第五章__图与网络(数学建模)

-68- 第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于 18 世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于 1736 年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年，凯莱在计数烷 22 +nnHC 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于 1859 年提 出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和 方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来，问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。 图 1 哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将 这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问 题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例 1 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的 公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运 行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例 2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其 -69- 中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两 个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总 成本最小？ 例 3 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排N 名员工去完成N 项任务，每人一项。由于各员工的特点 不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 可以 使总回报最大？ 例 4 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从 邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是我国管 梅谷教授 1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。 例 5 旅行商问题（TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线 （从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十分悠 久，通常称之为旅行商问题。 例 6 运输问题（transportation problem） 某种原材料有M 个产地，现在需要将原材料从产地运往N 个使用这些原材料的工 厂。假定M 个产地的产量和N 家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂 的运费已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？ 上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization） 问题；二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构 称为网络（network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多 数网络优化问题是以网络上的流（flow）为研究的对象，因此网络优化又常常被称为网 络流（network flows）或网络流规划等。 下面首先简要介绍图与网络的一些基本概念。 §2 图与网络的基本概念 2.1 无向图 一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合 )(GV 和 )(GV 中某些元素 的 无 序 对 集 合 )(GE 构 成 的 二 元 组 ， 记 为 ))(),(( GEGVG = 。 其 中 },,,{)( 21 nvvvGV L= 称为图G 的顶点集（vertex set）或节点集（node set）， )(GV 中 的每一个元素 ),,2,1( nivi L= 称为该图的一个顶点（vertex）或节点（node）； },,,{)( 21 meeeGE L= 称为图G 的边集（edge set）， )(GE 中的每一个元素 ke (即 )(GV 中某两个元素 ji vv , 的无序对) 记为 ),( jik vve = 或 ijjik vvvve == ),,2,1( mk L= ， 被称为该图的一条从 iv 到 jv 的边（edge）。 当边 jik vve = 时，称 ji vv , 为边 ke 的端点，并称 jv 与 iv 相邻（adjacent）；边 ke 称 为与顶点 ji vv , 关联（incident）。如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在 图G 中相邻。 边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network）。我们对图和 网络不作严格区分，因为任何图总是可以赋权的。 -70- 一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限。图G 的顶点数用符号 ||V 或 )(Gν 表示，边数用 || E 或 )(Gε 表示。 当讨论的图只有一个时，总是用G 来表示这个图。从而在图论符号中我们常略去 字母G，例如，分别用 ν,,EV 和ε 代替 )(),(),( GGEGV ν 和 )(Gε 。 端点重合为一点的边称为环(loop)。 一个图称为简单图(simple graph)，如果它既没有环也没有两条边连接同一对顶点。 2.2 有向图 定义 一个有向图（directed graph 或 digraph）G 是由一个非空有限集合V 和V 中 某些元素的有序对集合 A构成的二元组，记为 ),( AVG = 。其中 },,,{ 21 nvvvV L= 称 为图G 的顶点集或节点集， V 中的每一个元素 ),,2,1( nivi L= 称为该图的一个顶点 或节点； },,,{ 21 maaaA L= 称为图G 的弧集（arc set），A中的每一个元素 ka (即V 中 某两个元素 ji vv , 的有序对) 记为 ),( jik vva = 或 ),,2,1( nkvva jik L== ，被称为该图 的一条从 iv 到 jv 的弧（arc）。 当弧 jik vva = 时，称 iv 为 ka 的尾（tail）， jv 为 ka 的头（head），并称弧 ka 为 iv 的 出弧（outgoing arc），为 jv 的入弧（incoming arc）。 对应于每个有向图D，可以在相同顶点集上作一个图G ，使得对于D的每条弧， G有一条有相同端点的边与之相对应。这个图称为D的基础图。反之，给定任意图G， 对于它的每个边，给其端点指定一个顺序，从而确定一条弧，由此得到一个有向图，这 样的有向图称为G的一个定向图。 以下若未指明“有向图”三字，“图”字皆指无向图。 2.3 完全图、二分图 每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。n个顶点 的完全图记为 nK 。 若 YXGV U=)( ， Φ=YX I ， 0|||| ≠YX （这里 || X 表示集合 X 中的元素个 数）， X 中无相邻顶点对，Y 中亦然，则称G 为二分图(bipartite graph)；特别地，若 YyXx ∈∀∈∀ , ，则 )(GExy∈ ，则称G 为完全二分图，记成 |||,| YXK 。 2.4 子图 图 H 叫做图 G 的子图（ subgraph），记作 GH ⊂ ，如果 )()( GVHV ⊂ ， )()( GEHE ⊂ 。若H 是G 的子图，则G 称为H 的母图。 G 的支撑子图（spanning subgraph，又成生成子图）是指满足 )()( GVHV = 的子 图H 。 2.5 顶点的度 设 )(GVv∈ ，G 中与 v关联的边数（每个环算作两条边）称为 v的度(degree)，记 作 )(vd 。若 )(vd 是奇数，称 v是奇顶点(odd point)； )(vd 是偶数，称 v是偶顶点(even point)。关于顶点的度，我们有如下结果： (i) ∑ ∈ = Vv vd ε2)( (ii) 任意一个图的奇顶点的个数是偶数。 2.6 图与网络的数据结构 -71- 网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法。为了在计算机上实现网络优化的 算法，首先我们必须有一种方法（即数据结构）在计算机上来描述图与网络。一般来说， 算法的好坏与网络的具体表示方法，以及中间结果的操作方案是有关系的。这里我们介 绍计算机上用来描述图与网络的 5 种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、 弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。在下面数据结构的讨论中，我们首先假设 ),( AVG = 是一个简单有向图， mAnV == ||,|| ，并假设V 中的顶点用自然数 n,,2,1 L 表示或编号， A中的弧用自然数 m,,2,1 L 表示或编号。对于有多重边或无向网络的情 况，我们只是在讨论完简单有向图的表示方法之后，给出一些说明。 （i）邻接矩阵表示法 邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adjacency matrix）的形式存储在计算机中。图 ),( AVG = 的邻接矩阵是如下定义的：C是一个 nn × 的 10− 矩阵，即 nnnnijcC × × ∈= }1,0{)( ， ⎩⎨ ⎧ ∉ ∈= .),(,0 ,),(,1 Aji Aji cij 也就是说，如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为 1；否则为 0。 可以看出，这种表示法非常简单、直接。但是，在邻接矩阵的所有 2n 个元素中，只有m 个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法浪费大量的存储空间，从而增加了在网络 中查找弧的时间。 图 2 有向图 例 7 对于图 2 所示的有向图，可以用邻接矩阵表示为 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 01100 10100 00010 01000 00110 同样，对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的 nn × 矩阵表示。只是此时一条 弧所对应的元素不再是 1，而是相应的权而已。如果网络中每条弧赋有多种权，则可以 用多个矩阵表示这些权。 （ii）关联矩阵表示法 关联矩阵表示法是将图以关联矩阵（incidence matrix）的形式存储在计算机中．图 ),( AVG = 的关联矩阵B是如下定义的：B是一个 mn × 的矩阵，即 mnmnikbB × × −∈= }1,0,1{)( ， -72- ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈=∈∃− ∈=∈∃ = .,0 ,),(, ,1 ,),(,,1 其它 AijkVj AjikVj bik 也就是说，在关联矩阵中，每行对应于图的一个节点，每列对应于图的一条弧。如 果一个节点是一条弧的起点，则关联矩阵中对应的元素为 1；如果一个节点是一条弧的 终点，则关联矩阵中对应的元素为 1− ；如果一个节点与一条弧不关联，则关联矩阵中 对应的元素为 0。对于简单图，关联矩阵每列只含有两个非零元（一个 1+ ，一个 1− ）。 可以看出，这种表示法也非常简单、直接。但是，在关联矩阵的所有nm个元素中，只 有 m2 个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法也会浪费大量的存储空间。但由于 关联矩阵有许多特别重要的理论性质，因此它在网络优化中是非常重要的概念。 例 8 对于例 7 所示的图，如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为(1,2)，(1,3)，(2,4)， (3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)，则关联矩阵表示为 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −− −−− −− 11100000 10110100 01011010 00001101 00000011 同样，对于网络中的权，也可以通过对关联矩阵的扩展来表示。例如，如果网络中 每条弧有一个权，我们可以把关联矩阵增加一行，把每一条弧所对应的权存储在增加的 行中。如果网络中每条弧赋有多个权，我们可以把关联矩阵增加相应的行数，把每一条 弧所对应的权存储在增加的行中。 （iii）弧表表示法 弧表表示法将图以弧表（arc list）的形式存储在计算机中。所谓图的弧表，也就是 图的弧集合中的所有有序对。弧表表示法直接列出所有弧的起点和终点，共需 m2 个存 储单元，因此当网络比较稀疏时比较方便。此外，对于网络图中每条弧上的权，也要对 应地用额外的存储单元表示。例如，例 7 所示的图，假设弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)， (4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)上的权分别为 8，9，6，4，0，3，6 和 7，则弧表表示如表 1 所示。 表 1 起点 1 1 2 3 4 4 5 5 终点 2 3 4 2 3 5 3 4 权 8 9 6 4 0 3 6 7 为了便于检索，一般按照起点、终点的字典序顺序存储弧表，如上面的弧表就是按 照这样的顺序存储的。 （iv）邻接表表示法 邻接表表示法将图以邻接表（adjacency lists）的形式存储在计算机中。所谓图的 邻接表，也就是图的所有节点的邻接表的集合；而对每个节点，它的邻接表就是它的所 有出弧。邻接表表示法就是对图的每个节点，用一个单向链表列出从该节点出发的所有 弧，链表中每个单元对应于一条出弧。为了记录弧上的权，链表中每个单元除列出弧的 另一个端点外，还可以包含弧上的权等作为数据域。图的整个邻接表可以用一个指针数 组表示。例如，例 7 所示的图，邻接表表示为 -73- 这是一个 5 维指针数组，每一维（上面表示法中的每一行）对应于一个节点的邻接 表，如第 1 行对应于第 1 个节点的邻接表（即第 1 个节点的所有出弧）。每个指针单元 的第 1 个数据域表示弧的另一个端点（弧的头），后面的数据域表示对应弧上的权。如 第 1 行中的“2”表示弧的另一个端点为 2（即弧为（1,2）），“8”表示对应弧(1,2)上的 权为 8；“3”表示弧的另一个端点为 3（即弧为(1,3)），“9”表示对应弧（1，3）上的权 为 9。又如，第 5 行说明节点 5 出发的弧有(5,3)、(5,4)，他们对应的权分别为 6 和 7。 对于有向图 ),( AVG = ，一般用 )(iA 表示节点 i的邻接表，即节点 i的所有出弧构 成的集合或链表（实际上只需要列出弧的另一个端点，即弧的头）。例如上面例子， }3,2{)1( =A ， }4,3{)5( =A 等。 （v）星形表示法 星形（star）表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。对每个节点， 它也是记录从该节点出发的所有弧，但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表 示。也就是说，在该数组中首先存放从节点 1 出发的所有弧，然后接着存放从节点 2 出发的所有孤，依此类推，最后存放从节点n出发的所有孤。对每条弧，要依次存放其 起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号， 只是从同一节点出发的弧的顺序可以任意排列。此外，为了能够快速检索从每个节点出 发的所有弧，我们一般还用一个数组记录每个节点出发的弧的起始地址（即弧的编号）。 在这种表示法中，可以快速检索从每个节点出发的所有弧，这种星形表示法称为前向星 形（forward star）表示法。 例如，在例 7 所示的图中，仍然假设弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5）， （5,3）和（5,4）上的权分别为 8，9，6，4，0，3，6 和 7。此时该网络图可以用前向 星形表示法表示为表 2 和表 3 。 表 2 节点对应的出弧的起始地址编号数组 节点号 i 1 2 3 4 5 6 起始地址 )(ipoint 1 3 4 5 7 9 表 3 记录弧信息的数组 弧编号 1 2 3 4 5 6 7 8 起点 1 1 2 3 4 4 5 5 终点 2 3 4 2 3 5 3 4 权 8 9 6 4 0 3 6 7 在数组 point中，其元素个数比图的节点数多 1（即 1+n ），且一定有 1)1( =point ， 1)1( +=+ mnpoint 。对于节点 i，其对应的出弧存放在弧信息数组的位置区间为 ]1)1(),([ −+ipointipoint ， 如果 )1()( += ipointipoint ，则节点 i没有出弧。这种表示法与弧表表示法也非常相 -74- 似，“记录弧信息的数组”实际上相当于有序存放的“弧表”。只是在前向星形表示法中， 弧被编号后有序存放，并增加一个数组（ point）记录每个节点出发的弧的起始编号。 前向星形表示法有利于快速检索每个节点的所有出弧，但不能快速检索每个节点的 所有入弧。为了能够快速检索每个节点的所有入孤，可以采用反向星形（reverse star） 表示法：首先存放进入节点 1 的所有孤，然后接着存放进入节点 2 的所有弧，依此类推， 最后存放进入节点n的所有孤。对每条弧，仍然依次存放其起点、终点、权的数值等有 关信息。同样，为了能够快速检索从每个节点的所有入弧，我们一般还用一个数组记录 每个节点的入孤的起始地址（即弧的编号）。例如，例 7 所示的图，可以用反向星形表 示法表示为表 4 和表 5。 表 4 节点对应的入弧的起始地址编号数组 节点号 i 1 2 3 4 5 6 起始地址 )(irpoint 1 1 3 6 8 9 表 5 记录弧信息的数组 弧编号 1 2 3 4 5 6 7 8 终点 2 2 3 3 3 4 4 5 起点 3 1 1 4 5 5 2 4 权 4 8 9 0 6 7 6 3 如果既希望快速检索每个节点的所有出弧，也希望快速检索每个节点的所有入弧， 则可以综合采用前向和反向星形表示法。当然，将孤信息存放两次是没有必要的，可以 只用一个数组（trace）记录一条弧在两种表示法中的对应关系即可。例如，可以在采用 前向星形表示法的基础上，加上上面介绍的 rpoint数组和如下的 trace数组即可。这相 当于一种紧凑的双向星形表示法，如表 6 所示。 表 6 两种表示法中的弧的对应关系 反向法中弧编号 j 1 2 3 4 5 6 7 8 正向法中弧编号 )( jtrace 4 1 2 5 7 8 3 6 对于网络图的表示法，我们作如下说明： ① 星形表示法和邻接表表示法在实际算法实现中都是经常采用的。星形表示法的 优点是占用的存储空间较少，并且对那些不提供指针类型的语言（如 FORTRAN 语言 等）也容易实现。邻接表表示法对那些提供指针类型的语言（如 C 语言等）是方便的， 且增加或删除一条弧所需的计算工作量很少，而这一操作在星形表示法中所需的计算工 作量较大（需要花费 )(mO 的计算时间）。有关“计算时间”的观念是网络优化中需要 考虑的一个关键因素。 ② 当网络不是简单图，而是具有平行弧（即多重弧）时，显然此时邻接矩阵表示 法是不能采用的。其他方法则可以很方便地推广到可以处理平行弧的情形。 ③ 上述方法可以很方便地推广到可以处理无向图的情形，但由于无向图中边没有 方向，因此可能需要做一些自然的修改。例如，可以在计算机中只存储邻接矩阵的一半 信息（如上三角部分），因为此时邻接矩阵是对称矩阵。无向图的关联矩阵只含有元素 0 和 1+ ，而不含有 1− ，因为此时不区分边的起点和终点。又如，在邻接表和星形表示 法中，每条边会被存储两次，而且反向星形表示显然是没有必要的，等等。 2.7 轨与连通 kkveevevW L2110= ，其中 )(GEei ∈ ， ki ≤≤1 ， )(GVv j ∈ ， kj ≤≤0 ， ie 与 -75- ii vv ,1− 关联，称W 是图G 的一条道路(walk)，k 为路长，顶点 0v 和 kv 分别称为W 的起 点和终点，而 121 ,,, −kvvv L 称为它的内部顶点。 若道路W 的边互不相同，则W 称为迹(trail)。若道路W 的顶点互不相同，则W 称 为轨(path)。 称一条道路是闭的，如果它有正的长且起点和终点相同。起点和终点重合的轨叫做 圈(cycle)。 若图G 的两个顶点 vu, 间存在道路，则称u和 v连通(connected)。 vu, 间的最短轨 的长叫做 vu, 间的距离。记作 ),( vud 。若图G 的任二顶点均连通，则称G 是连通图。 显然有： (i) 图P是一条轨的充要条件是P是连通的，且有两个一度的顶点，其余顶点的度 为 2； (ii) 图C是一个圈的充要条件是C是各顶点的度均为 2 的连通图。 §3 应用—最短路问题 3.1 两个指定顶点之间的最短路径 问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线。 以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G相应两顶点间的边，得图G。 对G 的每一边 e，赋以一个实数 )(ew —直通铁路的长度，称为 e的权，得到赋权图G。 G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点 00 ,vu 间的具最小权的轨。这条轨叫做 00 ,vu 间的最短路，它的权叫做 00 ,vu 间的距离，亦记 作 ),( 00 vud 。 求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra）算法，其基本思想是按距 0u 从 近到远为顺序，依次求得 0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至 0v （或直至G 的所有 顶点），算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该 算法。 (i) 令 0)( 0 =ul ，对 0uv ≠ ，令 ∞=)(vl ， }{ 00 uS = ， 0=i 。 (ii) 对每个 iSv∈ （ ii SVS \= ），用 )}()(),({min uvwulvl iSu +∈ 代替 )(vl 。计算 )}({min vl iSv∈ ，把达到这个最小值的一个顶点记为 1+iu ，令 }{ 11 ++ = iii uSS U 。 (iii). 若 1|| −= Vi ，停止；若 1|| −< Vi ，用 1+i 代替 i，转(ii)。 算法结束时，从 0u 到各顶点 v的距离由 v的最后一次的标号 )(vl 给出。在 v进入 iS 之前的标号 )(vl 叫 T 标号， v进入 iS 时的标号 )(vl 叫 P 标号。算法就是不断修改各顶 点的 T 标号，直至获得 P 标号。若在算法运行过程中，将每一顶点获得 P 标号所由来 的边在图上标明，则算法结束时， 0u 至各项点的最短路也在图上标示出来了。 例 9 某公司在六个城市 621 ,,, ccc L 中有分公司，从 ic 到 jc 的直接航程票价记在 下述矩阵的 ),( ji 位置上。（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市 1c 到其它 -76- 城市间的票价最便宜的路线图。 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ 055252510 550102025 25100102040 2010015 252015050 102540500 用矩阵 nna ×（n为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量 pb、 1index 、 2index 、 d 分别用来存放 P标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分 量 ⎩⎨ ⎧= 顶点未标号当第 顶点已标号当第 i i ipb 0 1 )( ； )(2 iindex 存放始点到第 i点最短通路中第 i顶点前一顶点的序号； )(id 存放由始点到第 i点最短通路的值。 求第一个城市到其它城市的最短路径的 Matlab 程序如下： clc,clear a=zeros(6); a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10; a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; a(3,4)=10;a(3,5)=20; a(4,5)=10;a(4,6)=25; a(5,6)=55; a=a+a'; a(find(a==0))=inf; pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1; while sum(pb) 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 从城市 A 到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。 图 3 7 个城市间的连线图 编写 LINGO 程序如下： model: sets: cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/; roads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1, B2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x; endsets data: w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4; enddata n=@size(cities); !城市的个数; min=@sum(roads:w*x); @for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n: @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i))); @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1; @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1; end 例 11（无向图的最短路问题）求图 4 中 1v 到 11v 的最短路。 分析 例 10 处理的问题属于有向图的最短路问题，本例是处理无向图的最短路问 题，在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别，这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。 -78- 图 4 无向图的最短路问题 编写 LINGO 程序如下： model: sets: cities/1..11/; roads(cities,cities):w,x; endsets data: w=0; enddata calc: w(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1; w(2,3)=6;w(2,5)=1; w(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2; w(4,7)=9; w(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9; w(6,7)=4;w(6,9)=6; w(7,9)=3;w(7,10)=1; w(8,9)=7;w(8,11)=9; w(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4; @for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i)); @for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j))); endcalc n=@size(cities); !城市的个数; min=@sum(roads:w*x); @for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne# n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i))); @sum(cities(j):x(1,j))=1; @sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1; @sum(cities(j):x(j,n))=1; @for(roads:@bin(x)); end 与有向图相比较，在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0，即 从顶点 1离开后，再不能回到该顶点。 求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11，最短路径长度为 13。 3.3 每对顶点之间的最短路径 计算赋权图中各对顶点之间最短路径，显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是： 每次以不同的顶点作为起点，用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径，反 复执行 1−n 次这样的操作，就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为 )( 3nO 。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法，称 之为 Floyd 算法。 -79- 假设图G 权的邻接矩阵为 0A ， ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = nnnn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 22221 11211 0 来存放各边长度，其中： 0=iia ni ,,2,1 L= ； ∞=ija ji, 之间没有边，在程序中以各边都不可能达到的充分大的数代替； ijij wa = ijw 是 ji, 之间边的长度， nji ,,2,1, L= 。 对于无向图， 0A 是对称矩阵， jiij aa = 。 Floyd 算法的基本思想是：递推产生一个矩阵序列 nk AAAA ,,,,, 10 LL ，其中 ),( jiAk 表示从顶点 iv 到顶点 jv 的路径上所经过的顶点序号不大于 k 的最短路径长 度。 计算时用迭代公式： )),(),(),,(min(),( 111 jkAkiAjiAjiA kkkk −−− += k 是迭代次数， nkji ,,2,1,, L= 。 最后，当 nk = 时， nA 即是各顶点之间的最短通路值。 例12 用Floyd算法求解例9。 矩阵path用来存放每对顶点之间最短路径上所经过的顶点的序号。Floyd算法的 Matlab程序如下： clear;clc; n=6; a=zeros(n); a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10; a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; a(3,4)=10;a(3,5)=20; a(4,5)=10;a(4,6)=25; a(5,6)=55; a=a+a'; M=max(max(a))*n^2; %M为充分大的正实数 a=a+((a==0)-eye(n))*M; path=zeros(n); for k=1:n for i=1:n for j=1:n if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j) a(i,j)=a(i,k)+a(k,j); path(i,j)=k; end end end end a, path 我们使用LINGO9.0编写的FLOYD算法如下： model: sets: -80- nodes/c1..c6/; link(nodes,nodes):w,path; !path标志最短路径上走过的顶点; endsets data: path=0; w=0; @text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j): @format(w(i,j),' 10.0f')),@newline(1)); @text(mydata1.txt)=@write(@newline(1)); @text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j): @format(path(i,j),' 10.0f')),@newline(1)); enddata calc: w(1,2)=50;w(1,4)=40;w(1,5)=25;w(1,6)=10; w(2,3)=15;w(2,4)=20;w(2,6)=25; w(3,4)=10;w(3,5)=20; w(4,5)=10;w(4,6)=25;w(5,6)=55; @for(link(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i)); @for(link(i,j) |i#ne#j:w(i,j)=@if(w(i,j)#eq#0,10000,w(i,j))); @for(nodes(k):@for(nodes(i):@for(nodes(j): tm=@smin(w(i,j),w(i,k)+w(k,j)); path(i,j)=@if(w(i,j)#gt# tm,k,path(i,j));w(i,j)=tm))); endcalc end §4 树 4.1 基本概念 连通的无圈图叫做树，记之为T 。若图G 满足 )()( TVGV = ， )()( GETE ⊂ ， 则称T 是G的生成树。图G连通的充分必要条件为G有生成树。一个连通图的生成树 的个数很多，用 )(Gτ 表示G的生成树的个数，则有公式 公式 (Caylay) 2)( −= nn nKτ 。 公式 )()()( eGeGG ⋅+−= τττ 。 其中 eG − 表示从G上删除边 e， eG ⋅ 表示把 e的长度收缩为零得到的图。 树有下面常用的五个充要条件。 定理 1 （i）G是树当且仅当G中任二顶点之间有且仅有一条轨道。 （ii）G 是树当且仅当G 无圈，且 1−=νε 。 （iii）G是树当且仅当G连通，且 1−=νε 。 （iv）G是树当且仅当G连通，且 )(GEe∈∀ ， eG − 不连通。 （v）G 是树当且仅当G 无圈， )(GEe∉∀ ， eG + 恰有一个圈。 4.2 应用—连线问题 欲修筑连接 n个城市的铁路，已知 i城与 j城之间的铁路造价为 ijC ，设计一个线 路图，使总造价最低。 连线问题的数学模型是在连通赋权图上求权最小的生成树。赋权图的具最小权的生 成树叫做最小生成树。 下面介绍构造最小生成树的两种常用算法。 4.2.1 prim 算法构造最小生成树 设置两个集合P和Q ,其中 P用于存放G 的最小生成树中的顶点，集合Q存放G -81- 的最小生成树中的边。令集合P的初值为 }{ 1vP = （假设构造最小生成树时，从顶点 1v 出发），集合Q的初值为 Φ=Q 。prim 算法的思想是，从所有 Pp∈ ， PVv −∈ 的边 中，选取具有最小权值的边 pv，将顶点 v加入集合P中，将边 pv加入集合Q中，如 此不断重复，直到 VP = 时，最小生成树构造完毕，这时集合Q中包含了最小生成树 的所有边。 prim 算法如下： （i） }{ 1vP = ， Φ=Q ； （ii）while VP =~ 找最小边 pv，其中 PVvPp −∈∈ , }{vPP += }{pvQQ += end 图 5 最小生成树问题 例 13 用 prim 算法求图 5 的最小生成树。 我们用 nresult ×3 的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matlab 程序如下： clc;clear; a=zeros(7); a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70; a=a+a';a(find(a==0))=inf; result=[];p=1;tb=2:length(a); while length(result)~=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp); [jb,kb]=find(a(p,tb)==d); j=p(jb(1));k=tb(kb(1)); result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[]; end result 4.2.1 Kruskal 算法构造最小生成树 科茹斯克尔（Kruskal）算法是一个好算法。Kruskal 算法如下: (i)选 )(1 GEe ∈ ，使得 min)( 1 =ew 。 -82- (ii)若 ieee ,,, 21 L 已选好，则从 },,,{)( 21 ieeeGE L− 中选取 1+ie ，使得 ① }],,,,[{ 121 +ii eeeeG L 中无圈，且 ② min)( 1 =+iew 。 (iii)直到选得 1−νe 为止。 例 14 用 Kruskal 算法构造例 3 的最小生成树。 我们用 nindex ×2 存放各边端点的信息，当选中某一边之后，就将此边对应的顶点序 号中较大序号u改记为此边的另一序号 v，同时把后面边中所有序号为u的改记为 v。 此方法的几何意义是：将序号u的这个顶点收缩到 v顶点，u顶点不复存在。后面继续 寻查时，发现某边的两个顶点序号相同时，认为已被收缩掉，失去了被选取的资格。 Matlab 程序如下： clc;clear; a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30; a(4,7)=42; a(5,6)=70; [i,j,b]=find(a); data=[i';j';b'];index=data(1:2,:); loop=max(size(a))-1; result=[]; while length(result) 的对集 'M ，则M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集M 内外出现，则 称此轨为M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。 若把可增广轨上在M 外的边纳入对集，把M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件： 定理 2 M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无M 可增广轨。 1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理： 定理 3 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的 -83- 对集的充要条件是， XS ⊂∀ ，则 |||)(| SSN ≥ ，其中 )(SN 是 S 中顶点的邻集。 由上述定理可以得出： 推论 1：若G 是 k 次（ )0>k 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓 k 次正则图，即每顶点皆 k 度的图。 由此推论得出下面的婚配定理： 定理 4 每个姑娘都结识 )1( ≥kk 位小伙子，每个小伙子都结识 k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。 人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。 人员分派问题：工作人员 nxxx ,,, 21 L 去做n件工作 nyyy ,,, 21 L ，每人适合做其 中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工作？如果不能，最多几人可以有适合的工 作？ 这个问题的数学模型是： G 是二分图，顶点集划分为 YXGV U=)( ， },,{ 1 nxxX L= ， },,{ 1 nyyY L= ，当且仅当 ix 适合做工作 jy 时， )(GEyx ji ∈ ，求 G 中的最大对集。 解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。 匈牙利算法： （i）从G 中任意取定一个初始对集M 。 （ii）若M 把 X 中的顶点皆许配，停止，M 即完美对集；否则取 X 中未被M 许 配的一顶点u，记 }{uS = ， Φ=T 。 （iii）若 TSN =)( ，停止，无完美对集；否则取 TSNy −∈ )( 。 （iv）若 y是被M 许配的，设 Myz∈ ， }{zSS U= ， }{yTT U= ，转（iii）； 否则，取可增广轨 ),( yuP ，令 ))(())(( MPEPEMM −−= U ，转（ii）。 把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。 最优分派问题：在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权 0)( ≥ji yxw ，表示 ix 干 jy 工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。 定义 若映射 RGVl →)(: ，满足 YyXx ∈∈∀ , ， ),()()( yxwylxl ≥+ ， 则称 l 是二分图G 的可行顶点标号。令 )}()()(),(|{ xywylxlGExyxyEl =+∈= ， 称以 lE 为边集的G的生成子图为相等子图，记作 lG 。 可行顶点标号是存在的。例如 ;),(max)( Xxxywxl Yy ∈= ∈ Yyyl ∈= ,0)( 。 定理 5 lG 的完美对集即为G的权最大的完美对集。 Kuhn-Munkres 算法 -84- （i）选定初始可行顶点标号 l ，确定 lG ，在 lG 中选取一个对集M 。 （ii）若 X 中顶点皆被M 许配，停止，M 即G的权最大的完美对集；否则，取 lG 中未被M 许配的顶点u，令 }{uS = ， Φ=T 。 (iii)若 TSN lG ⊃)( ，转（iv）；若 TSN lG =)( ，取 )}()()({min , xywylxl TySxl −+= ∉∈ α ， ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈+ ∈− = 其它),( ,)( ,)( )( vl Tvvl Svvl vl l l α α ， l