3微分方程模型

nullnull微分方程稳定性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。null第六章 稳定性分析模型6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食null6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景null产量模型假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率, N~最大鱼量h(x)=Ex, E~捕捞强度x(t) ~ 渔场鱼量null一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程null产量模型稳定性判断x0 稳定, 可得到稳定产量x1 稳定, 渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率null产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标 x0~平衡点P的纵坐标 h~产量产量最大控制渔场鱼量为最大鱼量的一半null效益模型假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.求E使R(E)最大收入 T = ph(x) = pEx支出 S = cEnull捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) > 0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度令=0null6.2 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数目的null建模军备竞赛的结局x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。nullnull平衡点 P0(0,0)1,2为负数或有负实部p < 0 或 q < 0null平衡点稳定性判断军备竞赛null模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在  > kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。null模型的定性解释,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。null6.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。null模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 1 倍。模型null模型分析模型null判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程null仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义模型null平衡点稳定性分析平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0null种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定2>1,1>1, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点1<1, 2<1P1稳定的条件 1<1 ?1<12<1稳定条件null平衡点稳定性的相轨线分析从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t)P1(N1,0)是稳定平衡点(1) 2>1, 1<1null有相轨线趋向P1有相轨线趋向P2P1稳定的条件：直接法2>1(3) 1<1, 2<1(2) 1>1, 2<1(4) 1>1, 2>1加上与(4)相区别的 1<1 P2 稳定 P3 稳定null结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍。 P1稳定的条件：1<1, 2>12>1 甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：1>1, 2<1 P3稳定的条件：1<1, 2<1通常1  1/2，P3稳定条件不满足null6.4 种群的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种形式1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。null模型假设 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍null种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点null平衡点P2稳定性的相轨线 1<1, 2>1, 12<1 P2稳定null12<1 ~ 2>1 前提下P2存在的必要条件结果解释2>1 ~ 甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍1<1 ~ 2>1, 12<1 的需要，且1必须足够小，才能在2>1条件下使12<1 成立 P2稳定条件：1<1, 2>1, 12<1null6.5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？null食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t)甲独立生存的增长率 r乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比乙独立生存的死亡率 d甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比方程(1),(2) 无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a ~捕食者掠取食饵能力b ~食饵供养捕食者能力nullVolterra模型的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳定性不能用近似线性方程分析 p =0, q > 0 P: 临界状态 q < 0 P´ 不稳定 null用数学软件MATLAB求微分方程数值解null计算结果（数值，图形）x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线x(t), y(t)的周期约为9.6xmax 65.5, xmin  6, ymax  20.5, ymin  3.9用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)nullc 由初始条件确定null在相平面上讨论相轨线的图形相轨线null相轨线P~中心null相轨线是封闭曲线nullx(t) 的“相位”领先 y(t)模型解释相轨线的方向null模型解释r ~食饵增长率d ~捕食者死亡率b ~食饵供养捕食者能力a ~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比, 与a成反比食饵数量与d成正比, 与b成反比null模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1, dd+1捕捞战时捕捞rr-2, dd+2 , 2 < 1食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加自然环境null食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点有稳定平衡点null 相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18相轨线趋向极限环null两种群模型的几种形式 相互竞争相互依存弱肉强食