浅谈高中数学中恒成立问题的解题方法

浅谈高中数学中恒成立问题的解题方法第5卷 2009年6月第6期中国基础教育研究 Research Magazine Of Chinese Basic Education V01．5 No．6 2oo9 实践中，我们学校明确 “六有”，即有意 (强化意识、自觉实施)、有序 (明确目标、循序渐进)、有法 (讲究方法、科学运用)、有机 (自然贴近、不贴标签)、有度 (不欠不过、恰到好处)、有效 (注重落实、讲求实效)，搭建好学科教学平台，在抓渗透的同时，开展各项活动课，这样充分满足了学生的需求，帮助学生探究...

第5卷 2009年6月第6期中国基础教育研究 Research Magazine Of Chinese Basic Education V01．5 No．6 2oo9 实践中，我们学校明确 “六有”，即有意 (强化意识、自觉实施)、有序 (明确目标、循序渐进)、有法 (讲究方法、科学运用)、有机 (自然贴近、不贴标签)、有度 (不欠不过、恰到好处)、有效 (注重落实、讲求实效)，搭建好学科教学平台，在抓渗透的同时，开展各项活动课，这样充分满足了学生的需求，帮助学生探究有关知识，体验社会生活，走进自然，既锻炼了学生的实践能力，培养了良好的个性品质，又解决了传统德育忽视实践、脱离生活这一老大难问题。 6．构建评价体系，保证目标全面实现。德育评价是学校德育工作的重要环节，也是保证学校德育目标实现的必要措施。德育评价不能一概而论，在实施德育评价时，要坚持德育评价诸功能有机结合的原则，既要实事求是地考察分析，评价对象的实际，严格实行评价标准，对评价对象作出客观公正的评价，以发挥德育评价的诊断功能、鉴定总结功能、科学管理功能，又要具体分析评价对象的实际情况，看到评价对象存在的问题和偏差，看到其可开发的潜力，在坚持标准的同时，对评价对象从多方面予以肯定和激励，以发挥德育评价的反馈调节功能和激励导向功能。浅谈高中数学中恒成立问题的解题方法郭宏河北省三河市第二中学三河 065200 高中数学rfl恒成立问题是我们经常会遇到的一类题型，这类问题往往与函数、方程、导数等知识综合在一起。函数与方程思想是解决这类问题的关键。这是因为不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系，又相互转化，只要用函数思想作指导，不仅会优化解题过程，而且能迅速获得解题的途径。下面就其中一些常用的解法，进行一下归纳。 1．某些给定区间上某结论恒成立问题，可转化为求函数最值问题。新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，特别是，当fix)为三次函数时，通过求导得到的 r(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点 P(xo，y0)处的切线的斜率 k=厂 (Xo)，可得到斜率k为关于xo的二次函数。根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。例 1：已知函数 r( ： 3一。+bx+c 。 2 (1)若 fix)的图象有与 X轴平行的切线，求 b的取值范围； (2)若 fix)在x=l埘取得极值，且 x∈【-1，2】时，f(x)(c 成立，求 C的取值范围。解：(1)f ( )=3x 一X+易，设切点 P(xo，Yo)，则 fix)在 P点的切线的斜率k=， ( )=3 一 + ，由题意，．厂 ( )=3 2一 +6=0有解，△=l·12b ，·’．bs西1。 (2)‘．’ x)在x=l时取得极值。． ‘ ．x=l为方程厂 ( )=3x 一x+b=O的一个根． ‘ ．b=--2 · · · 3x2-x-2=O可得， ( =0的另一根为 =一，。．。当 <一兰或 >1时，， ( )>0 j ．。．当X∈【一l，2】时，f(x)在【-1，一兰】递增，(一三，1)递减， 3 3 【1，2】递增． ’ ．f(x)在区间【-1，2】有极大值厂(一兰)：兰+c ’ 3 27 又 f(2)=2+c ． ‘ ．x∈【-l，2】时，f(x)有最大值f(2)=2+0 ’ ．‘f(x)(c。恒成立，．’．2+c2 总结：第 (1)题应用导数的几何意义，转化为二次方程有解的问题，从而利用 △ 求得参数的取值范围。第 (2)题为恒成立问题，转化为求函数f(x)在区问[-1，2】上的最大值。这里要注意：求函数f(x)在闭区间【】上的最大 (小)值时，如果f(X)在【a．b】上有极大 (小)值点，则必须比较极大 (小)值与端点处的函数值的大小，其较大 (小)者即为闭区间 b】上的最大 (小)值。学生易把极值误为最值。由于高中教材新增了 “导数”这一章，在这一章中，求函数的单调性或最值问题往往会和恒成立问题联系到～起。例 2：已知两个函数厂( )=7x 一28x—C ， g( ：2x +4x 一4 (1)若对任意的 ∈[-3，3】都有，( )≤g( )成立，求实数 c的取值范围； (2)若对任意的 ∈【一3，3】都有f(x。)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围。分析：对于 (1)中应强调的是不同函数对同一变量下的恒成立问题，应设 h(x)=f(x)一g(x)，则可转化为求 h(x) 的最小值大于或等于0即可。对于 (2)中，xJ、x2是两个不同的变量， xJ)、g(x9 最值的取得互不影响，所以只需使 I)的最大值小于等于 g(x2)的最小值。充分利用函数的的单调性求解此类问题。第 5卷 2009年6月第6期中国基础教育研究 Researela M agazine Of Chinese Basic Education V_01．5 No．6 2009 解：(1)设h(x)=g( )一厂(z)=2x 一3x 一12x+c 贝Ⅱ^’( )：6x 一6x一12=6(x一2)( +1) 。．‘对任意的 ∈【-3，3】，都有．厂( ( 成立 · ’ · ．1l( ) ：．1l(一3)=c一45≥0，·。·c 45 (2)f’( )=14x-28 · ‘ · ，( )一 =，(。．3)=147一c，g’( )=2(x一2)(3 +10) ·占( ) ：g(2)=_48 。对任意的 ∈[-3，3】都有，(^)≤g(x2)成立． ’ ．147一c -48，．‘．C≥195 例3：不等式， -2x一"l十1<0对满足lm 2的一切m 的值都成立，求 x的取值范围。分析：表面上看是关于x的一元二次不等式，。Iml~<2，实质上可将它看作是关于 in的一元一次不等式，且其解集为【．2，2】，求参数 x的范围，为此可构造关于 m 的一次函数． f厂(2)0 { 2x+t>o 在 ∈【o，1]时恒成立。【x+l≤(2 +1) 即XE【0，1]时t≥-2 +√ +1恒成立，于是转化为求 Y=．2 +4x+1， ∈【0，1]的最值问题，用换元法可求 _2 +√ +l有最大值 1。所以，t的取值范围是t l。 4．对于有关数列恒成立问题，可以利用数列的函数性质，求出数列最值。例6：不等式【(1-a)n-a]lga<0对于一切正整数n都成立，求实数 a的取值范围。分析：常规数列的方法就不起作用，故必须用函数思想，令 f(n)=[(1-a)n-a]lga，则当a>l时，_， )一 <0，即f(1)<0，·。·a>l；．当0o，·。·0<口<：l Z 综上所述：a的取值范围是(0 ， )u(1，佃 )。 Z 总结：研究其单调性，求其最值，使其最小值大于0或最大值大小于 0，就可求得 a的取值范围。对命题的条件和结论进行改造是数学中经常会遇到的问题，变换一个条件就会得到一类问题，所以数学中各类题型比较多，若对各类题型均进行系统整理和归纳总结，将有助于学生学习效率的提高和在复习中取得举一反三、触类旁通的效果。上面简单介绍了常见恒成立问题的几种求法，但在解体过程中还要对问题进行认真分析，看可归纳为那一类，对一题多解，要善于总结每种解法的解题思路和思想，这样方能提高自己的数学分析能力和运用矢ll识能力。 · l67·

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