易画办公助手431版 抽象函数问题的“原型”解法 抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效
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。 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数
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达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。 抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如 有 可抽象为 。那么 = 就叫做抽象函数 满足 的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。 一、中学阶段常用抽象函数 的“原型”（函数） 1、 —— ( 为常数） 2、 —— = （ ＞0且 ≠1） 3、 —— ( ＞0且 ≠1) 4、 —— ( 为常数） 5、 或 －－ = ( 为常数） 6、 －－ = 二、“原型”解法例析 【例1】 设函数 满足 ，且 ( )=0， 、 ∈R；求证： 为周期函数，并指出它的一个周期。 分析与简证：由 想： =2cos cos 原型： = ，为周期函数且2π为它的一个周期。 猜测： 为周期函数，2π为它的一个周期 令 = + ， = 则 =0 ∴ ∴ 为周期函数且2π是它的一个周期。 【例2】 已知函数 满足 ，若 ，试求 (2011)。 分析与略解：由 想： ( + )= 原型： = 为周期函数且周期为4× =π。 猜测： 为周期函数且周期为4×1=4 ∵ = =- ∴ ( +4)= ∴ 是以4为周期的周期函数 又∵f(2)=2010 ∴ = =- ∴ 【例3】 已知函数 对于任意实数 、 都有 ，且当 ＞0时， ＞0， (-1)=-2，求函数 在区间[-2，1]上的值域。 分析与略解：由： 想： ( + )= + 原型： ＝ （ 为常数）为奇函数。 ＜0时为减函数， ＞0时为增函数。 猜测： 为奇函数且 为R上的单调增函数，且 在[－2,1]上有 ∈[－4,2] 设 < 且 ， ∈R 则 － >0 ∴ ( － )>0 ∴ = = ＞0 ∴ ,∴ 为R上的单调增函数。 令 = =0,则 (0)=0,令 =－ ，则 (－ )=－ ∴ 为R上的奇函数。 ∴ (-1)=- (1)=-2 ∴ (1)=2， (-2)=2 (-1)=-4 ∴-4≤ ≤2(x∈[-2,1]) 故 在[-2,1]上的值域为[-4，2] 【例4】 已知函数 对于一切实数 、 满足 (0)≠0， ，且当 <0时， ＞1 （1）当 ＞0时，求 的取值范围 （2）判断 在R上的单调性 分析与略解：由： 想： 原型： = （ ＞0, ≠1）， =1≠0。当 ＞1时为单调增函数，且 ＞0时， ＞1， ＜0时，0＜ ＜1；0＜ ＜1时为单调减函数，且 ＜0时， ＞1， ＞0时，0＜ ＜1。 猜测： 为减函数，且当 ＞0时，0＜ ＜1。 （1）对于一切 、 ∈R， 且 (0)≠0 令 = =0，则 (0)=1，现设 ＞0，则- ＜0，∴f(- ) ＞1 又 (0)= ( - )= =1 ∴ = ＞1 ∴0＜ ＜1 （2）设 < ， 、 ∈R，则 － <0， ( － )＞1且 ＞1 ∴ ， ∴f(x)在R上为单调减函数 【例5】 已知函数 定义域为(0,+∞)且单调递增，满足 (4)=1， （1）证明： (1)=0；(2)求 (16)；（3）若 + ( -3)≤1，求 的范围； （4）试证 ( )= （n∈N） 分析与略解：由： 想： （ 、 ∈R+） 原型： （ ＞0， ≠0） 猜测： 有 (1)=0， (16)=2，…… （1）令 =1， =4，则 (4)= (1×4)= (1)+ (4)∴ (1)=0 （2） (16)= (4×4)= (4)+ (4)=2 (3) + ( －3)= ［ ( －3)］≤1= (4) 在（0，+∞）上单调递增 ∴ ∴ ∈（3，4] （4）∵ ∴ 【例6】 已知函数 对于一切正实数 、 都有 且 ＞1时， ＜1， (2)= (1)求证： ＞0；（2）求证： 在（0，+∞）上为单调减函数 （3）若 =9，试求 的值。 分析与简证：由 ， 想： 原型： （ 为常数（ = ） 猜测： ＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，…… (1)对任意 ＞0， = )= ≥0 假设存在 ＞0，使 =0，则对任意 ＞0 =f( = =0，这与已知矛盾 故对任意 ＞0，均有 ＞0 （2） 、 ∈(0,+∞)，且 ＜ ，则 ＞1，∴ ( )＜1， ∴ 即 ∴ 在（0，+∞）上为单调减函数。 (3) ∵ (2)= ， ( )=9 ∴ (2) ( )=1 ∴ (2 )=1=f(1)，而 在(0，+∞)是单调减函数 ∴2 =1 即 = 综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。
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