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尤拉公式之研析
V-E+F=2(1-g)
作者:
唐鈺翔。內湖高中。高一8班
高碩亨。內湖高中。高一8班
陳彥霖。內湖高中。高一8班
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尤拉公式之研析
壹●前言
研究動機
最近在書上看到尤拉公式(V-E+F=2),因此對他產生了濃厚的興趣,並
加以研究。找相關的資料,發現了這是一個由尤拉發現的一種多面體的點﹑線﹑
面關係。
因此,我們決定對此做更深入的研究,希望能藉由此次研究,讓我們更進一步的
暸解尤拉公式,並且將多面體分成正多面體以及非正多面體來討論,來探討兩者
之間神秘的關係。
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尤拉公式之研析
研究流程
研究動機
↓
界定研究區及研究目的
↓
文獻探討
↓
資料查詢
↓
資料彙整
↙ ↘
模型製作 圖表製作
↘ ↙
分析與討論
↓
結論
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尤拉公式之研析
大綱
1. 尤拉公式
2. 結論﹑心得
貳●正文
一.點線面及正多面體的定義
尤拉公式中,我們將點線面及正多面體定義為:點所代表的只有位置,而不具有
大小和面積的最基本單位,之後我們將代號命為V;點的移動軌跡,且具有位置
及長度,而無寬度和厚度的稱之為線,任相異的兩點不自交可以連成一條線,之
後我們將代號命為E。面指的是由點與線所構成的二度空間,是由線所圍成的封
閉區域,在面與面的交界處皆為線。之後我們將代號命為F。正多面體的定義:
每個面都是相同的正多邊形。頂點連接的面數皆相同。
我們發現長方形、三角柱、五角柱、六角錐、四角錐、六面體、角錐臺階符合此
公式。(注一)
我們再以正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體為例子,
再分別討論他們的點、線、面和尤拉公式之間的關係。
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尤拉公式之研析
二.舉例:
圖一:正四面體(資料來源:http://www.mathland.idv.tw/fun/poly.htm)
有四個面,每個面都是正三角形,重複計算所有的點共有 12(個)又因為每
個點由三個面共用,所以 有4個點,有四個面,每個面有三邊,重複計算所有
的線共有 12 (條),又因為每條邊由兩個面共用,所以1 有6條邊。
點-線+面=4-6+4=2
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圖二:正六面體(資料來源:http://www.mathland.idv.tw/fun/poly.htm)
有六個面,每個面都是正四邊形,重複計算所有的點共有 24(個),又因為
每個點由三個面共用,所以 有八個點,有六個面,每個面有四邊,重複計算所
有的點共有 24(條),又因為每條邊由兩個面共用,所以 有十二條邊。
點-線+面=8-12+6=2
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尤拉公式之研析
三.尤拉公式
§1公式導出
若在一個已平衡(即V-E+F=2)的球面上,考慮加入點、線、面等各種要
素檢查尤拉公式是否會因此而受到影響。
設原有的點、線、面分別為V1、E1、F1,且V1-E1+F1=2
若只加入一點,則此點必須加在邊上,所以是點數加ㄧ且邊數亦加ㄧ,面數不變,
此時尤拉示性數是(V1+1)-(E1+1)+F1仍等於2,尤拉公式仍成立。
若加入一條線,則會有3種情形:
第一種是將一個舊有的點與新加的ㄧ點相連,所以點數只增加一,邊數亦增加
一,面數不變,此時尤拉示性數是(V1+1)-(E1+1)+F1仍等於2,
尤拉公式仍成立。
第二種是將新加的兩點連接,所以點數加二,邊數只增加一,但因為邊並無法單
獨存在,所以ㄧ定與其他圖形相接,邊數又增加了一,面數不變,此時尤拉示性
數是(V1+2)-(E1+2)+F1仍等於2,尤拉公式仍成立。
第三種是將兩個舊有的點相接,所以邊數加ㄧ,但是原本的兩點因不可單獨存在
所以必為兩條邊,但又不可單獨存在邊,所以一定已圍成一個面,此時加入一條
邊,必也增加面數,所以面數加ㄧ,點數不變,此時尤拉示性數是V1-(E1
+1)+(F1+1) 仍等於2,尤拉公式仍成立。
若再加一個面,無論該面為多少邊形,其點數與邊數必相同,所以是點數加N,
線數加N,面數加ㄧ(N為圖形邊數),但因不能有兩個圖形,所以必與另ㄧ圖
形相接,邊數又加ㄧ,此時尤拉示性數是(V1+N)-(E1+N+1)+(F
1+1) 仍等於2,尤拉公式仍成立。
所以由以上可知無論加入點、線、面等各種要素,皆不影響尤拉公式。
究竟什麼會影響尤拉示性數呢? 還是尤拉公式恆成立呢?
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尤拉公式之研析
四.尤拉示性式與虧格數
尤拉示性式是指一多面體的點-線+面,以x(p)=V-E+F
虧格數是指一個多面體中挖空的洞數,之後代號命為g。
若我們在正多面體上挖空一個長方形柱(即x(p)為1)時,此時的點為16
個(正六面體的8個點+長方體空洞的8個點=8+8=16個),線為32條
(正六面體的12條線+長方形空洞的12條線+上下的上小正方形的頂點連
接線各4條,共8條=12+12+8=32條線),面為16個(正方形面有
4面+上下各4面,共8面+長方形空洞內部的4個面=4+8+4=16個
面),所以這時x(p)=16-32+16=0。如圖(一)
設2個虧格數為1且符合V-E+F=0的多面體Γ1、Γ2,他們的點分別為
V1、V2,他們的線分別為E1、E2,他們的面分別為F1、F2,將2個相等
的多面體面相連接,使之變成一個虧格數為2的多面體,在其連接面會有4個點
重疊(點數減少4個),4個線重疊(線數減少4個),2個連接面消失(面數減
少2個),所以此時的點為(V1+V2-4)個,線為(E1+E2-4)個,
面為(F1+F2-2)個,所以這時x(p)=(V1+V2-4)-(E1+
E2-4)+(F1+F2-2)={(V1-E1+F1)+(V2-E2+F2)
-2}又因為V1-E1+F1=V2-E2+F2=0所以x(p)=0+0-2
=-2。如圖(二)
圖三:g=1的多面體
圖四:g=2的多面體
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尤拉公式之研析
五.尤拉示性數
以挖空1個四角柱的正6面體為例(尤拉示性數為0),將2個虧格數為1的正
6面體相接在一起(各別的示性式皆為0,在相接的面上,會有4個點消失、4
條邊消失、2個面消失)
=>0+0+4-4-2=-2
=>2個x(p)的和+接合面的尤拉示性式
若再加上一個虧格數為1的正6面體(又消失4個點、4條邊及2條線),
=>-2+4-4-2+0=-4
=>兩個虧格數+一個虧格數+接合面的x(p)
所以推出影響尤整個模型的尤拉示性式的是:接合面的尤拉示性式(因為一個虧
格數模型的尤拉示性式為0)
當虧格數=0時,尤拉示性式=2
當虧格數=1時,尤拉示性式=0
當虧格數=2時,尤拉示性式=-2
觀察出接合面的尤拉示性式與虧格數有關係,可觀察出每加一個虧格數,接合的
面都會使總尤拉示性式再少2,假設總尤拉示性式為2-2(虧格數)
當虧格數=1時,成立
若虧格數=k時,有V個點,F個面,E條線,總尤拉示性式為V-E+F =
2-2k成立
則虧格數= k+1時,消失了4個點,2個面,4條線,總尤拉示性式為
(V-4) -(E-4)+(F-2) = V-E+F-4-2+4 = 2
-2k-2 = 2-2(k+1)
故得証 所以 總x(p)=2-2(虧格數)
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尤拉公式之研析
參●結論
尤拉公式,對於多面體皆成立的想法,藉由許多例證找到肯定的答案,但是卻因
而發現了一些不成立的情況,那便是中空模型,而在討論之後,利用兩個中空模
型相接,發現代入公式之後,反而差距更大,因此去討論關於虧格數與得到的結
果之間的關係,得到一個關於虧格數的結論,而在先前的尤拉公式驗證中,我們
發現到,這樣的形狀是在球面上證明所不能出現的,因只在此導出之結論,在我
們研究之後,發現尤拉公式只對於無中洞之多面體成立,而在有中洞的模型中,
便要去討論虧格數的問題,但是尤拉公式仍然有他在歷史上的價值,而進一步的
虧格數便是經由尤拉公式而發現的,因此,不可否認的是尤拉公式的價值與其意
義。
心得
經由做這個小論文,我學到了關於尤拉公式以及虧格數的知識,也學會了如
何利用各多面體點數去計算線數及面數,也證明多面體皆可以符合V(點)-E
(線)+F(面)=2的公式,更重要的是:在其中雖然遇到了許多的瓶頸,但
是經由老師們的支持以及開導,我們了解到了做一件事情所需要付出的耐心與用
心,以及細密的觀察力(像是虧格數(2-2K=尤拉式性數)不符合尤拉公式
的例子就需要細密觀察),我們更學到了如何與他人共同研究、探討、分工合作、
收集資料、整理資料……等等的能力。在未來的路上,相信這種能力,會伴隨著
努力,讓我們更加有效率的完成其他事情。也謝謝一路上支持及協助我們的同學
和老師(曹昌東老師及柯惠玲老師)。
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尤拉公式之研析
附錄:
圖五:正八面體(資料來源:http://www.mathland.idv.tw/fun/poly.htm)
有八個面,每個面都是正三角形,重複計算所有的點共有 24(個),又因為
每個點由四個面共用,所以 有六個點,有八個面,每個面有三邊,重複計算所
有的邊共有 24(條),又因為每條邊由兩個面共用,所以 有十二條邊。
點-線+面=6-12+8=2
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圖六:正十二面體(資料來源:http://www.mathland.idv.tw/fun/poly.htm)
有十二個面,每個面都是正五角形,重複計算所有的點共有 60(個),又因
為每個點由三個面共用,所以 有二十個點,有十二個面,每個面有五邊,重複
計算所有的邊共有 60(條),又因為每條邊由兩個面共用,所以 有三十條
邊。
點-線+面=20-30+12=2
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尤拉公式之研析
圖七:正二十面體(資料來源:http://www.mathland.idv.tw/fun/poly.htm)
有二十個面,每個面都是正三角形,重複計算所有的點共有 60(個),又因
為每個點由五個面共用,所以 有十二個點,有十二個面,每個面有三邊,重複
計算所有的邊共有 60(條),又因為每條邊由兩個面共用,所以 有三十
條邊。
點-線+面=12-30+20=2
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尤拉公式之研析
表一:正多面體與點、線、面及尤拉公式之間的關係
關係
正多面體
點
{V}
線
{E}
面
{F}
尤拉公式
V-E+F
四 4 6 4 2
六 8 12 6 2
八 6 12 8 2
十二 20 30 12 2
二十 12 30 20 2
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圖八:星狀正20面體
共有12隻五角錐,一隻五角錐共有5個面,故共有60個面。每個面皆有4個
點,其中,有一個點被3個角錐共用,重複計算共有60個點,但被3個角錐共
用,所以是20個,又有2個點被4個角錐共用,重複計算有120個,但被4
個角錐共用,所以30個,剩餘的點被5個角錐共用,重複計算有60個,但被
5個角錐共用,所以有12個。共有62個點,每個面有4條邊,重複計算共有
240條,4條邊被2個面共用,所以有120條邊
點-線+面=62-120+60=2
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尤拉公式之研析
圖九:超級星狀正十二面體
共有20個角錐,每個角錐有3個面,故共有有60個面。每個面皆有4個點,
其中3個點被5個角錐共用,剩餘的點沒共用,重複計算有60個點,但被5個
角錐共用,所以有12個,加上沒共用的20個,所以有32個點 每個角錐
有6條邊,有3條邊被2個面共用,另3條沒共用,重複計算共有60條,但被
2個面共用,所以有30條,加上沒共用的60條,所以有90條邊。
點-線+面=32-90+60=2
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尤拉公式之研析
圖十:超級正十二面體
每3個相鄰頂點構成1個凹三角形,共有20個凹三角形,
每個凹三角形有3個面,共有60個面。每個凹三角型有4個點,其中3個點被
5個凹三角形所共用,剩餘的沒共用,重複計算共有60個,但被5個凹三角形
所共用,所以有12個,加上沒共用的20個,所以有32個點,每個凹三角形
有6條邊,其中有3條邊被2個凹三角形所共用,另三條沒共用,重複計算共有
60條,但被2個凹三角形所共用,所以有30條,加上沒重複的60條,所以
有90條邊
點-線+面=32-90+60=2
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尤拉公式之研析
圖十一:星狀八面體
由八個小三角錐所構成,每個小三角錐有3個面,共有24個面。
每個小三角錐有4個點,其中有3個點被4個小三角錐共用,剩餘的一個沒共
用,重複計算共有24個點,但被4個小三角錐共用,所以有6個,加上沒共用
的8個,所以共有14個點,每個小三角錐共有6條線,其中有3條線被兩個小
三角錐共用,另三條沒共用,重複計算共有24條邊,但被兩個小三角錐共用,
所以有12條,加上沒共用的24條,所以有36條邊
點-線+面=14-36+24=2
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尤拉公式之研析
圖十二:五交錯四面體
由5個正四面體交錯成形,每個正四面體有12個面,共有5個,所以有60個
面。每個正四面體共有40個點,其中有24個點被2個正四面體所共用,12
個點被5個正四面體所共用,重複計算共有120個,但被2個正四面體所共
用,所以有60個,重複計算共有60個,但被5個正四面體所共用,所以共有
12個,加上沒共用的20個,所以共有92個點。每個正四面體共有48條邊,
其中有36條邊被2個正四面體所共用,重複計算有180條,但被2個正四面
體所共用所以有90條,加上沒共用的60條,所以有150條邊。
點-線+面=92-150+60=2
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尤拉公式之研析
表二:多面體與點、線、面及尤拉公式之間的關係
關係
多面體
點 線 面 點-線+
面
星狀正二十
面體
62 120 60 2
超級星狀正
十二面體
32 90 60 2
超級正十二
面體
32 90 60 2
星狀八面體 14 36 24 2
五交錯四面
體
92 150 60 2
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肆●引註資料
註一、許明俊。數學乙。(台中市:林暐鈞,民91年)。頁56-57。
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