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第八章 空间问题.ppt

第八章 空间问题

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2011-06-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第八章 空间问题ppt》,可适用于高等教育领域

第八章空间问题§概述§直角坐标下的基本方程§空间轴对称问题§空间球对称问题目录本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到我们着重讨论空间轴对称球对称问题。轴对称问题球对称问题§概述已知的几何参数和载荷(表面力和体积力)一般都与三个坐标参数x、y、z有关个未知函数个应力分量:个应变分量:三个位移分量:u、v、w一般都是三个坐标参数x、y、z的函数基本方程式是三维的但若某一方向变化规律为已知时维数可相应减少。分析空间问题时仍然要从三个方面来考虑:静力学方面几何学方面和物理学方面。§概述§直角坐标下的基本方程一平衡微分方程二几何方程三物理方程在空间问题中若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力作用都对称于某一轴(通过这个轴的任一平面都是对称面)则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。根据轴对称的特点应采用圆柱坐标表示。若取对称轴为z轴则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是和的函数而与坐标无关。轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。§空间轴对称问题平衡微分方程由于轴对称在微元体的两个圆柱面上只有正应力和轴向剪应力在两个水平面上只有正应力和径向剪应力在两个垂直面上只有环向正应力图示。注意:此时环向正应力的增量为零。由径向和轴向平衡并利用§空间轴对称问题将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上得平衡方程略去高阶微量并整理后得§空间轴对称问题同理将六面体所受的各力投影到z轴上并化简得到轴对称问题的柱坐标平衡微分方程径向位移引起的形变分量为轴向位移引起的形变分量为由叠加原理即得空间轴对称问题的几何方程§空间轴对称问题几何方程物理方程由于圆柱坐标是和直角坐标一样的正交坐标所以可直接根据虎克定律得物理方程:形变分量表示将前三式相加得到体应变第一应力不变量§空间轴对称问题位移求解问题:取位移分量为基本未知函数并要通过消元法导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。在空间问题中即要求从个基本方程中消去应力分量和形变分量得出只包含个位移分量的微分方程。§空间轴对称问题对于轴对称问题相应的微分方程为其中:这就是按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。由于轴对称问题中的边界面多为坐标面位移和应力边界条件都比较简单。半空间体受重力及均布压力设有半空间体密度为在水平边界上受均布压力如图所示以边界面为xy面z轴垂直向下。这样体力分量就是假设这样就得到(a)例题可见基本微分方程中的前两式自然满足而第三式成为积分(b)(c)半空间体受重力及均布压力例题(d)其中A、B为待定常数将以上结果代入物理方程得在边界面上有(e)半空间体受重力及均布压力下面根据边界条件来决定常数所以应力边界条件中的前两式自动满足而第三式要求例题由(d)为了确定常数B必须利用位移边界条件。假定半空间体在距边界为h处没有位移则由位移边界条件代入(f)(g)(h)代入半空间体受重力及均布压力例题最大的位移发生在边界上和是铅直截面上的水平正应力是水平截面上的铅直正应力它们的比值是土力学中称之为侧应力系数。半空间体受重力及均布压力应力分量和位移分量都已经完全确定并且所有一切条件都满足。从而得到的结果是正确解答。例题半空间体在边界上受法向集中力设有半空间体体力不计在水平边界上受有法向集中力F轴对称空间问题对称轴为力F的作用线。采用位移解法(a)简化形式例题在Z=的边界上应用圣维南原理取出一个z=至z=z的平板隔离体考虑其平衡条件由于轴对称其余平衡条件自动满足。(b)(c)其中半空间体在边界上受法向集中力例题布希内斯克解答如下:水平边界上任一点的沉陷是它和距集中力作用点的距离成反比。半空间体在边界上受法向集中力例题这里解出的问题其应力分布具有如下特征:()当R→∞时各应力分量都趋于零当R→时各应力分量都趋于无限大。这就是说在离开集中力作用点非常远处应力非常小在靠近集中力作用点处应力非常大。()水平截面上的应力与弹性常数无关因而在任何材料的弹性体中都是同样的分布。其他截面上的应力一般都随泊松比而变化。()水平截面上的全应力都指向集中力的作用点因为由应力表达式中的后二式有:半空间体在边界上受法向集中力例题现在来求出矩形的对称轴上距矩形中心为x的一点K的沉陷ηki。为此将这均布单位力分为微分力由上述半空间体在边界上受法向集中力时的解答就可以用叠加法求出用法向分布力引起的位移和应力。例如设有单位力均匀分布在半空间体边界的矩形面积上矩形面积的边长为a和b,如上图所示。例题代入半空间体的沉陷公式对ξ和y进行积分。设k点在矩形之外则沉陷为:(d)例题当xa值为整数时(包括xa为零时)对于比值ba的几个常数值可以从表中查得公式(d)中的的数值。如果xa大于不论ba的值如何都可以取。设k点恰在矩形的中心I则沉陷为积分的结果仍然可以写成式(d)的形式但§半空间体在边界上受法向集中力在用连杆法计算基础梁的空间问题时要用到沉陷公式和下表§半空间体在边界上受法向集中力在空间问题中如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素都对称于某一点(通过这一点的任意平面都是对称面)则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。根据球对称的特点应采用球坐标表示。若以弹性体的对称点为坐标原点则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标r的函数而与其余两个坐标无关。§空间球对称问题显然球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。平衡微分方程取微元体。用相距的两个圆球面和两两互成角的两对径向平面从弹性体割取一个微小六面体。由于球对称各面上只有正应力其应力情况如图所示。由于对称性微元体只有径向体积力。由径向平衡并考虑到再略去高阶微量即得球对称问题的平衡微分方程:§空间球对称问题几何方程由于对称只可能发生径向位移又由于对称只可能发生径向正应变及切向正应变不可能发生坐标方向的剪应变。球对称问题的几何方程为:物理方程应力用应变表示§空间球对称问题位移法求解的基本微分方程将几何方程代入物理方程得弹性方程再代入平衡微分方程得这就是按位移求解球对称问题时所需要用的基本微分方程。§空间球对称问题举例空心圆球受均布压力设有空心圆球内半径为a外半径为b内压为qa外压为qb体力不计试求其应力及位移场。其解为得应力分量解:由于体力不计球对称问题的微分方程简化为(a)(b)(c)§空间球对称问题由上式解得(d)将式(b)代入边界条件即得§空间球对称问题于是得问题的径向位移为将式(d)代入式(b)及式(c)整理后得:(e)(f)§空间球对称问题如果空心圆球只受有内压力q则径向位移的表达式(e)简化为应力分量表达式简化为§空间球对称问题如果有一弹性体它具有半径为a的圆球形小孔洞在孔洞内受有流体压力q的作用。为了得到孔洞附近的位移和应力只须在上列各式中命b趋于无限大。这样就得到由此可见径向位移按照的增大而消减径向及切向正应力均按的增大而消减。特别值得注意的是孔边将发生的切向拉应力它可能引起脆性材料的开裂。§空间球对称问题除了上面的问题还有一些空间问题的解。由于非常困难、复杂且时间有限故不再介绍。

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