii)中某些项含有的负整数幂时也null例5.2.3.设3阶矩阵的特征值为1，－1，2。求行列式例5.2.4.例5.2.5.已知有一个特征向量为null定理5.2.1.则相应于这些特征值的特征向量必线性无关。null就不再是A的特征向量。下面例6给出证明。例5.2.6.null解：（1）即nullnull，基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为方程组而null，基础解系含3－1=2个向量，同解方程组为null（2），基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为null基础解系为null解：向量也是复向量。，相应的特征可见实矩阵的特征值不一定是实数。null证明：（1）A可逆（2）(i)(ii)null(iii) 若A可逆，由（1），null即null解： A的全部特征值为1，－1，2，由性质(3)知故A可逆，而记由性质(3)，得null解：，因为而零方阵的特征值为0，故有null解：即或null证明：根据已知条件有所以null将上面m个等式写成矩阵等式，得等式左边第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式，因为矩阵可逆，以其逆矩阵右乘等式两边，得null证明：已知用反证法：，故得向量。
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